Từ VLOS
Khi
nhân
hai
vế
của
bất
phương
trình
với
cùng
một
số
khác
0,
thì
ta
phải:
-
Giữ
nguyên
chiều
bất
phương
trình
nếu
số
đó
dương;
-
Đổi
chiều
bất
phương
trình
nếu
số
đó
âm.
Thế
còn,
khi
nhân
hai
vế
của
bất
phương
trình
với
cùng
một
biểu
thức
thì
sao?
|
Lí
thuyết[sửa]
Ở
lớp
8,
chúng
ta
đã
được
làm
quen
với
một
số
khái
niệm
liên
quan
đến
bất
phương
trình:
bất
phương
trình
một
ẩn,
tập
nghiệm
của
bất
phương
trình,
giải
bất
phương
trình,
hai
bất
phương
trình
tương
đương,
quy
tắc
biến
đổi
bất
phương
trình...
Bài
này,
chúng
ta
sẽ
tìm
hiểu
một
cách
đầy
đủ
hơn
về
các
khái
niệm
đó,
ngoài
ra
chúng
ta
còn
biết
thêm:
thế
nào
là
hệ
bất
phương
trình
một
ẩn
và
cách
giải
nó.
Khái
niệm
bất
phương
trình[sửa]
Bất
phương
trình
một
ẩn[sửa]
Cũng
giống
như
khái
niệm
phương
trình
một
ẩn,
ta
có
định
nghĩa
sau
về
bất
phương
trình
một
ẩn:
CHÚ
Ý
-
Các
mệnh
đề
chứa
biến
dạng:
f(x)
>
g(x),
f(x)
≤
g(x)
và
f(x)
≥
g(x)
(2)
cũng
được
gọi
là
các
bất
phương
trình
một
ẩn.
-
Các
phát
biểu
trong
định
nghĩa
trên
cho
bất
phương
trình
(1),
cũng
đúng
cho
các
bất
phương
trình
(2).
Hoạt
động
1 |
Cho
các
bất
phương
trình
sau:
a)
2x
<
3;
b)
.
1.
Trong
các
số:
,
số
nào
là
nghiệm,
số
nào
không
là
nghiệm
của
bất
phương
trình
(a).
2.
Giải
các
bất
phương
trình
(a)
và
(b),
biểu
diễn
tập
nghiệm
của
mỗi
bất
phương
trình
đó
trên
các
trục
số
khác
nhau
và
dùng
các
tập
con
thường
dùng
để
viết
các
tập
nghiệm
đó.
|
|
Dưới
đây,
chúng
ta
chỉ
nói
tới
bất
phương
trình
dạng
f(x)
<
g(x).
Đối
với
các
bất
phương
trình
dạng
f(x)
>
g(x),
f(x)
≤
g(x)
và
f(x)
≥
g(x),
ta
cũng
có
các
kết
qủa
tương
tự.
Điều
kiện
của
một
bất
phương
trình[sửa]
Tương
tự
như
điều
kiện
của
phương
trình,
ta
gọi
các
điều
kiện
của
ẩn
số
x
để
các
biểu
thức
f(x)
và
g(x)
có
nghĩa
là
điều
kiện
xác
định
của
bất
phương
trình
(hay
gọi
tắt
là
điều
kiện
của
bất
phương
trình).
Chẳng
hạn,
điều
kiện
của
bất
phương
trình:
là
3
-
x
≥
0
và
x
+
1
≥
0.
Bất
phương
trình
chứa
tham
số[sửa]
Cũng
giống
như
phương
trình
chứa
tham
số.
Trong
một
bất
phương
trình,
ngoài
các
chữ
đóng
vai
trò
ẩn
số
còn
có
thể
có
các
chữ
khác,
các
chữ
này
được
xem
như
những
hằng
số
và
được
gọi
là
tham
số.
Tập
nghiệm
của
bất
phương
trình
có
thể
phụ
thuộc
vào
tham
số.
Giải
và
biện
luận
bất
phương
trình
chứa
tham
số
nghĩa
là
xét
xem
với
giá
trị
nào
của
tham
số
thì
bất
phương
trình
vô
nghiệm,
có
nghiệm
và
tìm
các
nghiệm
đó.
Chẳng
hạn:
-
Bất
phương
trình
(2m
+
1)x
-
3
<
0
có
thể
được
coi
là
một
bất
phương
trình
ẩn
x
chứa
tham
số
m.
-
Bất
phương
trình
y2
-
2ty
+
1
≥
0
có
thể
được
coi
là
một
bất
phương
trình
ẩn
y
chứa
tham
số
t.
Bất
phương
trình
tương
đương[sửa]
Định
nghĩa[sửa]
Ở
lớp
8,
chúng
ta
đã
được
biết
thế
nào
là
hai
bất
phương
trình
tương
đương.
Dưới
đây,
chúng
ta
có
một
định
nghĩa
đầy
đủ
hơn.
Giống
như
phương
trình
tương
đương,
ta
có:
|
Hai
bất
phương
trình
(cùng
ẩn)
được
gọi
là
tương
đương
nếu
chúng
có
cùng
tập
nghiệm.
Nếu
f(x)
<
g(x)
tương
đương
với
f1(x)
<
g1(x)
thì
ta
viết:
f(x)
<
g(x)
f1(x)
<
g1(x)
|
|
Hoạt
động
2 |
Các
khẳng
định
sau
đây
đúng
hay
sai?
Vì
sao?
a)
b)
|
|
CHÚ
Ý
Khi
muốn
nhấn
mạnh
hai
bất
phương
trình
có
cùng
điều
kiện
xác
định
là
D
và
tương
đương
với
nhau,
ta
nói:
-
Hai
bất
phương
trình
tương
đương
trên
D,
hoặc
-
Với
điều
kiện
D,
hai
bất
phương
trình
là
tương
đương
với
nhau.
VÍ
DỤ.
Với
điều
kiện
x
>
2,
ta
có
Phép
biến
đổi
tương
đương[sửa]
Cũng
như
với
phương
trình,
để
giải
một
bất
phương
trình
ta
liên
tiếp
biến
đổi
nó
thành
những
bất
phương
trình
tương
đương
cho
đến
khi
được
bất
phương
trình
đơn
giản
nhất
mà
ta
có
thể
viết
ngay
tập
nghiệm.
Các
phép
biến
đổi
như
vậy,
không
làm
thay
đổi
tập
nghiệm
của
bất
phương
trình,
được
gọi
là
các
phép
biến
đổi
tương
đương.
Mở
rộng
từ
các
quy
tắc
biến
đổi
bất
phương
trình
đã
biết,
ta
có
một
số
phép
biến
đổi
tương
đương
sau,
thường
được
sử
dụng
khi
giải
bất
phương
trình.
Cộng/trừ[sửa]
|
Cộng/trừ
hai
vế
của
bất
phương
trình
với
cùng
một
biểu
thức
mà
không
làm
thay
đổi
điều
kiện
của
bất
phương
trình
ta
được
một
bất
phương
trình
tương
đương.
|
|
NHẬN
XÉT.
Nếu
cộng
hai
vế
của
bất
phương
trình
P(x)
<
Q(x)
+
f(x)
với
biểu
thức
-f(x)
ta
được
bất
phương
trình
P(x)
-
f(x)
<
Q(x).
Do
đó:
Như
vậy,
chuyển
vế
và
đổi
dấu
một
hạng
tử
trong
một
bất
phương
trình
ta
được
một
bất
phương
trình
tương
đương.
VÍ
DỤ
1 |
Xét
bất
phương
trình
Ta
có:
(Biến
đổi
đồng
nhất)
(Biến
đổi
đồng
nhất)
(Chuyển
vế
và
đổi
dấu
hạng
tử)
(Biến
đổi
đồng
nhất)
|
|
Nhân/chia[sửa]
|
Nhân/chia
hai
vế
của
bất
phương
trình
với
cùng
một
biểu
thức
luôn
nhận
giá
trị
dương
(mà
không
làm
thay
đổi
điều
kiện
của
bất
phương
trình)
ta
được
một
bất
phương
trình
tương
đương.
nếu
Nhân
(chia)
hai
vế
của
bất
phương
trình
với
cùng
một
biểu
thức
luôn
nhận
giá
trị
âm
(mà
không
làm
thay
đổi
điều
kiện
của
bất
phương
trình)
và
đổi
chiều
bất
phương
trình
ta
được
một
bất
phương
trình
tương
đương.
nếu
|
|
VÍ
DỤ
2 |
a)
Bất
phương
trình
(Chia
cả
hai
vế
cho
)
x
+
1
<
2x.
b)
Bất
phương
trình
(Chia
cả
hai
vế
cho
,
đổi
chiều
bất
phương
trình.)
|
|
Bình
phương[sửa]
|
Bình
phương
hai
vế
của
một
bất
phương
trình
có
hai
vế
không
âm
mà
không
làm
thay
đổi
điều
kiện
của
nó
ta
được
một
bất
phương
trình
tương
đương.
nếu
|
|
VÍ
DỤ
3 |
Giải
bất
phương
trình
|
|
Lời
giải |
Hai
vế
của
bất
phương
trình
đều
có
nghĩa
và
dương
với
mọi
x.
Bình
phương
hai
vế
bất
phương
trình
này
ta
được:
Vậy
nghiệm
của
bất
phương
trình
là
|
|
Hệ
bất
phương
trình
một
ẩn[sửa]
Có
những
bài
toán
yêu
cầu
tìm
các
giá
trị
của
ẩn
số
x
thỏa
mãn
đồng
thời
nhiều
bất
phương
trình.
Nói
cách
khác,
khi
đó
ta
cần
giải
một
hệ
bất
phương
trình
ẩn
x.
Mỗi
số
thực
x
đồng
thời
là
nghiệm
của
tất
cả
các
bất
phương
trình
của
hệ
được
gọi
là
một
nghiệm
của
hệ
bất
phương
trình.
Giải
hệ
bất
phương
trình
là
tìm
tập
nghiệm
của
nó.
Hiển
nhiên,
tập
nghiệm
của
một
hệ
bất
phương
trình
là
giao
của
tất
cả
các
tập
nghiệm
của
các
bất
phương
trình
trong
hệ.
Do
đó:
Muốn
giải
hệ
bất
phương
trình
một
ẩn,
ta
giải
từng
bất
phương
trình
của
hệ
rồi
lấy
giao
của
các
tập
nghiệm
thu
được.
VÍ
DỤ
4 |
Giải
hệ
bất
phương
trình
|
|
Lời
giải |
Giải
lần
lượt
từng
bất
phương
trình
của
hệ,
ta
có:
Biểu
diễn
trên
trục
số:
Tập
nghiệm
của
(1)
là:
Tập
nghiệm
của
(2)
là:
Tập
nghiệm
của
(3)
là:
Giao
của
ba
tập
nghiệm
là:
Vậy
tập
nghiệm
của
hệ
là:
hay
còn
có
thể
viết
là
.
|
|
CHÚ
Ý
Trong
thực
hành,
để
cho
gọn
ta
chỉ
cần
biểu
diễn
các
tập
nghiệm
của
các
bất
phương
trình
của
hệ
trên
một
trục
số.
Khi
đó,
ta
gạch
đi
các
điểm
(phần)
không
thuộc
tập
nghiệm
của
từng
bất
phương
trình
trong
hệ,
phần
còn
lại
sẽ
biểu
diễn
tập
nghiệm
cần
tìm
và
lời
giải
trên
có
thể
trình
bày
lại
như
sau:
Ta
có:
Suy
ra,
Vậy
tập
nghiệm
của
hệ
bất
phương
trình
là:
BÀI
TẬP[sửa]
1.
Một
bạn
lập
luận
như
sau:
Do
hai
vế
của
bất
phương
trình
luôn
không
âm
nên
bình
phương
hai
vế,
ta
được
bất
phương
trình
tương
đương
.
Theo
em,
lập
luận
trên
có
đúng
không?
Vì
sao?
2.
Tìm
điều
kiện
xác
định
rồi
suy
ra
tập
nghiệm
của
mỗi
bất
phương
trình
sau: |
a)
|
b)
|
c)
|
d)
|
3.
Trong
hai
bất
phương
trình
sau
đây,
bất
phương
trình
nào
tương
đương
với
bất
phương
trình
2x
-
1
≥
0:
và
4.
Trong
bốn
cặp
bất
phương
trình
sau
đây,
hãy
chọn
ra
các
cặp
bất
phương
trình
tương
đương
(nếu
có): |
a)
x
-
2
>
0
và
|
b)
x
-
2
<
0
và
>
0; |
c)
x
-
2
≤
0
và
≤
0; |
d)
x
-
2
≥
0
và
≥
0; |
5.
Giải
các
bất
phương
trình
sau: |
a)
|
b)
|
c)
|
d)
|
e)
|
f)
|
6.
Giải
hệ
bất
phương
trình: |
a)
|
b)
|
c)
|
d)
|
e)
|
f)
|
g)
|
h)
|
Xem
thêm[sửa]
Tài
liệu
tham
khảo[sửa]
-
Sách
in:
-
Đại
số
10,
Nhà
xuất
bản
Giáo
dục,
2006,
trang
80.
-
Đại
số
10
Nâng
cao,
Nhà
xuất
bản
Giáo
dục,
2006,
trang
113
và
117.
-
Đại
số
10,
Nhà
xuất
bản
Giáo
dục,
2001,
trang
78
và
88.
-
Tài
liệu
giáo
khoa
thí
điểm,
Đại
số
10,
Ban
khoa
học
tự
nhiên,
Nhà
xuất
bản
Giáo
dục,
1997,
trang
124
và
143.
Liên
kết
ngoài[sửa]
-
Bất
phương
trình
trên
Wikipedia.
<<<
Đại
số
10
|