Hướng dẫn Cách phá dấu giá trị tuyệt đối hay nhất, chi tiết, bám sát nội dung SGK Toán lớp 10, giúp các em ôn tập tốt hơn. Show
1. Phương pháp chungĐể giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách: - Bước 1 : Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối - Bước 2: Giải các bất phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối - Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét - Bước 4 : Kết luận nghiệm 2. Lý thuyếtPhương trình dạng |f(x)|=|g(x)| ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau: hoặc |f(x)| = |g(x)|⇔ f2(x) = g2(x) - Đối với phương trình dạng |f(x)| = g(x)(*) ta có thể biến đổi tương đương như sau: 3. Các dạng phương trình tuyệt đối3.1) Giải phương trình: |A(x)|=b (b≥0), |A(x)|=B(x)Cách giải phương trình: |A(x)|=b (b≥0), 3.2) Cách giải phương trình: |A(x)|=B(x)Ví dụ 1.Giải phương trình|x−2|+3x+2=0. - Phân tích : - Lời giải : Ví dụ 2.Giải phương trình |x + 2| + x2 – 3x =1 Lời giải : Ví dụ 3.Giải phương trình|x−1|+|x−2|=2x−3. - Phân tích:Đây là bài toán có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối nên cần lưu ý các trường hợp sau + Nếux<1thìx<2nên|x−1|=−(x−1)và|x−2|=−(x−2). + Nếu1≤x<2thì|x−1|=x−1và|x−2|=−(x−2). + Nếux≥2thìx>1nên|x−1|=x−1và|x−2|=x−2. Từ những phân tích trên ta có lời giải như sau : - Lời giải : 3.3) Giải phương trình dạng: |A(x)|=|B(x)|Cách giải: Ví dụ.Giải phương trình|x2 – 4x + 3| - |x2 – 3| = 0 - Phân tích:Bài toán có dạng - Lời giải: 3.4) Giải phương trình: |A(x)|+|B(x)|=bCách giải 1: – Bước 1: Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối – Bước 2: Giải các phương trình theo các khoảng trong bảng Ví dụ: Giải phương trình: |x+1|+|x-1|=10 Giải – Bước 1: Lập bảng phá dấu || – Bước 2: Giải các phương trình theo các khoảng
Vậy phương trình có 2 nghiệm x=5 và x=-5 Cách giải 2: Đưa về 4 trường hợp sau Ví dụ: Giải phương trình: |x+1|+|x-1|=10 (*) Giải 4. Bài tập có lời giảiBài 1:Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau: a) A = 3x + 2 + | 5x | với x > 0. b) A = | 4x | - 2x + 12 với x < 0. c) A = | x - 4 | - x + 1 với x < 4 Hướng dẫn: a) Với x > 0⇒ | 5x | = 5x Khi đó ta có: A = 3x + 2 + | 5x | = 3x + 2 + 5x = 8x + 2 Vậy A = 8x + 2. b) Ta có: x < 0⇒ | 4x | = - 4x Khi đó ta có: A = | 4x | - 2x + 12 = - 4x - 2x + 12 = 12 - 6x Vậy A = 12 - 6x. c) Ta có: x < 4⇒ | x - 4 | = 4 - x Khi đó ta có: A = | x - 4 | - x + 1 = 4 - x - x + 1 = 5 - 2x. Vậy A = 5 - 2x Bài 2:Giải các phương trình sau: a) | 2x | = x - 6 b) | - 5x | - 16 = 3x c) | 4x | = 2x + 12 d) | x + 3 | = 3x - 1 Hướng dẫn: a) Ta có: | 2x | = x - 6 + Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 2x = x - 6⇔ x = - 6. Không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0. + Với x < 0, phương trình tương đương: - 2x = x - 6 ⇔ - 3x = - 6⇔ x = 2. Không thỏa mãn điều kiện x < 0. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. b) Ta có: | - 5x | - 16 = 3x + Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 5x - 16 = 3x⇔ 2x = 16⇔ x = 8 Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 + Với x < 0, phương trình tương đương: - 5x - 16 = 3x⇔ 8x = - 16⇔ x = - 2 Thỏa mãn điều kiện x < 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 2;8 } c) Ta có: | 4x | = 2x + 12 + Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 4x = 2x + 12⇔ 2x = 12⇔ x = 6 Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 + Với x < 0, phương trình tương đương: - 4x = 2x + 12⇔ - 6x = 12⇔ x = - 2 Thỏa mãn điều kiện x < 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 2;6} d) Ta có: | x + 3 | = 3x - 1 + Với x ≥ - 3, phương trình tương đương: x + 3 = 3x + 1⇔ - 2x = - 2⇔ x = 1. Thỏa mãn điều kiện x ≥ - 3 + Với x < - 3, phương trình tương đương: - x - 3 = 3x + 1⇔ - 4x = 4⇔ x = - 1 Không thỏa mã điều kiện x < - 3 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}
Phá dấu giá trị tuyệt đối thường hay gây những nhầm lẫn về dấu dẫn tới kết quả sai. Trong bài viết này, mình sẽ phân nó thành 3 dạng bài toán thường gặp. ứng với mỗi dạng toán có kèm phương pháp giải cũng như ví dụ minh họa. Bài toán 1: phương trình |f(x)| = kNếu đề cho phương trình |f(x)| = k, với k có giá trị không âm thì ta làm như sau
Ví dụ: Hãy giải phương trình có dấu giá trị tuyệt đối như sau a) |2x + 3| = 8 b) |2 – 5x| = 2 c) $\left| {\frac{{5x – 2}}{{3x}}} \right| = 5$ Lời giải a) |2x + 3| = 8 $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + 3 = 8\\ 2x + 3 = – 8 \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l} x = \frac{5}{2}\\ x = \frac{{11}}{2} \end{array} \right.$ Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là x = 5/2 và x = 11/2 b) |2 – 5x| = 2 $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2 – 5x = 2\\ 2 – 5x = – 2 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{4}{5} \end{array} \right.$ Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là x = 0 và x = 4/5 c) $\left| {\frac{{5x – 2}}{{3x}}} \right| = 5$ Tập xác định: x ≠ 0 $\left| {\frac{{5x – 2}}{{3x}}} \right| = 5$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{5x – 2}}{{3x}} = 5\\ \frac{{5x – 2}}{{3x}} = – 5 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x – 2 = 15x\\ 5x – 2 = – 15x \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – \frac{2}{{10}}\\ x = \frac{1}{{10}} \end{array} \right.$ Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là x = – 2/10 và x = 1/10 Bài toán 2: Phương trình |f(x)| = g(x)Hãy giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có dạng tổng quát: |f(x)| = g(x)
Ví dụ: Hãy giải phương trình sau a) |5x – 3| = 6x + 1 b) |9 – 2x| = 5x c) $\left| {\frac{{9x}}{{3x + 5}}} \right| = 6x$ Lời giải a) |5x – 3| = 6x + 1 <=> $\left[ \begin{array}{l} 5x – 3 = 6x + 1\\ 5x – 3 = – \left( {6x + 1} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = \frac{2}{{11}} \end{array} \right.$ Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là x = 4 và x = 2/11 b) |9 – 2x| = 5x <=> $\left[ \begin{array}{l} 9 – 2x = 5x\\ 9 – 2x = – 5x \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{9}{7}\\ x = – 3 \end{array} \right.$ Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là x = 9/7 và x = – 3 c) $\left| {\frac{{9x}}{{3x + 5}}} \right| = 6x$ Tập xác định: 3x + 5 ≠ 0 <=> x = – 5/3 $\left| {\frac{{9x}}{{3x + 5}}} \right| = 6x$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{9x}}{{3x + 5}} = 6x\\ \frac{{9x}}{{3x + 5}} = – 6x \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 9x = 18{x^2} + 30x\\ 9x = – 18{x^2} – 30x \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 18{x^2} + 21x = 0\\ 18{x^2} + 39x = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – \frac{7}{6}\\ x = – \frac{{39}}{{18}} \end{array} \right.$ kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là x = 0; x = – 7/6 và x = – 39/18 Bài toán 3: phương trình |f(x)| = |g(x)|Hãy giải phương trình có dấu giá trị tuyệt đối dạng tổng quát |f(x)| = |g(x)| Bạn có thể làm theo tuần tự 3 bước giải sau đây:
Ví dụ: Giải phương trình sau a) |3x2 + 6x| = |4x + 1| b) $\left| {\frac{7}{{6x}}} \right| = \left| {2x + 5} \right|$ c) $\left| {\frac{{5{x^2} – 1}}{{3 – 2x}}} \right| = \left| {11x – 1} \right|$ Lời giải a) |3x2 + 6x| = |4x + 1| <=> $\left[ \begin{array}{l} 3{x^2} + 6x = 4x + 1\\ 3{x^2} + 6x = – \left( {4x + 1} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3{x^2} + 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = \frac{1}{3} \end{array} \right.\\ 3{x^2} + 10x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ – 5 + \sqrt {22} }}{3}\\ x = \frac{{ – 5 – \sqrt {22} }}{3} \end{array} \right. \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = \frac{1}{3}\\ x = \frac{{ – 5 + \sqrt {22} }}{3}\\ x = \frac{{ – 5 – \sqrt {22} }}{3} \end{array} \right.$ Kết luận:Phương trình có 4 nghiệm là $x = – 1$; $x = \frac{1}{3}$; $x = \frac{{ – 5 + \sqrt {22} }}{3}$; $x = \frac{{ – 5 – \sqrt {22} }}{3}$ b) $\left| {\frac{7}{{6x – 2}}} \right| = \left| {2x + 5} \right|$ Miền xác định: 6x – 2 ≠ 0 <=> x ≠ 1/3 $\left| {\frac{7}{{6x – 2}}} \right| = \left| {2x + 5} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{7}{{6x – 2}} = 2x + 5\\ \frac{7}{{6x – 2}} = – \left( {2x + 5} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 7 = \left( {2x + 5} \right)\left( {6x – 2} \right)\\ 7 = – \left( {2x + 5} \right)\left( {6x – 2} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 12{x^2} + 26x – 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ – 13 + \sqrt {373} }}{{12}}\\ x = \frac{{ – 13 – \sqrt {373} }}{{12}} \end{array} \right.\\ 12{x^2} + 26x – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ – 13 + \sqrt {205} }}{{12}}\\ x = \frac{{ – 13 – \sqrt {205} }}{{12}} \end{array} \right. \end{array} \right.$ kết luận: Phương trình có 4 nghiệm lần lượt là $x = \frac{{ – 13 + \sqrt {373} }}{{12}}$; $x = \frac{{ – 13 – \sqrt {373} }}{{12}}$; $x = \frac{{ – 13 + \sqrt {205} }}{{12}}$; $x = \frac{{ – 13 – \sqrt {205} }}{{12}}$ c) $\left| {\frac{{5{x^2} – 1}}{{3 – 2x}}} \right| = \left| {11x – 1} \right|$ Miền xác định 3 – 2x ≠ 0 <=>x ≠ 1,5 $\left| {\frac{{5{x^2} – 1}}{{3 – 2x}}} \right| = \left| {11x – 1} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{5{x^2} – 1}}{{3 – 2x}} = 11x – 1\\ \frac{{5{x^2} – 1}}{{3 – 2x}} = – \left( {11x – 1} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5{x^2} – 1 = \left( {11x – 1} \right)\left( {3 – 2x} \right)\\ 5{x^2} – 1 = – \left( {11x – 1} \right)\left( {3 – 2x} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5{x^2} – 1 = – 22{x^2} + 35x – 3\\ 5{x^2} – 1 = – \left( { – 22{x^2} + 35x – 3} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 27{x^2} – 35x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1,2364\\ x = 0,06 \end{array} \right.\\ 17{x^2} – 35x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{35 + \sqrt {953} }}{{34}}\\ x = \frac{{35 – \sqrt {953} }}{{34}} \end{array} \right. \end{array} \right.$ Kết luận: Phương trình có 4 nghiêm là x = 1,2364; x = 0,06; $x = \frac{{35 + \sqrt {953} }}{{34}}$ và $x = \frac{{35 – \sqrt {953} }}{{34}}$ Trên đây là nội dung các bài toán về giá trị tuyệt đối ở lớp 7 bạn cần quan tâm. Hy vọng với những chia sẻ ở trên đã phần nào đóng góp được cho bạn những kiến thức bổ ích. |
