Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 .Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3 @chanhquocnghiem:Đây cũng là 1 minh chứng cho bài toán được giải quyết tốt khá là nhẹ nhàng, ngắn gọn khi tiếp cận bằng pp "mộc mạc, cổ điển " quen thuộc, trong khi đó nếu dùng hàm sinh thì bài giải khá dài, cồng kềnh và phải vận dụng thêm một ít kiến thức toán học khác. a/ Cách tiếp cận "chân phương ", truyền thống:(Mời bạn gì đó nên xem phần này nhé ) theo mình thì bạn phân thành 3 tập :$A_0=\left \{ 3,6,9 \right \},A_1=\left \{ 1,4,7 \right \},A_2=\left \{ 2,5,8 \right \} $. Sau đó bạn tính số tập con có 4 phần tử mà tổng các phần tử chia hết cho 3. Tdụ : số cách chọn 2 ptử thuộc $A_0$ + 1 ptử thuộc $A_1$ + 1 ptử thuộc $A_2$ là : $C^{1}_{3}.C^{1}_{3}.C^{1}_{3}=27$..vv... Cứ tính như vậy, bạn sẽ có số tập con có 4 ptử và tổng 4 ptử chia hết cho 3 là $42$. Thực hiện hoán vị 4 ptử trong mỗi tập, bạn sẽ được số các số thỏa yêu cầu đề bài là $4!42$. Từ đây bạn dễ dàng tính được XS mà đề bài yêu cầu. b/ Tiếp cận bằng hàm sinh : Ta lập hàm sinh $G(x,y)$, trong đó $x$ mang thông tin là tổng các phần tử, $y$ mang thông tin là số phần tử. Ta có : $$G(x,y)=(1+xy)(1+x^2y)(1+x^3y)...(1+x^9y)$$ Khai triển dưới dạng tổng thì: $G(x,y)=\sum_{n,k}^{} a_{n,k}x^ny^k$ Gọi $\omega ^{2\pi i/3} $ là một căn bậc 3 của đơn vị và $N$ là số tập con $ k$ phần tử và tổng k phần tử trong tập con này là $n$ thì : $N=\sum_{k\geq 0, 3\mid n}^{}a_{n,k}y^k=\frac{G(1, y) +G(\omega, y)+G(\omega^2, y) }{3}$ Ta có : $G(1,y)=(1+y)^9$ $G(\omega^j,y)=(1+\omega^jy)(1+\omega^{2j}y)...(1+\omega^{9j}y)=\left ( (1+\omega y)(1+\omega^{2}y) (1+\omega^{3}y) \right )^3, \forall j\geq 1$ Dễ thấy phương trình $y^3+1=0$ có nghiệm là $-e^{-1}, -e^{-2}, -e^{-3} $ nên : $(1+\omega y)(1+\omega^{2}y) (1+\omega^{3}y)=1+y^3$ Suy ra : $N=\sum_{k\geq 0, 3\mid n}^{}a_{n,k}y^k=\frac{(1+y)^9+2(1+y^3)^3}{3}$ Với $k=4$ ta có : $N=\frac{\binom{9}{4}+2(1+y^3)^3}{3}=\frac{\binom{9}{4}}{3}=\frac{126}{3}=42$ Suy ra số các số thỏa yêu cầu đề bài là $\boxed {4!42}$ Chú thích : - Số hạng thứ hai trong tử số của $N$ bằng $0$ vì sau khi khai triển số hạng này thì trong khai triển không có số hạng nào chứa $y^4$. PS: Nhân đây, cho phép em hỏi thăm anh Chanhquocnghiem : Lâu rồi không thấy anh viết bài trên forum, anh mạnh khỏe chứ? Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 15-08-2022 - 06:19 Ta gọi số đó là : $abcd$ Chia hết cho $5$ thì tận cùng phải là $0$ hoặc $5$. Khi đọc xuôi hay ngược thì giá trị ko đổi $→$ $a = d$ Mà $0$ thì ko thể là hàng nghìn $→$ $abcd = 5bc5$ Chia hết cho $9$ thì tổng của các chữ số chia hết cho $9$ $→$ $bc$ khác $5$ $a + b + c + d$ : hết cho $9$. Ta có : $5 + b + c + 5 = 10 + b + c$ chia hết cho $9$ Mà $18$ chia hết cho $9$ $→$ $10 + b + c = 18$ $b + c = 8$ Khi đọc xuôi hay ngược giá trị ko đổi, mà $4 + 4 = 8$. Suy ra $bc = 44$ Vậy $abcd = 5445$ Cho mk câu trả lời hay nhất nhé Tiểu họcBài toán có bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho cả 5 và 9 30/01/2020 09:21 966Bài toán: Có bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho cả 5 và 9? Giải: Các số chia hết cho 5 và 9 thì chia hết cho 45 nên các số đó có khoảng cách là 45. Từ khóa:toán nâng cao, toán tư duy
Chia sẻ
|
