Công thức Tính xác suất đơn giản

Trong bài viết này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các công thức tính xác suất công, nhân, điều kiện, bernoulli và bayes. Nhờ nó mà chuyển việc tính xác suất của biến cố phức tạp về các phép tính của các biến cố đơn giản hơn. Mời các bạn theo dõi bên dươi đây.

Công thứ tính xác suất gồm có năm công thứ bao gồm: Công xác suất, tính xác suất, xác suất điều kiện, Bernoulli, Bayes.

Công thức cộng xác suất: P(A+B)

Về công thức thì ta có:

1. Nếu A và B là 2 biên cố bất kỳ thì P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
2. Nếu nhiều biến cố bất kỳ thì P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A.B) – P(A.C) – P(B.C) + P(A.B.C)
3. Biến cố đối lập P(A—) = 1 – P(A).
4. Nếu các biến cố xung khắc tức A.B = ø thì P(A+B) = P(A) + P(B)

Ví dụ: Một tỉnh thành có xác suất người mắc bệnh tim là 0,09, xác suất người mắc bệnh phổi là 0,12. Và xác suất người mắc cả 2 bệnh là 0,07. Tìm ra một người, tính xác suất để người đó không mắc cả 2 bệnh trên.

Giải:

Gọi: A:”người mắc bệnh tim”, B:”người mắc bệnh phổi”, A.B:”người mắc cả 2 bệnh”

P(A) = 0,09; P(B) = 0,12; P(A.B) = 0,07.

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) = 0,09 + 0,12 – 0,07 = 0,14.

Mà đề bài kêu tính xác suất người không mắc cả 2 bệnh là P(A—.B—).

Dùng công thứ De_Morgan: (A+B)— = A—.B—

Suy ra ta có: P(A—.B—) = P(A+B)— = 1 – P(A+B) = 1 – 0,14 = 0.86.

Công thức ngoài lề cần nhớ: P(A.B—) = P(A) – P(A.B)

Công thức nhân xác suất: P(A.B)

Công thức nhân xác suất:

1. Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ: P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)
2. Nếu nhiều biến bất kỳ: P(A1A2A3..An) = P(A1).(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(An/A1A2A3…An-1)
3. Nếu A và B là 2 biến cố độc lập: P(A.B) = P(A).P(B).

Công thức xác suất có điều kiện: P(A/B)

Công thức là: P(A/B) = P(A.B)/P(B).

Trong đó: B là điều kiện, P(B) > 0.

Tính chất công thứ tính xác suất có điều kiện:

0 <= P(A/B) <= 1; P(B/B) = 1; P(A— /B) = 1 – P(A/B); P(A1 + A2 / B) = P(A1/B) + P(A2/B) nếu A1A2 = ø;…

Công thứ Bernoulli

Bernoulli thì kết quả chỉ có thể là thành công (T) hoặc thất bại (T— ).

Công thức: Pn(K,P) = Ckn.Pk.(1 – P)n-k

Công thức bayes

– Nếu các biến cố là nhóm đầy đủ (xung khắc từng đôi, hội các biến cố Ai bằng Ω) và A là một biến cố bất kỳ thì ta có công thức bên dưới.

Công thức: P(Ai/B) = P(Ai).P(B/Ai) / P(B)

Bài 1: Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh.Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộpđó.Tính xác xuất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh.Hướng dẫn* Số cách lấy lần lượt 2 viên bi từ hộp là 10.9 = 90 (cách)* Nếu lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh thì có 6.4 = 24 (cách)* Nếu lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 cũng là bi xanh thì có 4.3 = 12 (cách)

Suy ra xác suất cần tìm là

( 24 + 12) 4p = =

90 10

Bài 2: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu.Hướng dẫnTổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi Ω là không gian mẫu.Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có C 4cách lấy hay n( Ω ) = C 4 .Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau:+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có C 2 C1C1 = 2160 cách+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có C1 C 2C1 = 1680 cách+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có C1 C1C 2 = 1200cáchDo đó, n(A) = 5040

Vậy, xác suất biến cố A là

P( A) = n( A) = 5040
n(Ω) 10626≈ 47, 4%

Bài 3: Từ các chữ số của tậpT = {0;1; 2; 3; 4; 5} , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiêncó ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó cóít nhất một số chia hết cho 5.Hướng dẫn+ Có 5.A2 = 100số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau+ CóA2 + 4.A1 =

36

số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

+ Có 64 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.+ n (Ω) =

C1

.C1= 9900
100 99

+ Gọi A là biến cố : “Trong hai số được ghi trên 2 tấm thẻ có ít nhất 1 số chia hết cho 5”

Ta có:n ( A) =
C1

.C1+
C1.C1= 3564

Vậy :36 64 36 35

P ( A) = n ( A) = 3564 = 9 = 0, 36

n (Ω)

20

10 5 5

9900 25Bài 4: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xácsuất để trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵntrong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4.Hướng dẫn- Số phần tử của không gian mẫu là:n (Ω) = C

5

= 15504 .

- Trong 20 tấm thẻ, có 10 tấm thẻ mang số lẻ, có 5 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho4, 5 tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 4.- Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Ta có:n ( A) = C 3 .C1.C1 = 3000 .

Vậy, xác suất cần tính là:P ( A) = n ( A) = 3000 = 125 .

n (Ω)= 995

A 415504 646Bài 5: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên mộtsố từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữsố lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ).Hướng dẫnXét các số có 9 chữ số khác nhau:- Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên.- CóA8 cách chọn 8 chữ số tiếp theoDo đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9. A8 = 3265920Xét các số thỏa mãn đề bài:- Có C 4 cách chọn 4 chữ số lẻ.- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7cách xếp.- Tiếp theo ta có2 cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0.- Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại.Gọi A là biến cố đã cho, khi đó n( A) = C 4 .7.A2 .6!= 302400.5 4Vậy xác suất cần tìm làP( A) = 302400 = 5 .

3265920 54

11

5 6 5 6

16

Bài 6: Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinhđể làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.Hướng dẫn- Ta cón (Ω) = C

3

= 165

- Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là C 2 .C1 + C1.C 2 = 135- Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 135 = 9

165 11

Bài 7: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và0,9. Tìm xác suất của các biến cố sao cho chỉ có một người bắn trúng mục tiêu.Hướng dẫn- Gọi A là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.8- B là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.9- Gọi C là biến cố cần tính xác suất thì C = A.B + A.BVậy xác suất cần tính là P(C)=0,8.(1-0,9)+(1-0,8).0,9=0,26Bài 8: Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhàhóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ vàcó đủ ba bộ mônHướng dẫnTa có : Ω = C 4= 1820Gọi A: “2nam toán, 1 lý nữ, 1 hóa nữ”B: “1 nam toán, 2 lý nữ, 1 hóa nữ”C: “1 nam toán, 1 lý nữ, 2 hóa nữ “Thì H = A ∪ B ∪ C : “Có nữ và đủ ba bộ môn”C 2C1C1 + C1C 2C1 + C1C1C 2 3P(H ) = 8 5 3 8 5 3 8 5 3 =

Ω 7

Bài 9: Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh
để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.

11Hướng dẫn

n (Ω) = C3

= 165

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.)

Có lẽ bạn đã từng phải tính xác suất rồi, nhưng chính xác thì xác suất là gì, và cách tính như thế nào? Xác suất là khả năng một sự việc nào đó có thể xảy ra, chẳng hạn như trúng xổ số hoặc gieo được mặt số 6 của xúc xắc. Bạn có thể dễ dàng tính xác suất bằng cách dùng công thức tính xác suất (số kết quả mong muốn chia cho tổng số kết quả). Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn từng bước về cách sử dụng công thức tính xác suất và cung cấp một số ví dụ về cách tính xác suất qua công thức.

1. 1

   Chọn một biến cố có các kết quả loại trừ lẫn nhau. Xác suất chỉ có thể được tính toán khi biến cố đó sẽ rơi vào một trong hai trường hợp: hoặc là xảy ra, hoặc là không xảy ra. Biến cố đó và biến cố đối lập với nó không xảy ra đồng thời. Gieo xúc xắc được mặt số 5 hay một con ngựa nào đó thắng cuộc đua là các ví dụ của các biến cố loại trừ lẫn nhau. Hoặc là bạn gieo được mặt số 5 hoặc là không; con ngựa đó hoặc là thắng cuộc, hoặc là không.[1]

   Ví dụ: Bạn không thể tính xác suất của biến cố: “Cả mặt số 5 và mặt số 6 đều xuất hiện trong một lần đổ xúc xắc.”

2. 2

   Xác định tất cả các biến cố và kết quả có thể xảy ra. Giả sử như bạn đang tính xác suất gieo được mặt số 3 của viên xúc xắc có 6 mặt. Trong trường hợp này, “gieo mặt số 3” là biến cố, và viên xúc xắc 6 mặt có thể cho ra một trong 6 con số, do đó tổng số kết quả sẽ là 6. Như vậy, chúng ta biết rằng trường hợp này có 6 biến cố có thể xảy ra và một biến cố mà chúng ta đang tính xác suất. Đơn cử 2 ví dụ khác để giúp bạn định hướng:

   • Ví dụ 1: Xác suất chọn được một ngày rơi vào cuối tuần khi ta chọn một ngày ngẫu nhiên trong tuần là bao nhiêu? "Chọn một ngày rơi vào cuối tuần" là biến cố và số kết quả là tổng số các ngày trong 1 tuần: 7.
   • Ví dụ 2: Trong lọ có 4 viên bi màu xanh, 5 viên màu đỏ và 11 viên màu trắng. Nếu ta lấy 1 viên bi ngẫu nhiên ra khỏi lọ, xác suất lấy được viên bi màu đỏ là bao nhiêu? "Chọn 1 viên bi màu đỏ" là biến cố, và số kết quả là tổng số các viên bi trong lọ: 20.

3. 3

   Chia số biến cố cho số kết quả có thể xảy ra. Đáp số sẽ là xác suất xảy ra của một biến cố. Trong trường hợp gieo mặt số 3 của xúc xắc, số biến cố là 1 (mỗi viên xúc xắc chỉ có một mặt số 3), và số kết quả là 6. Bạn cũng có thể diễn đạt quan hệ này là 1 ÷ 6, 1/6, 0,166, hoặc 16,6%. Sau đây là cách tìm xác suất của các ví dụ trên:[2]

   • Ví dụ 1: Xác suất chọn được một ngày rơi vào cuối tuần khi ta chọn một ngày ngẫu nhiên trong tuần là bao nhiêu? Số biến cố ở đây sẽ là 2 (vì mỗi tuần có 2 ngày cuối tuần), và số kết quả là 7. Xác suất sẽ là 2 ÷ 7 = 2/7. Bạn cũng có thể diễn đạt là 0,285 hoặc 28,5%.
   • Ví dụ 2: Trong lọ có 4 viên bi màu xanh, 5 viên màu đỏ và 11 viên màu trắng. Nếu ta lấy 1 viên bi ngẫu nhiên ra khỏi lọ, xác suất lấy được viên bi màu đỏ là bao nhiêu? Số biến cố trong bài toán này là 5 (vì có 5 viên bi màu đỏ), và số kết quả là 20. Xác suất sẽ là 5 ÷ 20 = 1/4. Bạn cũng có thể diễn đạt là 0,25 hoặc 25%.

4. 4

   Cộng tổng số tất cả các sự kiện có khả năng xảy ra để đảm bảo nó bằng 1. Xác suất của tất cả các biến cố có thể xảy ra cộng lại sẽ phải bằng 1 hoặc 100%. Nếu không được 100% thì rất có thể là bạn đã tính sai vì đã bỏ sót một biến cố có khả năng xảy ra. Hãy kiểm tra lại bài toán để đảm bảo bạn không bỏ sót dữ kiện nào.[3]

   • Ví dụ, xác suất gieo được mặt số 3 của xúc xắc 6 mặt là 1/6, và xác suất gieo tất cả các mặt khác của xúc xắc cũng là 1/6. Do đó, 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, tức là = 100%.

   Lưu ý: Ví dụ, nếu bạn quên mặt số 4 của xúc xắc thì tổng số các kết quả có khả năng xảy ra sẽ chỉ là 5/6 hoặc 83%, nghĩa là đã có vấn đề.

5. 5

   Diễn đạt xác suất của một kết quả không thể xảy ra bằng số 0. Điều này nghĩa là biến cố đó không có khả năng xảy ra. Mặc dù thường thì không có bài toán tính xác suất là 0, nhưng không phải là không thể có.[4]

   • Ví dụ, nếu bạn tính toán xác suất của ngày lễ Phục Sinh rơi vào ngày thứ hai trong năm 2020, đáp án sẽ là 0 vì ngày lễ phục Sinh luôn luôn rơi vào ngày chủ nhật.

   Quảng cáo

1. 1

   Tính từng xác suất riêng biệt để tính toán các biến cố độc lập. Khi đã biết các xác suất đó là gì, bạn sẽ tính riêng từng biến cố một. Giả sử như bạn muốn biết xác suất gieo được mặt số 5 hai lần liên tiếp của xúc xắc 6 mặt là bao nhiêu. Biết rằng xác suất gieo một lần số 5 là 1/6 và xác suất gieo số 5 một lần nữa cũng là 1/6. Kết quả của lần thứ nhất không ảnh hưởng đến lần thứ hai.[5]

   Lưu ý: Xác suất gieo nhiều lần được mặt số 5 được gọi là các biến cố độc lập, vì lần gieo đầu tiên không ảnh hưởng đến kết quả của lần gieo thứ hai.

2. 2

   Xem xét ảnh hưởng của các biến cố trước đó khi tính toán xác suất của các biến cố phụ thuộc. Nếu một biến cố đã xảy ra làm thay đổi khả năng xảy ra của biến cố thứ hai thì nghĩa là bạn đang tính xác suất của các biến cố phụ thuộc. Ví dụ, nếu bạn chọn 2 lá bài trong một bộ bài 52 lá, khi bạn chọn lá bài thứ nhất thì điều đó đã ảnh hưởng đến số lá bài có sẵn khi bạn chọn lá bài thứ hai. Để tính xác suất cho biến cố thứ hai, bạn cần phải lấy số kết quả có thể xảy ra trừ đi 1.[6]

   • Ví dụ 1: Xem xét biến cố: 2 lá bài được rút ngẫu nhiên từ bộ bài. Xác suất rút được cả hai lá nhép (chuồn) là bao nhiêu? Xác suất rút được lá nhép thứ nhất là 13/52, hoặc 1/4. (Có 13 lá nhép trong mỗi bộ bài.)
     • Giờ thì, xác suất rút được lá nhép thứ hai sẽ là 12/51 vì 1 lá nhép đã được rút ra. Như vậy nghĩa là hành động đầu tiên của bạn đã ảnh hưởng đến kết quả thứ hai. Nếu bạn rút ra một lá 3 nhép và không đặt trở lại thì sẽ có ít đi 1 lá nhép và 1 lá bài trong bộ bài (51 thay vì 52).
   • Ví dụ 2: Một lọ đựng 4 viên bi xanh, 5 viên đỏ và 11 viên trắng. Nếu 3 viên bi được lấy ra khỏi lọ một cách ngẫu nhiên, xác suất lấy ra viên đầu tiên màu đỏ, viên thứ hai màu xanh và viên thứ ba màu trắng là bao nhiêu?
     • Xác suất lấy viên bi đầu tiên màu đỏ là 5/20, hoặc 1/4. Xác suất lấy viên bi thứ hai màu xanh là 4/19 vì chúng ta có ít hơn 1 viên bi, nhưng viên màu xanh thì không ít hơn. Xác suất rút viên bi thứ ba màu trắng là 11/18 vì chúng ta đã lấy ra 2 viên bi.

3. 3

   Nhân xác suất của từng biến cố riêng biệt với nhau. Bất kể là tính xác suất của các biến cố độc lập hay phụ thuộc với 2,3 hoặc 10 kết quả, bạn có thể tính xác suất toàn phần bằng cách nhân các xác suất của từng biến cố với nhau. Phép tính này sẽ cho ra xác suất của nhiều biến cố xảy ra lần lượt. Do đó, với trường hợp Xác suất gieo được mặt số 5 của viên xúc xắc 6 mặt hai lần liên tiếp là bao nhiêu?, xác suất của hai biến cố độc lập đều là 1/6. Như vậy ta có 1/6 x 1/6 = 1/36. Bạn cũng có thể diễn đạt là 0,027 hoặc 2,7%.[7]

   • Ví dụ 1: Hai lá bài được rút ra ngẫu nhiên từ một bộ bài. Khả năng cả hai lá bài đó đều là lá nhép là bao nhiêu? Xác suất xảy ra của biến cố đầu tiên là 13/52. Xác suất xảy ra của biến cố thứ hai là 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17. Bạn cũng có thể ghi đáp số này là 0,058 hoặc 5,8%.
   • Ví dụ 2: Một lọ đựng 4 viên bi xanh, 5 viên đỏ và 11 viên trắng. Nếu 3 viên bi được lấy ra khỏi lọ một cách ngẫu nhiên, xác suất lấy ra viên đầu tiên màu đỏ, viên thứ hai màu xanh và viên thứ ba màu trắng là bao nhiêu? Xác suất xảy ra của biến cố đầu tiên là 5/20, xác suất của biến cố thứ hai là 4/19, và xác suất của biến cố thứ ba là 11/18. Xác suất toàn phần sẽ là 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032. Bạn có thể diễn đạt là 3,2%.

   Quảng cáo

1. 1

   Đặt tỷ lệ của kết quả tích cực làm tử số. Trở lại ví dụ những viên bi. Giả sử bạn muốn tìm xác suất lấy được 1 viên bi trắng (trong 11 viên bi trắng) ra khỏi lọ bi (có 20 viên tất cả). Tỷ lệ khả năng việc này xảy ra là tỷ lệ khả năng sẽ xảy ra trên khả năng không xảy ra. Bởi vì có 11 viên bi trắng và 9 viên bi không phải màu trắng, bạn sẽ viết tỷ lệ là 11:9.

   • Số 11 thể hiện khả năng lấy được 1 viên bi trắng, số 9 thể hiện khả năng lấy được một viên bi màu khác.
   • Như vậy, tỷ lệ khả năng ở đây tức là khả năng bạn lấy được viên bi trắng.

2. 2

   Cộng các con số với nhau để chuyển đổi tỷ lệ khả năng sang xác suất. Cách thực hiện khá dễ. Đầu tiên, ta chia tỷ lệ khả năng thành 2 biến cố riêng biệt: Khả năng lấy được viên bi trắng (11) và khả năng lấy được viên bi màu khác (9). Cộng hai con số này lại để có tổng số kết quả. Viết kết quả này thành xác suất, với tổng số kết quả vừa tính được là mẫu số.

   • Biến cố lấy được một viên bi trắng là 11, và biến cố lấy được viên bi màu khác là 9. Như vậy, tổng số kết quả là 11 + 9= 20.

3. 3

   Tìm tỷ lệ khả năng tương tự như tính xác suất của một biến cố đơn lẻ. Bạn đã tính ra tổng số kết quả là 20, và 11 trong số đó là khả năng lấy được một viên bi trắng. Như vậy, xác suất lấy được một viên màu trắng có thể được tính toán tương tự như tính xác suất của một biến cố đơn lẻ. Chia 11 (số kết quả tích cực) cho 20 (tổng số biến cố) để tìm xác suất.

   • Như vậy, trong ví dụ này, xác suất lấy được viên bi trắng sẽ là 11/20. Thực hiện phép chia, ta có: 11 ÷ 20 = 0,55 hoặc 55%.

   Quảng cáo

• Có thể bạn cần biết rằng trong cá cược đua ngựa hoặc các môn thể thao, tỷ lệ cá cược thường được diễn đạt như “tỷ lệ bất lợi”, nghĩa là tỷ lệ một biến cố sẽ xảy ra được viết trước, và tỷ lệ một biến cố không xảy ra được viết sau. Tuy có vẻ khó hiểu, nhưng bạn nên biết điều này nếu bạn định cá cược trong một sự kiện thể thao.
• Các cách biểu thị xác suất phổ biến nhất là viết dưới dạng phân số, số thập phân và số phần trăm hoặc thang tỷ lệ từ 1 đến 10.
• Các nhà toán học thường dùng thuật ngữ “xác suất tương đối” để chỉ khả năng một biến cố xảy ra. Từ "tương đối" được dùng ở đây vì không có kết quả nào đảm bảo 100% xảy ra. Ví dụ, nếu ta tung một đồng xu 100 lần, khả năng tung được mặt sấp và mặt ngửa sẽ không chính xác là 50-50. Xác suất tương đối thể hiện điều này.[8]
• Xác suất của một biến cố không bao giờ là số âm. Nếu kết quả tính toán là một số âm, bạn cần kiểm tra lại phép tính.

Bài viết này đã được cùng viết bởi Mario Banuelos, PhD. Mario Banuelos là trợ lý giáo sư toán học tại Đại học Bang California, Fresno. Với hơn tám năm kinh nghiệm giảng dạy, Mario chuyên về toán sinh học, tối ưu hóa, mô hình thống kê cho sự tiến hóa của bộ gen và khoa học dữ liệu. Mario có bằng cử nhân toán học của Đại học Bang California, Fresno và bằng tiến sĩ toán học ứng dụng của Đại học California, Merced. Mario giảng dạy cả ở cấp trung học lẫn đại học. Bài viết này đã được xem 187.393 lần.

Chuyên mục: Toán học

Trang này đã được đọc 187.393 lần.