Đề bài
Cho điểmMtrên cạnhSA, điểmNtrên cạnhSBcủa khối chóp tam giácS.ABCsao cho \({{SM} \over {MA}} = {1 \over 2},{{SN} \over {NB}} = 2.\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi quaMNvà song song vớiSCchia khối chóp thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích hai phần đó.
Lời giải chi tiết
Kéo dàiMNcắtABtạiI. KẻMDsong song với \(SC\left( {D \in AC} \right)\),DIcắtCBtạiE.
Vậy tứ giácMNEDlà thiết diện của khối chóp khi cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\). Ta có
\(\eqalign{ & {{{V_{A.MDI}}} \over {{V_{A.SCB}}}} = {{AM} \over {AS}}.{{AD} \over {AC}}.{{AI} \over {AB}} \cr & = {2 \over 3}.{2 \over 3}.{4 \over 3} = {{16} \over {27}} \cr & \Rightarrow {V_{A.MDI}} = {{16} \over {27}}{V_{S.ABC}} \cr &(BI = MJ,MJ = {1 \over 3}AB\cr&\Rightarrow BI = {1 \over 3}AB,AI = {4 \over 3}AB ). \cr & {{{V_{I.BNE}}} \over {{V_{I.AMD}}}} = {{IB} \over {IA}}.{{IN} \over {IM}}.{{IE} \over {ID}} = {1 \over 4}.{1 \over 2}.{1 \over 2} = {1 \over {16}} \cr & \Rightarrow {V_{I.BNE}} = {1 \over {16}}{V_{A.MDI}} = {1 \over {27}}{V_{S.ABC}} \cr} \)
Gọi \({V_1} = {V_{AMD.BNE}},{V_2}\) là phần còn lại thì
\({V_1} = {V_{A.MDI}} - {V_{I.BNE}} = {{15} \over {27}}{V_{S.ABC}} = {5 \over 9}{V_{S.ABC}}\)
Nên \({V_2} = {V_{S.ABC}} - {V_1} = {4 \over 9}{V_{S.ABC}}\) và \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {5 \over 4}\)