Trong hình học không gian ở lớp 11 ta đã biết một số cách xác định mặt phẳng, chẳng hạn như xác định mặt phẳng bằng ba điểm không thẳng hàng, bằng hai đường thẳng cắt nhau,… Bậy giờ ta sẽ xác định mặt phẳng phương pháp tọa độ. Nội dung bài 2 sẽ giúp các em học sinh đến các dạng của phương trình mặt phẳng, cách để xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng. Bên cạnh đó sẽ là các công thức tính góc giữa hai mặt phẳng và khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, và phương pháp xác định vị trí tương đối của mặt phẳng. Ngoài ra trong bài 2 phương trình mặt phẳng các bạn sẽ được tìm hiểu khái niệm hoàn toàn mới là tích có hướng giữa hai vectơ và những ứng dụng. Định nghĩa: Cho mặt phẳng (α). Nếu vectơ \(\vec{n}\) khác \(\vec{0}\) và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì \(\vec{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của (α). Chú ý: Nếu \(\vec{n}\) là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì \(k\vec{n}\) với k ≠ 0, cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Bài toán: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ không cùng phương \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\). Chứng minh rằng nếu \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α) thì (α) sẽ nhận vectơ \(\vec{n} = (a_2b_3 – a_3b_2; a_3b_1 – a_1b_3; a_1b_2 – a_2b_1)\) làm vectơ pháp tuyến. Giải:  Ta có: \(\)\(\vec{a}.\vec{n} = a_1(a_2b_3 – a_3b_2) + a_2(a_3b_1 – a_1b_3) + a_3(a_1b_2 – a_2b_1)\) \(= (a_1a_2b_3 – a_2a_1b_3) + (a_3a_1b_2 – a_1a_3b_2) + (a_2a_3b_1 – a_3a_2b_1) = 0\) Tương tự \(\vec{b}.\vec{n} = 0\) Vậy vectơ \(\vec{n}\) vuông góc với cả hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), có nghĩa là giá của nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (α) (hình 3.4). Suy ra giá của \(\vec{n}\) vuông góc với mặt phẳng (α). Vì \(\vec{a}, \vec{b}\) không cùng phương nên các tọa độ của \(\vec{n}\) không đồng thời bằng không, suy ra \(\vec{n} ≠ \vec{0}\). Do đó vectơ \(\vec{n}\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α). Vectơ \(\vec{n}\) xác định như trên được gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), kí hiệu là \(\vec{n} = \vec{a} ∧ \vec{b}\) hoặc \(\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]\). Câu hỏi 1 bài 2 trang 70 sgk hình học lớp 12: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). Phương pháp giải: – Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với cả hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}.\) – Tính tích có hướng của hai véc tơ và chọn ra một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Giải: \(\vec{AB} = (2; 1; -2)\) \(\vec{AC} = (-12; 6; 0)\) \([\vec{AB}, \vec{AC}] = ({{\begin{vmatrix}1 \, \, {-2}\\6 \, \, 0\end{vmatrix}} ; {\begin{vmatrix}-2\, \, 2\\0 \, \,{-12}\end{vmatrix}} ;\; {\begin{vmatrix}2 \, \, 1\\{-12}\, \, 6\end{vmatrix}} } ) \\ = (12; 24; 6) = 12(1; 2; 2).\) ⇒ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\vec{n}(1, 2, 2).\) Chú ý: Cũng có thể chọn vectơ pháp tuyến khác chứ không nhất thiết phải chọn \(\vec{n}(1, 2, 2)\), chẳng hạn \(\vec{n}(-1, -2, -2)\) hay \(\vec{n}(12, 24, 24)\) nhưng để tiện cho tính toán ta nên chọn tọa độ đơn giản nhất. Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) đi qua điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) và nhận \(\vec{n}(A; B; C)\) làm vectơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) thuộc mặt phẳng (α) là: \(A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0\) Giải: Ta có \(\overrightarrow{M_0M} = (x – x_0; y – y_0; z – z_0)\) (Hình 3.5) \(M ∈ (α) ⇔ M_0M ⊂ (α) ⇔ \vec{n} ⊥ \overrightarrow{M_0M}\) \(⇔ \vec{n}.\overrightarrow{M_0M} = 0\) \(⇔ A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0\) Bài toán 2: Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x; y; z) thỏa mãn phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) là một mặt phẳng nhận \(\vec{n} = (A; B; C)\) làm vectơ pháp tuyến. Giải: Ta lấy điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) sao cho \(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0\) (chẳng hạn nếu A ≠ 0 thì ta lấy \(x_0 = -\frac{D}{A}; y = z_0 = 0)\) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm \(M_0\) và nhận \(\vec{n} = (A; B; C)\) làm vectơ pháp tuyến. Ta có: \(M ∈ (α) ⇔ A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0\) \(⇔ Ax + By + Cz – (Ax_0 + By_0 + Cz_0) = 0\) \(⇔ Ax + By + Cz + D = 0\) vì \(D = – (Ax_0 + By_0 + Cz_0)\) Từ hai bài toán trên ta có định nghĩa sau. 1. Định nghĩa: Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét: a. Nếu mặt phẳng (α) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là \(\vec{n}(A; B; C)\). b. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) nhận vectơ \(\vec{n}(A; B; C)\) khác \(\vec{0}\) làm vectơ pháp tuyến là \(A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0\). Câu hỏi 2 bài 2 trang 72 sgk hình học lớp 12: Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α): 4x – 2y – 6z + 7 = 0. Phương pháp giải: Mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có một vectơ pháp tuyến là \(\vec{n} = (A; B; C)\) Giải: Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là: \(\vec{n}(4; -2; -6)\). Câu hỏi 3 bài 2 trang 72 sgk hình học lớp 12: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1). Phương pháp giải: – Tính vectơ có hướng của hai vectơ \(\vec{MN}\) và \(\vec{NP}\). – Chọn một vectơ cùng phương với vectơ trên làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. – Viết phương trình \(A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0\) Giải: \(\vec{MN} = (3; 2; 1); \vec{NP} = (1; -1; -1)\) \([\vec{MN}, \vec{NP}] = (-1; 4; -5)\) ⇒ Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là \(\vec{n}(1; -4; 5)\) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1) là: (x – 1) – 4(y – 1) + 5(z – 1) = 0 Hay x – 4y + 5z – 2 = 0. 2. Các trường hợp riêng Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 (1) a. Nếu D = 0 thì gốc tọa độ O có tọa độ thỏa mãn phương trình của mặt phẳng (α). Vậy (α) đi qua gốc tọa độ O (Hình 3.6) b. Nếu một trong ba hệ số A, B, C bằng 0, chẳng hạn A = 0 thì mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là \(\vec{n} = (0; B; C)\). Ta có \(\vec{n}.\vec{i} = 0\). Do \(\vec{i}\) là vectơ chỉ phương của Ox nên ta suy ra (α) song song hoặc chứa trục Ox (Hình 3.7a) Câu hỏi 4 bài 2 trang 73 sgk hình học lớp 12: Nếu B = 0 hoặc C = 0 thì mặt phẳng (α) có đặc điểm gì? Giải: B = 0 ⇒ mặt phẳng (α) // hoặc chứa trục Oy; C = 0 ⇒ mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz. c. Nếu hai trong ba hệ số A, B, C bằng 0, ví dụ A = B = 0 và C ≠ 0 thì từ trường hợp b ta suy ra mặt phẳng (α) song song với Ox và Oy hoặc (α) chứa Ox và Oy. Vậy (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxy) (hình 3.8a). Câu hỏi 5 bài 2 trang 74 sgk hình học lớp 12: Nếu A = C = 0 và b ≠ 0 hoặc nếu B = C = 0 và A ≠ 0 thì mặt phẳng (α) có đặc điểm gì? Giải: A = C = 0 và B ≠ 0 ⇒ mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz) B = C = 0 và A ≠ 0 ⇒ mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz) Nhận xét: Nếu cả bốn hệ số A, B, C, D đều khác 0 thì bằng cách đặt \(a = -\frac{D}{A}, b = -\frac{D}{B}, c = -\frac{D}{C}\), ta có thể đưa phương trình (1) về dạng sau đây: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) (2) Khi đó mặt phẳng (α) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có tọa độ là (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c). Người ta còn gọi phương trình (2) là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn (Hình 3.9). Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho ba điểm M(1; 0; 0), N(0; 2; 0), P(0; 0; 3). Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNP). Giải: Áp dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình của mặt phẳng (MNP) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\) hay 6x + 3y + 2z – 6 = 0. Câu hỏi 6 bài 2 trang 74 sgk hình học lớp 12: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình. (α): x – 2y + 3z + 1 = 0 (β): 2x – 4y + 6z + 1 = 0 Có nhận xét gì về vectơ pháp tuyến của chúng? Giải: Tìm hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng rồi suy ra nhập xét. \(\vec{n_α} = (1, -2, 3)\) \(\vec{n_β} = (2, -4, 6)\) Ta thấy \(\vec{n_β} = 2\vec{n_α}\) nên chúng cùng phương. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng \((α_1)\) và \((α_2)\) có phương trình \((α_1): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\) \((α_2): A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\) Khi đó \((α_1)\) và \((α_2)\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec{n_1} = (A_1; B_1; C_1)\) \(\vec{n_2} = (A_2; B_2; C_2)\) Ta xét điều kiện để hai mặt phẳng \((α_1)\) và \((α_2)\) song song hoặc vuông góc với nhau. 1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song Ta nhận hấy hai mặt phẳng \((α_1)\) và \((α_2)\) song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi chúng cùng vuông góc với một đường thẳng, nghĩa là khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến \(\vec{n_1}\) và \(\vec{n_2}\) của chúng cùng phương (Hình 3.10) Khi đó ta có: \(\vec{n_1} = k\vec{n_2}\) Nếu \(D_1 = kD_2\) thì ta có \((α_1)\) trùng với \((α_2)\). Nếu \(D_1 ≠ kD_2\) thì \((α_1)\) song song với \((α_2)\). Vậy ta suy ra \((α_1) // (α_2) ⇔ \begin{cases}\vec{n_1} = k\vec{n_2}\\D_1 ≠ kD_2\end{cases} ⇔\begin{cases}(A_1; B_1; C_1) = k(A_2; B_2; C_2)\\D_1 ≠ kD_2\end{cases}\) \((α_1) ≡ (α_2) ⇔ \begin{cases}\vec{n_1} = k\vec{n_2}\\D_1 = kD_2\end{cases} ⇔ \begin{cases}(A_1; B_1; C_1) = k(A_2; B_2; C_2)\\D_1 = kD_2\end{cases}\) Chú ý: \((α_1)\) cắt \((α_2) ⇔ \vec{n_1} ≠ k\vec{n_2}\) (Hình 3.11) \(⇔ (A_1; B_1; C_1) ≠ k(A_2; B_2; C_2)\) Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng (β): 2x – 3y + z + 5 = 0 Giải: Vì mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) nên (α) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (2; -3; 1)\). Mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; -2; 3), vậy (α) có phương trình: 2(x – 1) – 3(y + 2) + 1(z – 3) = 0 hay 2x – 3y + z – 11 = 0 2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc Ta nhận thấy hai mặt phẳng \((α_1)\) và \((α_2)\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến \(\vec{n_1}\) và \(\vec{n_2}\) tương ứng của chúng vuông góc với nhau (Hình 3.12) Vậy ta có điều kiện: \((α_1) ⊥ (α_2) ⇔ \vec{n_1}.\vec{n_2} = 0\) \(⇔ A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0\) Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(3; 1; -1), B(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (β) có phương trình: 2x – y + 3z – 1 = 0 Giải: Gọi \(\vec{n}_β\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β). Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (α) là: \(\vec{AB} = (-1; -2; 5)\) và \(\vec{n}_β = (2; -1; 3)\) Do đó mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến: \(\vec{n}_α = \vec{AB} ∧ \vec{n}_β = (-1; 13; 5)\) Vậy phương trình của (α) là: -1(x – 3) + 13(y – 1) + 5(z + 1) = 0 ⇔ x – 13y – 5z + 5 = 0 Định lý: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\). Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến mặt phẳng (α), kí hiệu là \(d(M_0, (α))\), được tính theo công thức: \(d(M_0, (α)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\) Chứng minh: Gọi \(M_1(x_1; y_1; z_1)\) là hình chiếu vuông góc của \(M_0\) trên (α) (Hình 3.13). Xét hai vectơ. \(|\overrightarrow{M_1M_0}|.|\vec{n}| = |\overrightarrow{M_1M_0}.\vec{n}|\) \(= |A(x_0 – x_1) + B(y_0 – y_1) + C(z_0 – z_1)|\) \(= |Ax_0 + By_0 + Cz_0 + (-Ax_1 – By_1 – Cz_1)|\) (1) Mặt khác vì \(M_1\) thuộc (α) nên ta có: \(Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0\) hay \(D = -Ax_1 – By_1 – Cz_1\) (2) Thay (2) vào (1) ta được \(|\overrightarrow{M_1M_0}|.|\vec{n}| = |Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|\) Gọi khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến mặt phẳng (α) là \(d(M_0, (α))\). Vậy \(d(M_0, (α)) = \overrightarrow{M_1M_0}\) \(= \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{|\vec{n}|}\) \(= \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\) Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ và từ điểm M(1; -2; 13) đến mặt phẳng (α): 2x – 2y – z + 3 = 0. Giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách ở trên ta có: \(d(O, (α)) = \frac{|2.(0) – 2.(0) – (0) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{3} = 1\) \(d(M, (α)) = \frac{|2.1 – 2.(-2) – 13 + 3|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{3}\) Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) cho bởi các phương trình sau đây: (α): x + 2y + 2z + 11 = 0 (β): x + 2y + 2z + 2 = 0 Giải: Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới mặt phẳng kia. Ta lấy điểm M(0; 0; -1) thuộc (β), kí hiệu d((α), (β)) là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β), ta có: \(d((α), (β)) = d(M, (α)) = \frac{|(0) + 2.(0) + 2.(-1) + 11|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{9}{3} = 3\) Câu hỏi 7 bài 2 trang 80 sgk hình học lớp 12: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) cho bởi các phương trình sau đây: (α): x – 2 = 0 (β): x – 8 = 0 Phương pháp giải: – Chứng minh hai mặt phẳng song song. – Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng d((α), (β)) = d(M, (β)) ở đó tọa độ điểm M chọn trước thuộc (α). – Công thức khoảng cách: \(d(M_0, (P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\) Giải: Ta thấy: (α) và (β) cùng có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (1; 0; 0)\) Dễ thấy điểm M(2; 0; 0) ∈ (α) nhưng M(2; 0; 0) ∉ (β) nên (α) // (β) Từ đó \(d((α), (β)) = d(M, (β)) = \frac{|2 – 8|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = 6\) Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng 6. Hướng dẫn làm các bài tập SGK bài 2 phương trình mặt phẳng chương 3 hình học 12. Bài giúp các em tìm hiểu phương trình mặt phẳng, xác định vectơ pháp tuyến, vị trí tương đối giữa các mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng: a. Đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận \(\vec{n} = (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến. b. Đi qua điểm A(0; -1; 2) và song song với giá của các vectơ \(\vec{u}(3; 2; 1)\) và \(\vec{v}(-3; 0; 1)\). c. Đi qua ba điểm A(-3; 0; 0), B(0; -2; 0) và C(0; 0; -1).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7) và B(4; 1; 3).
a. Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). b. Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Lập phương trình của mặt phẳng: a. Chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2) b. Chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; -3) c. Chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7)
Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). a. Hãy viết các phương trình mặt phẳng (ACD) và (BCD) b. Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.
Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2; -1; 2) và song song với mặt phẳng (β): 2x – y + 3z + 4 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5 ; 2 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng (β): 2x – y + z – 7 = 0.
Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau: a. 2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z + 2 = 0; b. 3x – 5y + mz – 3 = 0 và 2x + ny – 3z + 1 = 0;
Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau: a. 2x – y + 2z – 9 = 0 b. 12x – 5z + 5 = 0 c. x = 0
Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng (1). a. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau. b. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Trên là nội dung bài 2 phương trình mặt phẳng chương III hình học lớp 12. Nội dung giúp bạn tìm hiểu phương trình mặt phẳng và vị trí tương đối mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng… Bài Tập Liên Quan: |
