Giải bài tập toán 11 bài 5 trang 37

a) \(\cos x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}\)

c) \(2 \sin x+2\cos x-\sqrt{2}=0\)

d) \(5 \cos2x+12\sin 2x-13=0\)

Phương pháp:

Giải phương trình \(a\cos u+b\sin u=c\)

Chia hai vế cho \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\), sau đó dùng công thức cộng để đưa về phương trình cơ bản.

a) \(\cos x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2\), ta được:

\(\begin{aligned} & \dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\&\Leftrightarrow \cos x\cos \dfrac{\pi }{3}-\sin x\sin \dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & \Leftrightarrow \cos \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)=\cos \dfrac{\pi }{4} \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x+\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x+\dfrac{\pi }{3}=-\dfrac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-\dfrac{\pi }{12}+k2\pi \\ & x=-\dfrac{7\pi }{12}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)

b) \(3\sin3x-4\cos3x=5\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\), ta được:

\(\begin{aligned} & \dfrac{3}{5}\sin 3x-\dfrac{4}{5}\cos 3x=1 \\ & \Leftrightarrow \sin 3x\cos \alpha -\cos 3x\sin \alpha =1 \\ & \Leftrightarrow \sin(3x-\alpha )=1 \\ & \Leftrightarrow 3x-\alpha =\dfrac{\pi }{2}+k2\pi\\& \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\alpha }{3}+\dfrac{k2\pi }{3}\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)

(trong đó: \(\sin\alpha=\dfrac{4}{5}\) và \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\))

c) 

\(\begin{aligned} & 2(\sin x+\cos x)=\sqrt{2} \\ & \Leftrightarrow \sin x+\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\dfrac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow \sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=\sin \dfrac{\pi }{6} \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x+\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x+\dfrac{\pi }{4}=\pi -\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\\&\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-\dfrac{\pi }{12}+k2\pi \\ & x=\dfrac{7\pi }{12}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)

d) \(5 \cos2x+12\sin 2x-13=0\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{5^2+12^2}=13\), ta được:

\(\begin{aligned} & \dfrac{5}{13}\cos 2x+\dfrac{12}{13}\sin 2x=1 \\ & \Leftrightarrow \cos 2x\cos \alpha +\sin 2x\sin \alpha =1 \\ & \Leftrightarrow \cos (2x-\alpha )=1 \\ & \Leftrightarrow 2x-\alpha =k2\pi \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\alpha }{2}+k\pi \,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)

(trong đó: \(\sin\alpha=\dfrac{12}{13}\) và \(\cos\alpha=\dfrac{5}{13}\))

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Bài 5 trang 37 SGKĐại số 11

Giải các phương trình sau:

Lời giải

Hướng dẫn

Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos:

asinx + bcosx = c (a2+ b2> 0)

- Chia cả hai vế cho

- Đặt

Hoặc đặt

Xem toàn bộ Giải Toán 11: Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp

Video hướng dẫn giải

Giải các phương trình sau:

LG a

\(cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2\);  

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: \(a\sin x + b\cos x = c\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\)

- Chia cả hai vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), khi đó phương trình có dạng:

\(\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

- Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \\\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \end{array} \right.\) và sử dụng công thức \(\sin x\cos \alpha  + \cos x\sin \alpha  = \sin \left( {x + \alpha } \right)\) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản của sin.

Hoặc đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \\\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \end{array} \right.\) và sử dụng công thức \(\sin x\sin \alpha  + \cos x\cos \alpha  = \cos \left( {x - \alpha } \right)\) và giải phương trình lượng giác cơ bản của cos.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \,\,\cos x - \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2   \cr   &  \Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x - {{\sqrt 3 } \over 2}\sin x = {{\sqrt 2 } \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow \cos x\cos {\pi  \over 3} - \sin x\sin {\pi  \over 3} = {{\sqrt 2 } \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) = \cos {\pi  \over 4}  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x + {\pi  \over 3} = {\pi  \over 4} + k2\pi  \hfill \cr   x + {\pi  \over 3} =  - {\pi  \over 4} + k2\pi  \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x =  - {\pi  \over {12}} + k2\pi  \hfill \cr   x =  - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi  \hfill \cr}  \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - {\pi  \over {12}} + k2\pi \)  hoặc \(x =  - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

LG b

\(3sin3x - 4cos3x = 5\);

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \,\,3\sin 3x - 4\cos 3x = 5  \cr   &  \Leftrightarrow {3 \over 5}\sin 3x - {4 \over 5}\cos 3x = 1 \cr} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{  \sin \alpha  = {3 \over 5} \hfill \cr   \cos \alpha  = {4 \over 5} \hfill \cr}  \right.\), phương trình trở thành

\(\eqalign{  & \sin 3x\sin \alpha  - \cos 3x\cos \alpha  = 1  \cr   &   \Leftrightarrow \cos 3x\cos \alpha  - \sin 3x\sin \alpha  =  - 1\cr &\Leftrightarrow \cos \left( {3x + \alpha } \right) =  - 1  \cr   &  \Leftrightarrow 3x + \alpha  = \pi  + k2\pi   \cr   &  \Leftrightarrow 3x = \pi  - \alpha  + k2\pi   \cr   &  \Leftrightarrow x = {{\pi  - \alpha } \over 3} + {{k2\pi } \over 3}\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)  

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {{\pi  - \alpha } \over 3} + {{k2\pi } \over 3}\,\,\left( {k \in Z} \right)\)  (Với \(\sin \alpha  = {3 \over 5};\,\,\cos \alpha  = {4 \over 5}\)).

Chú ý:

Có thể đặt cách khác như sau:

Đặt \(\left\{ \matrix{  \cos \beta  = {3 \over 5} \hfill \cr   \sin \beta  = {4 \over 5} \hfill \cr}  \right.\), phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}\sin 3x\cos \beta - \cos 3x\sin \beta = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {3x - \beta } \right) = 1\\ \Leftrightarrow 3x - \beta = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} + \beta + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{\beta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}

\end{array}\)

LG d

\(5cos2x + 12sin2x -13 = 0\).

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \,\,5\cos 2x + 12\sin 2x - 13 = 0  \cr   &  \Leftrightarrow {5 \over {13}}\cos 2x + {{12} \over {13}}\sin 2x = 1 \cr} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{  {5 \over {13}} = \cos \alpha  \hfill \cr   {{12} \over {13}} = \sin \alpha  \hfill \cr}  \right.\) , khi đó phương trình trở thành

\(\eqalign{  & \,\,\,\cos 2x\cos \alpha  + \sin 2x\sin \alpha  = 1  \cr   &  \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \alpha } \right) = 1  \cr   &  \Leftrightarrow 2x - \alpha  = k2\pi   \cr   &  \Leftrightarrow x = {\alpha  \over 2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\alpha  \over 2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\) với \(\sin \alpha  = {{12} \over {13}};\,\,\cos \alpha  = {5 \over {13}}\).

Loigiaihay.com