Khối tâm của vật rắn đồng nhất có dạng hình học đối xứng

MT S PHNG PHP XC NH KHI TM CA VT RN V Mễ MEN QUN TNH CAMT S VT NG CHT1. M u1.1. Lớ do chn tiTrong chng trỡnh vt lý bc trung hc ph thụng, khỏi nim v vt rn, tỡm hiu quylut cõn bng cng nh chuyn ng ca vt rn l mt khỏi nim tng i trutng i vi hc sinh. Bn thõn cỏc em ch nh hỡnh rừ v khỏi nim cht im, tỡmhiu v quy lut chuyn ng ca cht im, quy lut chuyn ng m chuyn ngca cỏc vt xem nh l mt im chuyn ng. Khi tip cn vi khỏi nim vt rn,c hiu l vt cú kớch thc mt khỏi nim mi hon ton khỏc so vi khỏi nimcht im m cỏc em ó hc trc ú, vic tỡm hiu quy lut cõn bng ri chuynng ca nú tr nờn khú khn trong tip cn cng nh kho sỏt quy lut chuyn ngv sau ny. Thc t qua quỏ trỡnh ging dy ti n v, giỳp cho cỏc em hiu rừkin thc trong phn ny thỡ mu cht ca vn nm khỏi nim khi tõm ca vtrn, xõy dng cỏc h thc nh lng v tỡm khi tõm ca cỏc vt ng cht. Trongquỏ trỡnh tip cn v vn dng gii toỏn cỏc em hiu rừ c khỏi nim khi tõm cavt rn bit cỏch xỏc nh c khi tõm vt rn thỡ s tru tng ú tr nờn rừ rnghn, vic gii quyt cỏc bi toỏn n gin cng nh phc tp tr nờn khoa hc hn.Trờn c s kin thc v khi tõm ca vt rn ta cú th vn dng xõy dng kin thc vmụ men quỏn tớnh ca vt rn, tỡm ra quy lut chuyn ng ca vt rn T thc ttrờn, bn thõn l mt giỏo viờn dng lp tụi tỡm tũi v xõy dng giỳp hc sinh hiu rừkhỏi nim khi tõm, mt s phng phỏp xỏc nh khi tõm ca vt rn thụng quavic xõy dng chuyờn MT S PHNG PHP XC NH KHI TM CA VT RN V Mễ MEN QUN TNH CAMT S VT NG CHT1.2. Mc ớch nghiờn cu- Xõy dng h thng bi tp v cỏch xỏc nh khi tõm v xỏc nh mụ men quỏntớnh ca vt rn, h tr cho hc sinh nm vng kin thc v khi tõm v mụ men quỏntớnh ca vt rn, hiu rừ kin thc v vt rn kin thc c s hc sinh tỡm hiu quylut cõn bng, quy lut chuyn ng ca vt rn.- Vn dng ủeồ giaỷi nhng baứi tp v khi tõm, nhng bi tp xỏc nh mụmen quỏn tớnh ca vt rn.- To ng lc cho cỏc em hc sinh hiu bit vn dng v yờu thớch kin thc b mụn,t tin trong khi hc v lm bi, ng thi thụi thỳc hc sinh t tỡm ra nhng quy lutlm bi i vi cỏc chuyờn cũn li ca mụn lý, thm chớ cho cỏc mụn hc khỏc.1.3. i tng nghiờn cu.Xõy dng cỏc phng phỏp xỏc nh khi tõm ca vt rn v xỏc nh mụ men quỏntớnh ca vt rn da vo cỏch phõn b khi lng, hỡnh dng ca vt rn.1.4. Phng phỏp nghiờn cu.Vn dng tng hp kin thc ó hc xỏc nh khi tõm ca vt rn v xỏc nh mụmen quỏn tớnh ca vt rn2. Ni dung2.1. C s lý luna. Vt rn:Trong cơ học, vật rắn, hay đầy đủ là vật rắn tuyệt đối, là một tập hợp vô số các chấtđiểm mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ luôn luôn không đổi. Vật thể được xem làvật rắn tuyệt đối khi biến dạng của nó là quá bé hoặc không đóng vai trò quan trọngtrong quá trình khảo sát.b. Khối tâm hay trọng tâm của vật rắnCoi vật rắn là một tập hợp gồm n phần tử và mỗi phần tử có trọng lượng P 1, P2, … Pn.Các trọng lực trên tạo thành một hệ lực song song, điểm đặt (tâm) của hệ lực songsong này gọi là trọng tâm (khối tâm) của vật rắn.c. Mômen quán tính của vật rắn* Khái niệmVị trí khối tâm chưa đặc trưng hoàn toàn cho sự phân bố khối lượng của một hệ. Vìvậy trong cơ học còn có một đặc trưng cho sự phân bố khối lượng là khái niệmmômen quán tính.Mômen quán tính của một vật thể đối với một trục là một đại lượng vô hướng bằngtổng các tích khối lượng của tất cả các điểm thuộc vật thể với bình phương khoảngcách từ các điểm tới trục đó.mi ri 2Biểu thức: I = ∑i2Mômen quán tính có thể biểu thị dưới dạng : I = ∑ ρi ∆vi riVới: mi = ρi ∆viVới vật thể rắn đặc chứa các phần tử khối lượng gần như liên tục phép tính tổngđược thay bằng phép tính tích phân toàn bộ thể tích của vật thể.I = ∫ r 2 dm = ∫ ρ r 2 dVKhi đưa vào hệ trục toạ độ Oxy ta có:I x = ∫ y 2 dmI y = ∫ x 2 dmI 0 = ∫ ( x 2 + y 2 ) dmĐối với hệ toạ độ Oxyz thì:I x = ∫ ( y 2 + z 2 )dmI y = ∫ ( x 2 + z 2 )dmI z = ∫ ( x 2 + y 2 )dm* Thứ nguyên và đơn vị của mômen quán tínhMômen quán tính có thứ nguyên là:2I = ∑ mi ri 2 = [ M ] [ L ]Trong hệ đơn vị SI thì đơn vị mômen quán tính là:I = kg ×m 2* ý nghĩa của mômen quán tínhMômen quán tính của chất điểm đối với một trục đặc trưng cho mức quán tính ( sức ì)của chất điểm đó đối với chuyển động quay quanh trục đó.Đối với toàn bộ vật rắn mômen quán tính đặc trưng cho sự phân bố khối lượng củavật.* Chú ýĐộ lớn của mômen quán tính không chỉ phụ thuộc vào khối lượng của vật rắn mà cònphụ thuộc vào khoảng cách r từ phần tử khối lượng đến trục quay.Mômen quán tính là một đại lượng cộng được tức là mômen quán tính của vật là tổngcác mômen quán tính của các phần tử tạo nên vật.Khi tính mômen quán tính cần chỉ rõ mômen quán tính với trục nào. Vì đối với cáctrục quay khác nhau (nếu vật không có tính đối xứng) thì mômen quán tính có giá trịkhác nhau.* Định lý trục song song (định lý Huyghen-Steiner)Mômen quán tính I của một vật rắn đối với một trục bất kì bằng mômen quán tínhcủa vật đó đối với trục đi qua khối tâm C của vật và song song với trục đó cộng vớitích khối lượng M của vật với bình phương khoảng cách d giữa 2 trục đó.Biểu thức định lý: I = I O + Ma 22.2. Thực trạng vấn đềKhi tiến hành giảng dạy chương tĩnh học vật rắn (vật lý 10), mặc dù đã xâydựng chi tiết cho học sinh về khái niệm trọng tâm, cách xác định trọng tâm. Tuy nhiênkhi tiến hành vận dụng cho các bài toán cụ thể như điều kiện cân bằng của vật rắn cóhình dạng không đặc biệt thì đa số các học sinh gặp khó trong giải quyết bài toán.Việc định hình hướng giải quyết vấn đề đối với các em là rất trừu tượng, học sinhchưa có khả năng xác định được vị trí khối tâm của vật rắn để áp dụng cho bài toánthực tế. Ví dụ các vật rắn dạng ghép vật, khối lượng âm, vật phân bố đồng chất khôngđối xứng…Khi dạy chương cơ vật rắn (vật lý 12 – nâng cao) trực tiếp phụ trách ở độituyển học sinh giỏi thì việc vận dụng kiến thức của học sinh giải quyết các bài toánliên quan đến mô men quán tính của vật rắn. Bản thân các em lại gặp khó khăn trongviệc vận dụng kiến thức đã học để giải quyết bài toán. Trên cơ sở về logic kiến thức,sự khó khăn bản thân học sinh gặp phải, để trợ giúp cho các em có một công cụ hỗ trợđắc lực để giải quyết các bài toán giúp các em hiểu và vận dụng tốt. Tôi đã xây dựngmột số giải pháp sau để hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập.2.3. Các các giải pháp đã sử dụng2.3.1 Xác định khối tâm thường gặp và các phương pháp giảia. Dạng hình học đối xứng: Từ tính chất hình học có thể suy ra khối tâm của vật:Nếu vật đồng chất có mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng thì khối tâm của vật nằmtương ứng trên mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng đó.Ví dụ:* Khối tâm của đĩa tròn chính là tâm O của đĩa.* Khối tâm của hình trụ là trung điểm trục đối xứng.* Nếu vật là hình vuông, chữ nhật, hình bình hành thì khối tâm chính là giaođiểm 2 đường chéo.* Nếu vật là tam giác phẳng đồng chất thì trọng tâm chính là giao điểm 3đường trung tuyến.* Nếu vật là tứ diện đồng chất thì trọng tâm là giao điểm các đoạn nối đỉnh vàtrọng tâm đáy đối diện.b. Dạng ghép vật:* Chia vật thành nhiều phần nhỏ khối lượng mi đã xác định rõ khối tâm Gi(xi ;yi; zi). * Đặt vật vào hệ trục tọa độ Oxy (dạng bản mỏng) hoặc Oxyz (dạng khối).* Tọa độ khối tâm của cả vật được xác định theo công thức:H1.1xG =∑m x∑mi ii; yG =∑m y∑miii; zG =∑m z∑mi iic. Dạng khối lượng âm: Khi vật bị khoét nhiều lỗ có hình thù khác nhau mà trọngtâm của các lỗ khoét có thể tìm được, thì ta có thể áp dụng phương pháp phân chia ởtrên, với điều kiện là các lỗ khoét đi có khối lượng mang dấu âm.d. Dạng xác định bằng thực nghiệmPhương pháp cân chỉ áp dụng cho những vật không đồng chất có hình dạng phức tạpvà có khối lượng lớn ví dụ như là: máy bay, đầu tầu hoả…..e. Dạng vi - tích phân:* Phương pháp chia vật tuy khá hiệu quả trong một số trường hợp nhưngkhông phải là phương pháp tổng quát nhất, ví dụ nó hoàn toàn “bế tắc” khi gặp nhữngvật thể có hình thù lạ như dạng hình cong, hình khối liên tục... khi đó ta vận dụngphương pháp vi - tích phân.* Ta chia vật rắn thành các vi phân dV(hoặc dS; dL), tọa độ khối tâm của vậtrắn được xác định như sau:xG =111xdV ; yG = ∫ ydV ; zG = ∫ zdV∫VVVVVVMột số bài tập minh họaa. Phương pháp hình học đối xứngTừ tính chất hình học của vật thể ta có thể suy ra được khối tâm của vật:• Nếu vật đồng chất có mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng thì khối tâm của vậtnằm tương ứng hoặc trên mặt phẳng đối xứng, hoặc trục đối xứng, hoặc tâm đối xứng.+ Khối tâm của đĩa tròn chính là tâm O của đĩa (H 1.1).+ Khối tâm của hình trụ là trung điểm của trục đối xứng O1O2 (H 1.2).+ Nếu vật đồng chất là hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành,…. thì khốitâm của vật trùng với tâm hình học tức là giao điểm của 2 đường chéo (H1.3).H1.3H1.2+ Nếu vật là tam giác phẳng đồng chất thì khối tâm của nó là giao điểm của 3đường trung tuyến (H 1.4) .+ Nếu vật có hình là một tứ diện đông chất thì khối tâm là giao điểm các đoạnnối đỉnh và trọng tâm đáy đối diện (H 1.5).H1.4H1.5b. Phương pháp ghép vậtCơ sở của phương pháp: ta phân chia vật thành nhiều phần mà vị trí khối tâmcủa từng phần đã biết rõ. Sau đó áp dụng công thức:Bài 1: Xác định khối tâm của một hình đồng chất có kích thước như hình vẽ:Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (H 1.6).Chia vật thành 3 hình chữ nhật:c2+ Hình chữ nhật ABCD có tâm O1 (0, ) .a2+ Hình chữ nhật EFGH có tâm O2 (0, c + ) .+ Hình chữ nhật IKLM có tâm là O3 (0, c + a) .Do hình có trục Oy đối xứng nên khối tâm của vật sẽ nằm trên trục này và có xC = 0Gọi d, ρ lần lượt là bề dày và khối lượng riêng của vật.Khối lượng của vật có dạng hình chữ nhật ABCD là:m1 = ρ ⋅ d ⋅ a ⋅ c = acρdKhối lượng của vật có dạng là hình chữ nhật CDEF là:m2 = ρ ⋅ d ⋅ a ⋅ 2c = 2acρdKhối lượng của vật có dạng là hình chữ nhật IKLM là:m3 = ρd ⋅ b.c = bcρdToạ độ khối tâm của vật là:H1.6yC =yC =yC =m1 y1 + m2 y 2 + m3 y 3m1 + m2 + m3ca+ 2acρd ⋅ (c + ) + bcρd ⋅ (c + a)22acρd + 2acρd + bcρdacρd ⋅5ac + 2a 2 + 2bc + 2ab6a + 2bToạ độ khối tâm của hình cần tìm là: (0,5ac + 2a 2 + 2bc + 2ab).6a + 2bBài 2: Xác định khối tâm của một thanhyAmảnh đồng chất được gập lại thành một tamgiác có độ dài các cạnh như hình vẽ H 1.6.Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy nhưbchình (H1.6). Gốc toạ độ O.aBCOToạ độ của các đỉnh A(xA, yA); B(0, 0); C(xC,0). Ta có:xH 1.7c 2 = x A 2 + y A 2 222b = ( x B − x A ) + y A 22a = x BGiải hệ trên ta thu được:a 2 + c 2 − b2x= A2a14a 2 c 2 − a 2 + c 2 − b 2yA =2ax=a B()2Gọi ρ là khối lượng riêng của vật. Chia vật thành 3 phần:+ Phần thứ nhất là đoạn OA có khối lượng m1 = ρ .c và khối tâm của nó nằm tạitrung điểm của đoạn OA có toạ độa2 + c2 − b2 1;4a 2 c 2 − a 2 + c 2 − b 24a4a((x 1;y1) = ()2).+ Phần thứ hai là đoạn OB có khối lượng m2 = ρ .a và khối tâm của nó nằm tạia2trung điểm của đoạn OB có toạ độ (x2;y2) = ( ;0 ).+ Phần thứ ba là đoạn AB có khối lượng m3 = ρ .b và khối tâm của nó nằm tạitrung điểm của đoạn AB có toạ độ (x 3;y3) =3a 2 + c 2 − b 2 1;4a 2 c 2 − a 2 + c 2 − b 22a4a()2().Toạ độ khối tâm của thanh cần tìm là:xC =m1 x1 + m2 x 2 + m3 x3m1 + m2 + m3yC =m1 y1 + m 2 y 2 + m3 y 3m1 + m2 + m3Thay số, ta có:()()2(c a 2 + c 2 − b 2 + 2a 3 + 2b 3a 2 + c 2 − b 2xC =4a ( a + b + c )()c 4a 2 c 2 − a 2 + c 2 − b 2 + b 4a 2 c 2 − a 2 + c 2 − b 2yC =4a ( a + b + c ))2Bài 3: Xác định khối tâm của một vật hình vuông cạnh 2a đã bị khoét bởi một hìnhcó dạng như hình (H 1.8).Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (H 1.8). Gốc toạ độ tại O.Do hình có trục Ox đối xứng nên hình có khối tâm nằm trên trục này và cóyC = 0 .Gọi ρ , d là khối lượng riêng và bề dày của vật.Ta lắp vào hình vuông đã bị cắt bằng mộtyhình tam giác đã cắt ta sẽ được toàn bộ hình vuôngcạnh 2a và có khối tâm là (0, 0). Khi đó hình vuôngcạnh 2a gồm 2 phần:2a+ Phần 1 (hình tam giác) có khối lượngm1 = ρd12a ⋅ 2a = ρda 2 và có khối tâm O1 ( a,0) .23O2aH 1.8O1x+ Phần 2 (phần cần tìm) có khối lượng m2 = ρd ⋅ 3a 2 = 3a 2 ρd và có khối tâm làO2 ( x2 ,0) .Toạ độ khối tâm của toàn bộ hình vuông cạnh 2a là:2ρda 2 ⋅ a + 3a 2 ρd ⋅ x23⇔=0ρda 2 + 3a 2 ρdm x + m2 x2x0 = 1 1=0m1 + m2⇔22a + 3 x2 = 0 ⇔ x2 = − a3929Toạ độ khối tâm của hình cần tìm là: (− a,0) .Bài 4: Xác định khối tâm của hình đồng chất có dạng như hình vẽ sau:Gắn hình vào hệ trục tọa độ Oxy như hình (H 1.9).Do hình có trục Ox đối xứng nên khối tâm của hình sẽ nằm trên Ox và có tung độyC = 0 .Chia hình thành 2 phần:2+ Phần 1 (hình vuông) có khối lượng là m1 = ρd ⋅ a ⋅ a = a ρd và có khối tâmO1 (0,0)+ Phần 2 ( hình tam giác ) có khối lượng lày133 2m2 = ρd ⋅ a ⋅a=a ρd và có toạ độ224akhối tâm O2 (a + a,0) = ( a,0) .O1Toạ độ khối tâm của hình cần tìm :a1343xC =xam1 x1 + m2 x 2m1 + m2H 1.9Thay số, ta được:xC =y3 243a ρd ⋅ aa4a43 = 3=3 23 3+ 4 3a 2 ρd +a ρd1+44a 2 ρd ⋅ 0 +Toạ độ khối tâm của hình cần tìm là: (m14a,0) .3+ 4 3m2OH 1.10m3xBài 5: Có 3 quả cầu khối lượng m1 , m2 , m3 được đặt sao cho chúng tạo với nhauthành một tam giác đều . Xác định khối tâm của hệ 3 quả cầu đồng chất đó.Gắn hệ 3 quả cầu vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (H 1.12), gốc toạ độ tại O làtrung điểm của đoạn thẳng nối 2 quả cầu có khối lượng m2 và m3.Toạ độ khối tâm của hệ là:xC =m1 x1 + m2 x 2 + m3 x3m1 + m2 + m3yC =m1 y1 + m2 y 2 + m3 y 3m1 + m2 + m3Thay số, ta có:aam1 ⋅ 0 + m2 ⋅ (− ) + m3 ⋅22 = a ( m3 − m 2 )xC =m1 + m2 + m32(m1 + m2 + m3 )yC =m1 ⋅3a + m 2 ⋅ 0 + m3 ⋅ 0am1 32=m1 + m2 + m32(m1 + m2 + m3 )Vậy toạ độ khối tâm của hình cần tìm là (a ( m3 − m 2 )am1 3;).2(m1 + m 2 + m3 ) 2(m1 + m2 + m3 )Bài 6: Xác định vị trí khối tâm của vật đồng chất, khối lượng phân bố đều là đoạn dâyhình cung tròn AB bán kính R, ·AOB = α .Giải:Dễ thấy yG = 0 do Ox là trục đối xứng.Chia vật ra thành n phần nhỏ, có độ dài ∆lk,tọa độ xk = Rcosϕk,Ta có:n∑ ∆l xkk =1LxG == ∆Yk ⇒ xG =2Rk=1 n∆lk R cos ϕ k∆lk R cos ϕk∑L i =1Mặt khác11R. AB ⇒ xG =.R.2 R.sin α =LR.2αsin ααVậy vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn: x =G2 R sinαα2c. Phương pháp khối lượng âmKhi vật bị khoét nhiều lỗ có hình thù khác nhau mà trọng tâm của các lỗ khoét có thểtìm được, thì ta có thể áp dụng phương pháp phân chia ở trên, với điều kiện là các lỗkhoét đi có khối lượng mang dấu âm.Bài 1: Xác định khối tâm của một bản mỏng độ dày d đồng chất hình tròn bán kính Rbị khoét một mẩu hình vuông cạnh là R/2.Giải: Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như hìnhy(H 1.10).Do hình nhận trục Ox làm trục đối xứngnên khối tâm của hình sẽ nằm trên trục Ox vàcó y C = 0 .R/2Lấy hình vuông đã khoét lấp vào hìnhOtròn bị khoét ta được hình tròn tâm O và cóxkhối tâm là (0, 0).Chia hình tròn thành 2 phần:H 1.10+ Phần 1 (hình vuông) có khối lượng:m1 = ρd ⋅R R 1 2R⋅ = R ρd và có toạ độ khối tâm là ( ,0) .2 2 44R21ρd = R 2 ρd (π − ) và có toạ+ Phần 2 (phần bị khoét) có khối lượng: m2 = πR ρd −442độ khối tâm là: ( x 2 ,0) .Hoành độ khối tâm của bản mỏng hình tròn khi chưa bị khoét là:x0 =m1 x1 + m2 x2=0m1 + m2R2R1ρd ⋅ + R 2 ρd (π − ) x24⇔ 4 2 4=0R12ρd + R ρd (π − )44⇔R1+ (π − ) x2 = 0164RR⇒ x 2 = 16 =1 4(4π − 1)π−4Như vậy toạ độ khối tâm của hình cần tìm là: (R,0 ) .4(4π − 1)Bài 2: Người ta khoét một lỗ tròn bán kính R/2 trong mộtđĩa đồng chất, bán kính R, tìm trọng tâm phần còn lại (vòngtròn nhỏ tiếp xúc với vòng tròn lớn).Hướng dẫn giảiGọi:- P1, S1 là trọng lượng và diện tích đĩa tròn có bán kính R/2.- P2, S2 là trọng lượng và diện tích đĩa tròn đã bị khoét.- P = P1 + P2, S = S1 + S2 là trọng lượng và diện tích đĩa tròn chưa khoét.- O1, O2, O là trọng tâm các đĩa trên.P1π R2==4R2- Ta có: OO1 = và P2R2π ÷2+ Theo quy tắc hợp hai lực song songcùng chiều:Ta có: P = P1 + P2OO1 P2P= ⇒ OO2 = 1 OO1OO2 P1P2P11⇒ OO2 =OO1 =OO1PP − P1−1P1Nên: OO2 =1 R R ÷=4 −1  2  6Vậy trọng tâm của đĩa bị khoét nằm trên đường nối tâm O1O và cách O một đoạn R/6(O2 nằm ngoài OO1).Bài 3: Xác định khối tâm của khối trụ đã bị khoét một phần có dạng là một nửa hìnhcầu, bán kính R.Hình trụ có trục đối xứng là đường thẳng O1O2 nối tâm 2 đường tròn bán kínhR của hình trụ.Giải: Khối tâm của toàn bộ hình trụ nằm trêntrung điểm trục đối xứng có tung độ y1 =yh.2O1Do khối hình trên nhận trục Oy làm trục đốixứng nên toạ độ khối tâm của khối hình cầnhtìm nằm trên Oy và có xC = 0 .38Ta có khối tâm của nửa khối cầu là y 2 = R .Tung độ khối tâm của khối hình cần tìm là:yC =m1 y1 − m2 y 2m1 + m2O2xH 1.13Thay số, ta có:h 23h2 1 2πR 2 hρd ⋅ − πR 3 ρd ⋅ R− R3 2h 2 − R 223824yC ===224 3h − 2 RπR 2 hρd − πR 3 ρdh− R33Vậy toạ độ khối tâm của hình cần tìm là (0;3 2h 2 − R 2).4 3h − 2 Rd. phương pháp thực nghiệmBài toán : Xác định trọng tâm của máy bay( khoảng cách a ), biết khoảng cách AB = lHướng dẫn:M = N 2 a − N1 (l − a ) = 0→ N 2 a − N1 (l − a) = 0→a=rN1N1lN1 + N 2lCN2Ta có:N1 + N 2 = Pvới P là trọng lượng của máy bay.Nla= 1Pd. Phương pháp vi - tích phân* Phương pháp giải:rN2ABarPH 1.27Với những vật đồng chất, liên tục không thể sử dụng phương pháp chia vật như trênthì ta có thể dùng phương pháp tích phân.+ Với những vật có dạng hình khối đồng chất liên tục thì trước hết chia vật thành cácthể tích bé ∆v k nào đó . Khi đó toạ độ khối tâm được xác định theo công thức:xC =∑ x ∆vkkV; yC =∑y∆v kkV; zk =∑zk∆v kV,trong đó x k , y k , z k là toạ độ của một điểm nào đó nằm bên trong thể tích ∆v k . Vớinhững vật đồng chất, liên tục nên ta có thể chuyển phép tính tổng thành tích phân:xC =1xdVV V∫yC =1ydVV V∫zC =1zdVV V∫trong đó dV = dxdydz , V là thể tích của hình.+ Tương tự đối với toạ độ khối tâm của những vật hình phẳng (hình thangcong) bằng cách lấy tích phân ta cũng có:xC =11xdS ; yC = ∫ ydS∫SSSStrong đó dS = ydx , S là diện tích của hình.+ Đối với toạ độ khối tâm của đường cong phẳng y = f ( x ) với a ≤ x ≤ b thì được xácđịnh như sau:bxC =b11xdL; y C = ∫ ydL∫LaLa2dytrong đó dL = 1 +   dx , còn L là độ dài của cung. dx * Các bài tập minh họaBài 1: Xác định vị trí khối tâm của các vật đồng chất sauđoạn dây nửa đường tròn bán kính R.Giải:Gọi G là khối tâm của đoạn dây, ta có:xG =1∑ xi ρ∆l i (trong đó ρL : khối lượng của đoạn dây; ∆li là phần nhỏρLcủa đoạn dây có khối lượng ρ∆li ).xG ==xi1.∆l i .cosα i =∑L cosα i1. RL.∑ ∆yi=RR2R.AB =2R =LπRπBài 2: Xác định khối tâm của một thanh đồng chất (H1.12).Chia thanh thành nhiều phần tử nhỏ khối lượng làdm, chiều dài dx và bề dày là d, khối lượng riêng là ρ .Ta có: dm = ρ .d.dxToạ độ khối tâm của thanh:1xC =MxC =L1∫0 xdm = M1 1 2d xM 2L0=H.1.14L∫ x ⋅ d ⋅ dx01 L2d2 MMặt khác diện tích của thanh:S = L⋅d → d =S.LThay vào công thức trên, ta được:1 S L2xC =2LMVì thanh đồng chất nên khối lượng tỉ lệ với diện tích:xC =1 M L2 1= L2 L M 212Vậy toạ độ khối tâm của thanh là: C ( L,0) .Bài 3: Xác định khối tâm của thanh đồng chất có dạng cung tròn góc giới hạn của bánkính bằng αHướng dẫn: Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm (G) của đoạn dây nằm trêntrục Ox (hình vẽ)Xét phần tử có độ dài dl và khối lượng dm:dl = Rdϕdm = ρ dl = ρ RdϕVị trí khối tâm (G) cách tâm O:xG =xG =1mα2α21∫α dm.R cos ϕ = m ∫α ρ .R−−2R2cos ϕ dϕVới: ρ =mRαdl; dmdϕ2R∫α α cos ϕ dϕ = α sin ϕ−Aα2GOα2−2α2=2 R sinαα/2xRα2B2 R sinVậy vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn: x =Gαα2Bài 4: Xác định khối tâm của vật đồng chất, khối lượng phân bố đều là đoạn dây nửađường tròn bán kính R.Giải:Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm (G) của đoạn dây nằm trên trục Ox (hìnhvẽ).Giải tương tự như ví dụ 2.Xét phần tử có độ dài dl và khối lượng dm:dl = Rdϕdm = ρ dl = ρ RdϕVị trí khối tâm (G) cách tâm O:1xG =mxG =α2α21∫α dm.R cos ϕ = m−2RRα2∫α ρ .R−2cos ϕ dϕVới:ρ=mRαxR2∫α α cos ϕ dϕ = α sin ϕ−2GOα2−α2=2 R sinαα2(*)Vì là đoạn dây nửa đường tròn bán kính R nên: α = π ⇒ sinα=12Vậy từ (*) suy ra vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn:xG =2RπBài 5: Xác định vị trí khối tâm của vật đồng chất, khối lượngAphân bố đều là bản hình quạt bán kính R, ·AOB = α .Giải:drdϕGOα/2xRBDo tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm (G) của bản hình quạt nằm trên trục Ox(hình vẽ).Xét phần tử αS (phần tô đen) giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính r và (r + dr) cógóc chắn cung là dϕ , ta có: ds = dl.dr = rdϕ .dr dm = ρ ds = ρ r.dr.dϕVị trí khối tâm (G) cách tâm O:RxG =α211dm. r cos ϕ = ∫ ρ r 2 dr. ∫ cos ϕ dϕ∫mm0α−2Thực hiện phép tính tích phân ở (*) ta thu được: x =G12Với: m = ρα R 2(*)4 R sin3αVậy vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn: x =Gα24 R sin3αα2Bài 6: Xác định vị trí khối tâm của vật đồng chất, khối lượng phân bố đều là bản bánnguyệt bán kính R.Giải:Do tính chất đối xứng nên khối tâm (G) của đoạn dây nằm trên trục Ox (hình).Xét phần tử αS giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính r và(r + dr) có góc chắn cung là dϕ Ta có: ds = dl.dr = rdϕ .dr dm = ρ ds = ρ r.dr.dϕVị trí khối tâm (G) cách tâm O:Adrdϕα−xB(*)212Với: m = ρα R2Thực hiện phép tính tích phân ở (*) ta thu được: x =GVì là bản bán nguyệt bán kính R nên:α/2RR211xG = ∫ dm. r cos ϕ = ∫ ρ r 2 dr. ∫ cos ϕ dϕmm0αGOα = π ⇒ sin4 R sin3αα2(**)α=12xG =Vậy từ (**)suy ra vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn:xa4R3πBài 7: Xác định toạ độ khối tâm của cung đường dây xích y = a.ch , − a ≤ x ≤ a .Giải:Vì đường cong đối xứng đối với trục Oy nên trọng tâm của nó nằm trên trục Oy, nghĩalà xC = 0. Ta tìm tung độ yC .Ta códyx= sh ; khi đó dL =dxa(1 + sh 2xx)dx = ch dx ; độ dài của cungaay2aL=∫−aax dy 1 +   dx = 2 ∫ ch dxa dx 0y=xaL = 2ash= 2ash1a0bxabDo đó:0aH 1.16ayC =a1x1xach 2 dx =ch 2 dx∫∫2ash1 −aash1 0aa1 2x 1 a 2x  ayC =1 + ch dx = x + sh ∫sh1 0 a 2 sh1 2a 0yC =a  11 + sh 2  ≈ 1,18a2 sh1  2Vậy toạ độ khối tâm của đường dây xích là (0; 1,18a).2.3.2 Mômen quán tính của vật rắn đối với một trục cố định và một số bài toánxác định mômen quán tính của vật rắna.Mômen quán tính của vật rắn* Khái niệmVị trí khối tâm chưa đặc trưng hoàn toàn cho sự phân bố khối lượng của một hệ. Vìvậy trong cơ học còn có một đặc trưng cho sự phân bố khối lượng là khái niệmmômen quán tính.Mômen quán tính của một vật thể đối với một trục là một đại lượng vô hướng bằngtổng các tích khối lượng của tất cả các điểm thuộc vật thể với bình phương khoảngcách từ các điểm tới trục đó.mi ri 2Biểu thức: I = ∑i2Mômen quán tính có thể biểu thị dưới dạng : I = ∑ ρi ∆vi riVới: mi = ρi ∆viVới vật thể rắn đặc chứa các phần tử khối lượng gần như liên tục phép tính tổngđược thay bằng phép tính tích phân toàn bộ thể tích của vật thể.I = ∫ r 2 dm = ∫ ρ r 2 dVKhi đưa vào hệ trục toạ độ Oxy ta có:I x = ∫ y 2 dmI y = ∫ x 2 dmI 0 = ∫ ( x 2 + y 2 ) dmĐối với hệ toạ độ Oxyz thì:I x = ∫ ( y 2 + z 2 )dmI y = ∫ ( x 2 + z 2 )dmI z = ∫ ( x 2 + y 2 )dmb. Một số bài toán xác định mômen quán tính của một số vật rắn có hình dạngkhác nhau.ΔBài 1: Xác định mômen quán tính của thanh đồng chất có khốilượng m và có tiết diện nhỏ so với chiều dài l của nó, trục quayΔ đi qua trung điểm của thanh và vuông góc với thanh (hình1) :Hình 1Giải:Chia thanh thành những phần khối lượng nhỏ dm, ta có:dm = ρ dxVới: ρ là khối lượng của mỗi đơn vị dài của thanh, dx là vi phân chiều dài của thanhMô men quán tính với thanh được xác định bởi:l /2l3I = ρ ∫ x dx = ρ3− l /2l /2=2− l /21 3 1ρ l = ml 21212Bài 2: Xác định mô men quán tính đối với đĩa tròn mỏng đồng chất có khối lượng m,có bán kính R, trục quay Δ đi qua tâm đĩa tròn và vuông góc với mặt đĩa (hình 2) :Giải:Chia đĩa thành những phần khối lượng dm thỏa mãn:dm = ρ dS = ρ dr.dlVới dl = rdϕSuy ra: dm = ρ dS = ρ dr.r .d ϕMô men quán tính của đĩa được xác định bởi:R2π00I = ∫ r 2 dm = ρ ∫ r 3dr ∫ dϕ =ρSR411.2π = ρπ R 2 . R 2 = mR 2422dldSOrdrΔBài 3: Xác định mômen quán tính của một đĩa tròn phẳng đồngchất nhưng đã bị khoét 2 lỗ tròn có bán kính bằng 1/2 bán kính đĩa.rGiải:Lấy hai hình tròn đã khoét lấp vào hình tròn bị khoét ta sẽđược một đĩa tròn đồng chất bán kính là R.Trước hết ta tính mômen quán tính của đĩa tròn đồng chất bán kính R.Ta chia đĩa tròn thành những phần tử hình vành khuyên bán kính x và rộng dx. Diệntích của một phần tử là: dS = 2π xdxKhối lượng của một phần tử là: dm = ρ dV = ρ dS = ρ h2π xdx12Và khối lượng của cả vật là: M = πρ hR 2 ⇒ I = MR 2I O1 = I O1 =1 2 1R2 R2 1mr = πρ h .= πρ hR 4224 4 32Mômen quán tính của 2 đĩa tròn nhỏ đối với trục ∆ là:I1 = I 2 =1R2 R23πρ hR 4 + πρ h . = πρ hR 4324 4 32Mômen quán tính của đĩa tròn lớn đã bị khoét đối với trục ∆ là:I k = I − ( I1 + I 2 ) = I − 2I1 =55πρ hR 4 = MR 21616Bài 4: Tính mômen quán tính của một vật hình quả cù bao gồm hình nón và nửa hìnhcầu đối với trục là trục đối xứng của quả cù (trục Oy như hình H 2.26).Chia vật thể thành 2 phần:+ Phần 1 (hình nón)+ Phần 2 (nửa khối cầu).Ta xác định mômen quán tính đối với từng phần của vật.- Phần1: chia hình nón thành những phần nhỏ có dạng là đĩa tròn đồng chất có bề dàydh, khối lượng là: dm = π r 2 ρ dhMặt khác:rhR= →r = hR HHKhimômenđóquántính2củahìnhnónđốivớitrụccủanólà:4r11Rdm = π r 4 ρ .dh = πρ 4 h 4 dh222HH4 H1R1R4 11→ I1 = ∫ dI1 = πρ 4 ∫ h 4 dh = πρ 4 H 5 = πρ R 4 H2H 02H 5100dI1 =Mặt khác ta có khối lượng của khối nón là:1m1 = π R 2 ρ H33Khi đó I1 = m1 R 210Phần 2: ta biết mômen quán tính của khối cầu đối với trục quay đi qua khối tâm là2m2 R 25152. Từ đó ta suy ra mômen quán tính của nửa khối cầu sẽ là: I 2 = m2 R .Vậy mômen quán tính của quả cầu là:31R222I = I1 + I 2 = m1 R + m2 R =(3m1 + 2m2 )10510Gọi m = m1 + m2 là khối lượng của quả cầu, suy ra: 3m1 + 2m2 = m(2 +Khi đó mô men quán tính của quả cầu: I =H)H + 4RR2Hm(2 +)10H + 4RNhận xét kết quả: Trong trò chơi đánh cù trong dân gian để quả cù quay được lâu thìmômen quán tính I của nó càng lớn càng tốt. Với một khối lượng của quả cù khôngđổi thì để I lớn thì R lớn.2.3.3 Bài toán vận dụng định lý trục song song (huy ghen – steinor) để xác địnhmô men quán tính của một vật có trục quay song song với trục đi qua khối tâmcủa vậta. Định lý trục song song (định lý Huyghen-Steiner)Mômen quán tính I của một vật rắn đối với một trục bất kì bằng mômen quán tínhcủa vật đó đối với trục đi qua khối tâm C của vật và song song với trục đó cộng vớitích khối lượng M của vật với bình phương khoảng cách d giữa 2 trục đó.Biểu thức định lý: I = I O + Ma 2b. Một số bài toán vận dụngBài 1: Xác định mô men quán tính của thanh đồng chất khối lượng m chiều dài l đốivới trục quay đi qua một đầu của thanh và vuông góc với thanh. Biết mô men quántính đối với trục quay đi qua khối tâm là I G =1ml 212Hướng dẫn:Áp dụng định lý Huy ghen steno đối với trục quay song song với trục quay đi quakhối tâm ta có:I A = I G + m.a 2 =1l1ml 2 + m( ) 2 = ml 21223Bài 2: Xác định mô men quán tính của một đĩa tròn đồng chất khối lượng m bán kínhR đối với trục quay đi qua mép đĩa vuông góc với đĩa, biết mô men quán tính đối với122trục quay đi qua khối tâm của đĩa là I G = mRHướng dẫn:Áp dụng định lý Huy ghen steno đối với trục quay song song với trục quay đi quakhối tâm ta có:I A = I G + m.a 2 =13mR 2 + mR 2 = mR 222Bài 3: Xác định mô men quán tính của quả cầu đặc đồng chất khối lượng m bán kínhR đối với trục quay tiếp tuyến với quả cầu, biết mô men đối với trục quay đi qua tâm25quả cầu là I G = mR 2Hướng dẫn:Áp dụng định lý Huy ghen steno đối với trục quay song song với trục quay đi quakhối tâm ta có:I A = I G + m.a 2 =27mR 2 + mR 2 = mR 2552.4. Hiệu quả của hoạt động.Khi thực hiện giảng dạy trên lớp chuyển sang phần kiến thức về vật rắn, phầnkiến thức tương đối trừu tượng đối với học sinh. Một mâu thuẫn lớn đặt ra với họcsinh, các em đặt ra các câu hỏi: vậy giải bài toán về quy luật chuyển động hay đứngyên hay chuyển động sẽ được giải quyết như thế nào? Bài toán điều kiện cân bằng haychuyển động của vật rắn so với chất điểm thì có chung kết quả hay không. Từ nhữngthắc mắc đó thông qua các bài tập, đặc biệt là các bài tập phần động học mà các em đãgặp từ đầu năm học, đến đây đã được giải quyết một cách cụ thể và sâu sắc hơn.Qua cách thức tiến hành theo kiểu giao việc thông qua bài tập lớn, học sinh đã chủđộng tìm tòi tiếp cận thông qua các tài liệu tham khảo và trợ giúp từ giáo viên đã tạora hiệu quả hoạt động một cách tích cực nhất. Các nhóm được giao việc đã định hìnhrõ hơn về bài toán về khối tâm và hiểu sâu sắc hơn về khối tâm của vật rắn, mô menquán tính của vật rắn một công cụ trực tiếp trong việc giải quyết bài toán chuyển độngcũng như diều kiện cân bằng của vật rắn một cách tổng quát. Đây cũng là cơ sở để cácem tiếp cận với những bài toán phức tạp hơn trong chương trình vật lí THPT cũng nhưchương trình vật lí ở bậc học cao hơn.3. Kết luận và kiến nghị.3.1 Kết luận vấn đềThông qua các bài tập chuyên đề dành cho học sinh, với cách thức tiến hànhhợp lí, đã giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về bài toán chuyển động.Bước đầu hình thành trong tư duy của học sinh cách tổng quát hóa bài toán cơ học từcơ sở đó tạo ra trong các em cách tiếp cận vấn đề tổng quát hơn. Quá trình triển khaitới lớp học sinh đã dược các em tiếp cận một các chủ động và kết quả đạt được nhưmong muốn.Vấn đề được tôi trình bày ở trên chỉ là một phần nhỏ về kiến thức, mặc dù vậynó đã góp phần không nhỏ trong việc giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức, tạo ra cho cácem động lực và niềm tin trong việc tiếp cận kiến thức vật lí cũng như các môn khoahọc nói chung. Do giới hạn trong khuôn khổ của chương trình học, cũng như yêu cầucủa một sáng kiến kinh nghiệm đưa ra trong thực tế giảng dạy. Tôi mạnh dạn trình bàymột kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong việc trợ giúp học sinh chủ động chiếm lĩnhtri thức của bậc học, mong rằng kinh nghiệm đó là động lực cho học sinh từng bướchọc tập để hoàn thiện dần kiến thức vật lí ở bậc học này.3.2 Kiến nghịDo kiến thức ở dạng tổng hợp của nhiều phần học, để học sinh tiếp cận có hiệuquả bản thân tôi xây dựng ở dạng chuyên đề nhỏ dành cho học sinh, nhưng do hạn chếvề mặt thời gian nên mức độ vận dụng còn nhiều hạn chế. Trên cơ sở thực tế tôi đềxuất trong khung chương trình nên dành một thời lượng thích hợp để bản thân mỗigiáo viên và học sinh có thể tich cực chủ động hơn trong tiếp cận một chuyên đềchuyên sâu trong mỗi năm học một cách chủ động nhất. Từ đó trong hoạt động dạy vàhọc thể hiện rõ được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của thầy và trò trong tiếp cậnchiếm linh tri thức.Người thực hiệnPhạm Văn TuânTài liệu tham khảo.1. Giải toán vật lý 10 – Tập 1 – Bùi Quang Hân – NXB GD – năm 19982. Bài tập vật lý sơ cấp – Tập 1 – Vũ Thanh Khiết – NXB GD – năm 19993. 252 bài toán cơ học vật rắn – Nguyễn Anh Thi - NXB GD – năm 2008.4. Lý luận dạy học Vật Lí ở trường phổ thông - Nguyễn Văn Khải, Nguyễn DuyChiến, Phạm Thị Mai - NXB Giáo Dục 2002