\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} - 1} } \over {2 - 3x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + |x|\sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} } \over {2 - 3x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - x\sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} } \over {2 - 3x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x(1 - \sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} )} \over {x({2 \over x} - 3)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 - \sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} } \over {{2 \over x} - 3}} \cr & = {{1 - \sqrt 4 } \over { - 3}} = {1 \over 3} \cr} \) Video hướng dẫn giải
Tính các giới hạn sau LG a \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{6 - 3x} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }}\) Phương pháp giải: Thay \(x=-2\) Lời giải chi tiết: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{6 - 3x} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }} = {{6 - 3( - 2)} \over {\sqrt {2{{( - 2)}^2} + 1} }} = {{12} \over 3} = 4\) LG b \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x - \sqrt {3x - 2} } \over {{x^2} - 4}}\) Phương pháp giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của\(x - \sqrt {3x - 2} \), sau đó đưa tử và mẫu về dạng tích để rút gọn nhân tử \(x-2\). Lời giải chi tiết: \(\eqalign{ LG c \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} - 3x + 1} \over {x - 2}}\) Phương pháp giải: Sử dụng đánh giá giới hạn\(\frac{L}{0}\) Lời giải chi tiết: Ta có: +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} ({x^2} - 3x + 1) = 4 - 6 + 1 = - 1\) +) \(\left\{ \matrix{ Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} - 3x + 1} \over {x - 2}} = - \infty \) LG d \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x + {x^2} + ... + {x^n} - {n \over {1 - x}});n \in {N^*}\) Phương pháp giải: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân tính \(x + {x^2} + ...{x^n}\) thu gọn dãy cần tính giới hạn và tính giới hạn. Lời giải chi tiết: Ta có: \(x + {x^2} + ... + {x^n} - \dfrac {n}{{1 - x}} \) \(= \dfrac {{x\left( {1 - {x^n}} \right)}}{{1 - x}} - \dfrac {n}{{1 - x}} \) \(= \dfrac {{x\left( {1 - {x^n}} \right) - n}}{{1 - x}}\) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + {x^2} + ... + {x^n} - \dfrac {n}{{1 - x}}} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac {{x\left( {1 - {x^n}} \right) - n}}{{1 - x}}\) Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {x\left( {1 - {x^n}} \right) - n} \right]\) \( = 1\left( {1 - 1} \right) - n = - n < 0\) Và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 - x} \right) = 0\\1 - x > 0\,khi\,x < 1\end{array} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x\left( {1 - {x^n}} \right) - n}}{{1 - x}} = - \infty \) LG e \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2x - 1} \over {x + 3}}\) Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho x. Lời giải chi tiết: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2x - 1} \over {x + 3}} \) \(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x(2 - {1 \over x})} \over {x(1 + {3 \over x})}} \) \(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2 - {1 \over x}} \over {1 + {3 \over x}}} = 2\) LG f \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} - 1} } \over {2 - 3x}}\) Phương pháp giải: Chia cả từ và mẫu cho x, lưu ý căn bậc hai. Lời giải chi tiết: \(\eqalign{ LG g \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1)\) Phương pháp giải: Đặt \(x^3\) ra ngoài, đánh giá giới hạn của từng nhân tử và dấu của chúng. Lời giải chi tiết: \(\eqalign{ Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 2 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) = - 2 < 0\)
|
