Bài tập về hàm số bậc nhất và cách giải - Toán lớp 9 Show
I. Lý thuyết 1. Khái niệm hàm số bậc nhất Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, trong đó a, b là hai số đã cho và a≠0. 2. Các tính chất của hàm số bậc nhất - Hàm số bậc nhất xác định bởi mọi x ∈ℝ. - Hàm số bậc nhất đồng biến trên ℝ khi a > 0. - Hàm số bậc nhất nghịch biến trên ℝ khi a < 0. II. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc nhất Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa của hàm số bậc nhất Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a≠0). Hàm số nào không có dạng trên thì không phải hàm số bậc nhất. Ví dụ 1: Trong các hàm số sau đây đâu là hàm số bậc nhất, chỉ rõ các hệ số a, b trong trường hợp hàm số bậc nhất. a) y = 3x + 1 b) y=x+12 c) y=2x−32−4x2 d) y=5x+1x−3 Lời giải: a) Hàm số y = 3x + 1 là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b với a = 3 và b = 1. b) Hàm số y=x+12= x2+2x+1không là hàm số bậc nhất vì nó không có dạng y = ax + b. c) Hàm số y=2x−32−4x2= 4x2−12x+9−4x2= -12x + 9 là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b với a = -12 và b = 9. d) Hàm số y=5x+1x−3không phải hàm số bậc nhất vì nó không có dạng y = ax + b. Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để hàm số sau là hàm số bậc nhất. a) y=m2−1x+3 b) y=m−2.x−5 c) y = (m + 1)2 + x -20 Lời giải: a) Để làm số y=m2−1x+3là hàm số bậc nhất thì a≠0 ⇔m2−1≠0 ⇔m−1m+1≠0 ⇔m−1≠0m+1≠0 ⇔m≠1m≠−1 Vậy để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất thì m≠±1. b) Để hàm số y=m−2.x−5 là hàm số bậc nhất thì a≠0 ⇔m−2≠0m−2≥0 ⇒m−2>0 ⇔m>2 Vậy để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất thì m>2. c) Để hàm số y = (m + 1)2 + x - 20 là hàm số bậc nhất thì m + 1 = 0 ⇔m = -1 Vậy m = – 1 thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất. Dạng 2: Tính giá trị hàm số Phương pháp giải: Giá trị hàm số y = f(x) tại điểm x0 là y0=fx0 Do đó muốn tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = x0 ta thay x = x0 vào công thức của hàm số rồi tính giá trị f(x0). Ví dụ: Tính giá trị hàm số a) y = f(x) = 3x + 5 tại x = 1 b) y = f(x) = -4x + 1 tại x = 2 c) y = f(x) = 2x + 6 tại x = 0 Lời giải: a) y = f(x) = 3x + 5 Thay x = 1 vào hàm số đã cho ta được: y = f(1) = 3.1 +5 = 8 Vậy tại x = 1 thì giá trị của hàm số là 8 b) y = f(x) = -4x + 1 Thay x = 2 vào hàm số đã cho ta được: y = f(2) = -4.2 + 1 = -8 + 1 = -7 Vậy tại x = 2 thì giá trị của hàm số là -7 c) y = f(x) = 2x + 6 Thay x = 0 vào hàm số đã cho ta được: y = f(0) = 2.0 + 6 =6 Vậy tại x = 0 thì giá trị của hàm số là 6 Dạng 3: Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số bậc nhất Phương pháp giải: Xét hàm số y = ax + b với a, b là hằng số, a ≠0 - Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên ℝ. - Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên ℝ. Ví dụ 1: Xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số sau a) y = 3x + 12 b) y = -2x + 1 c) y = 12x + 5 Lời giải: a) Với y = 3x + 12 ta có a = 3 > 0 ⇒Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ. b) Với y = -2x + 1 ta có a = -2 < 0 ⇒Hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ. c) Với y = 12x + 5 ta có a = 12> 0. ⇒Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ. Ví dụ 2: Tìm m để các hàm số sau a) y = (m – 1) x +3 đồng biến trên ℝ. b) y = (m2−5m+6)x + 3m nghịch biến trên ℝ. Lời giải: a) Để hàm số y = (m – 1) x +3 đồng biến trên ℝ thì a > 0 ⇒m – 1 > 0 ⇒m > 1 Vậy để hàm số đồng biến trên ℝ thì m > 1. b) Để hàm số y = (m2−5m+6)x + 3m nghịch biến trên ℝthì a < 0 ⇒m2−5m+6 < 0 ⇔mm−2−3m−2<0⇔m−2m−3<0 ⇔m−2m−3<0 TH1: m−2>0m−3<0 ⇔m>2m<3⇒2<m<3 TH2: m−2<0m−3>0 ⇔m<2m>3 (vô lí) Vậy 2 < m < 3 thì hàm số nghịch biến trên ℝ. III. Bài tập tự luyện Bài 1: Các hàm số sau đây có phải hàm số bậc nhất hay không? Nếu phải hãy chỉ ra hệ số a, b. a) y = 3x + 5 b) y = xx−1−x2 c) y = x2−2x−12+3x d) y=x2+2x−53−x23 Bài 2: Tìm m để hàm số sau là hàm số bậc nhất a) y = (m+4)x – 3 b) y=m2−7m+8x2+3x−2 c) y=m+1−3x+34 d) y=m+1m−3x+12. Bài 3: Tính giá trj hàm số a) y = 3x tại x = 12 b) y = 12x + 12 tại x = 5 c) y = −53x - −45 tại x = 3 d) y=(m+1)x+3 tại x = 2. Bài 4: Tìm m để các giá trị hàm số sau thỏa mãn a) Giá trị hàm số y = (m+1)x - 5 tại x = 2 là 7 b) Giá trị hàm số y=(m+1)x+3 tại x = 12 là −52 Bài 5: Tìm m để hàm số y=(m2+2m)x−32 có f(1) = f(2). Bài 6: Chứng minh hàm số sau luôn là hàm số bậc nhất a) y=m2+2m+5x−67 b) y=m2+2x−43 c) y=m+3+1x+3. Bài 7: Các hàm số sau đồng biến hay nghịch biến a) y = -2x + 1 b) y = −52x - 3 c) y = 4x + 7. Bài 8: Tìm m để hàm số sau thỏa mãn a) y = (m +1) x - 5 luôn đồng biến trên ℝ. b) y=m+3−1x−3 luôn nghịch biến trên ℝ. c) y=−m2+3mx−3 luôn đồng biến trên ℝ. Bài 9: Chứng minh các hàm số sau: a) y=k2+2k+3x+k−5 luôn là hàm số bậc nhất và luôn đồng biến trên ℝ. b) y=−m2+m−2x−67luôn là hàm số bậc nhất và luôn nghịch biến trên ℝ. Bài 10: Cho hàm số y=k2+2k+5x+k−5. So sánh f(1) và f2−1. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác: Hàm số bậc nhất và cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau và cách giải bài tập Các bài toán về hệ số góc của đường thẳng và cách giải Phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm và cách giải bài tập Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay, chi tiết
Mục lục nội dung1. Kiến thức cần nhớ về hàm số bậc nhất2. Các dạng bài tập hàm số bậc nhất lớp 9 có ví dụ cụ thểDạng 1: Tìm tập xác định của hàm sốDạng 2: Vẽ đồ thị hàm sốDạng 3: Tìm tập xác định D của hàm sốDạng 4: Xác định đường thẳng song song hay vuông góc với đường thẳng cho trướcDạng 5: Xác định đường thẳngDạng 6:Xác định điểm thuộc đường thẳng, điểm không thuộc đường thẳng1. Kiến thức cần nhớ về hàm số bậc nhấta) Khái niệm - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số thực cho trước và a ≠ 0 - Đặc biệt, khi b = 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y = ax, biểu thị tương quan tỉ lệ thuận giữa y và x b) Tính chất Hàm số bậc nhấty = ax + byxác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau: + Đồng biến trên R khia>0 + Nghịch biến trên R khia<0 Ví dụ: Hàm sốy=3x−5y=3x−5cóa=3>0a=3>0nên là hàm số đồng biến. Hàm sốy=−x+2y=−x+2cóa=−1<0a=−1<0nên là hàm số nghịch biến. c) Nhận xét về đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) - Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ mà ta gọi là đường thẳng y = ax. Đường thẳng y = ax nằm ở góc phần tư thứ I và thứ III khi a > 0; nằm ở góc phần tư thứ II và thứ IV khi a < 0 - Đồ thị của hàm số y = ax + b là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0. -Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b; b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng. 2. Các dạng bài tập hàm số bậc nhất lớp 9 có ví dụ cụ thểDạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Phương pháp giải Ví dụ:Với những giá trị nào của x thì hàm số sau đây xác định: Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm sốPhương pháp giải: Để vẽ đồ thị hàm số y=ax+b ta xác định hai điểm bất kỳphân biệtnằm trên đường thẳng. Sau đó vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó là được. Ví dụ:Vẽ đồ thị hàm số y=2x+4. Lời giải Đường thẳng y=2x+4 đi qua các điểm A(0;4) và B(-2;0). Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số. Dạng 3: Tìm tập xác định D của hàm sốPhương pháp giải Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) + Thế giá trị x = x0∈ D vào biểu thức của hàm số rồi tính giá trị biểu thức (đôi khi ta rút gọn biểu thức, biến đổi x0rồi mới thay vào để tính toán. + Thế giá trị y = y0ta được f(x) = y0. Giải phương trình f(x) = y0để tím giá trị biến số x (chú ý chọn x∈ D) Ví dụ: Tính giá trị của hàm số: Lời giải TXĐ: R Ta có: f(1) = (-3)/4.(-1)2+ 2 = (-3)/4 + 2 = 5/4. f(2) = (-3)/4.(2)2+ 2 = -3 + 2 = -1. Dạng 4: Xác định đường thẳng song song hay vuông góc với đường thẳng cho trướcĐiều kiện để hai đường thẳng y=ax+b và y=αx+β song song với nhau làa=α và b≠β. Còn điều kiện để hai đường thẳng y=ax+b và y=αx+β vuông góc với nhau làaα=−1. Ví dụ:Tìm đường thẳng đi qua A(3;2) và vuông góc với đường thẳng y=x+1. Lời giải: Giả sử đường thẳng y=ax+b vuông góc với đường thẳng đã cho. Suy ra 1.a=−1⇔a=−1. Thay x=3, y=2, a=−1 vào phương trình ta có: 2=−3+b⇔b=5. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y=−x+5. Dạng 5: Xác định đường thẳngPhương pháp giải Gọi hàm số cần tìm là: y = ax + b (a ≠ 0), ta phải tìm a và b + Với điều kiện của bài toán, ta xác định được các hệ thức liên hệ giữa a và b. + Giải phương trình để tìm a, b. Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất: y = -2x + b. Xác định b nếu: a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2. b) Đồ thị hàm số đi qua điểm A (-1; 2). Lời giải a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 nên b = -2. Vậy hàm số cần tìm là y = -2x – 2. b) Đồ thị hàm số y = -2x + b đi qua điểm A(-1; 2) nên: 2 = -2.(-1) + b⇔ 2 = 2 + b⇔ b = 0. Vậy hàm số cần tìm là y = -2x. Ví dụ 2:Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 2. Xác định m, biết: a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2. b) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. Lời giải a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 2 nên điểm A (-2; 0) thuộc đồ thị hàm số. Do đó: 0 = -2(m - 2) + m + 2⇔ -2m + 4 + m + 2 = 0⇔ m = 6. b) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên O (0; 0) thuộc đồ thị hàm số Do đó: 0 = (m - 2).0 + m + 2⇔ m + 2 = 0⇔ m = -2. Dạng 6:Xác định điểm thuộc đường thẳng, điểm không thuộc đường thẳngPhương pháp giải Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng (d) có phương trình: y = ax + b. Khi đó: M∈ (d)⇔ y0= ax0+ b; M∉ (d)⇔ y0≠ ax0+ b. Ví dụ 1:Cho đường thẳng (d): y = -2x + 3. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A (-m; -3). Lời giải Đường thẳng (d): y = -2x + 3 đi qua điểm A (-m; -3) khi: -3 = -2.(-m) + 3⇔ 2m = -6⇔ m = -3. Vậy đường thẳng (d): y = -2x + 3 đi qua điểm A (-m; -3) khi m = -3. Ví dụ 2:Chứng minh rằng đường thẳng (d): (m + 2)x + y + 4m - 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Lời giải Gọi điểm M(x0; y0) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua, ta có: (m + 2) x0+ y0+ 4m - 3 = 0 ⇔ m(x0+ 4) + (2x0+ y0- 3) = 0 Đường thẳng (d) luôn đi qua M(x0; y0) với mọi m khi và chỉ khi: Vậy điểm cố định mà (d) luôn qua với mọi giá trị của m là M (-4; 11). |
