Bài tập Toán cao cấp 1 có lời giải chương 1

Tóm tắt nội dung tài liệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - MARKETING KHOA CƠ BẢN Bộ Môn Toán – Thống kê BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP (Lưu hành nội bộ) TP. Hồ Chí Minh 2015 0
LỜI GIỚI THIỆU Các bạn đang có trong tay cuốn sách “Bài tập Toán cao cấp” dành cho sinh viên hệ Đại học chính quy, trường Đại học Tài chính – Marketing. Từ năm học 2015 -2016, để thống nhất về nội dung học tập, đánh giá kết quả và giảng dạy môn Toán Cao Cấp, Bộ môn Toán – Thống kê, Khoa Cơ Bản, cho biên soạn cuốn sách này. Cuốn bài tập này do các giảng viên của Bộ môn Toán - Thống kê biên soạn, trên cơ sở các tài liệu đã được sử dụng giảng dạy tại trường Đại học Tài chính – Marketing trong nhiều năm qua và đã được Hội đồng thẩm định giáo trình của Nhà trường thông qua. Nội dung cuốn bài tập này bám sát Đề cương chi tiết và nội dung lý thuyết môn học Toán cao cấp của trường Đại học Tài chính – Marketing, cũng như các dạng bài trong ngân hàng câu hỏi thi hết học phần môn Toán cao cấp. Trước phần bài tập của mỗi chương, chúng tôi nêu các yêu cầu đối với sinh viên để các em nắm được các nội dung cũng như các kĩ năng cần rèn luyện. Các bài tập được sắp xếp từ kiểm tra kiến thức cơ bản, đến bài tập tổng hợp, có một số bài tập nâng cao (có đánh dấu *) để sinh viên tham khảo thêm. Phần cuối sách, chúng tôi có biên soạn một số đề tổng hợp để sinh viên tham khảo và thử sức, tự đánh giá trình độ của mình. Hy vọng, cuốn sách là tài liệu bổ ích giúp sinh viên trường Đại học Tài chính – Marketing học tốt môn Toán cao cấp và thi kết thúc học phần đạt kết quả cao! Lần đầu tiên biên soạn cuốn Bài tập này nên chắc chắn không tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của sinh viên và các thầy cô giáo, để lần xuất bản sau được hoàn thiện hơn! Mọi ý kiến góp ý xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Toán – Thống kê, Khoa Cơ Bản, trường Đại học Tài chính – Marketing. 1
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn và trân trọng giới thiệu cuốn sách cùng các bạn! TP. Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 9 năm 2015 Bộ môn Toán – Thống kê 2
MỤC LỤC Lời giới thiệu ................................................................................... 1 Chương 1. Ma trận – Định thức ....................................................... 5 A. Yêu cầu đối với sinh viên .......................................................... 5 B. Bài tập ..................................................................................... 5 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính ......................................... 20 A. Yêu cầu đối với sinh viên ......................................................... 20 B. Bài tập ....................................................................................... 20 Chương 3. Không gian vectơ ......................................................... 30 A. Yêu cầu đối với sinh viên ......................................................... 30 B. Bài tập ....................................................................................... 30 Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến .................................. 42 A. Yêu cầu đối với sinh viên ......................................................... 42 B. Bài tập ....................................................................................... 42 Chương 5. Tích phân ..................................................................... 55 A. Yêu cầu đối với sinh viên ......................................................... 55 B. Bài tập ....................................................................................... 55 Chương 6. Phép tính vi phân hàm nhiều biến ................................ 66 A. Yêu cầu đối với sinh viên ......................................................... 66 B. Bài tập ....................................................................................... 66 Chương 7. Phương trình vi phân ................................................... 76 A. Yêu cầu đối với sinh viên ......................................................... 76 B. Bài tập ....................................................................................... 76 Một số đề luyện tập........................................................................ 82 Tài liệu tham khảo ......................................................................... 96 3
4
Chương 1 MA TRẬN – ĐỊNH THỨC A. Yêu cầu đối với sinh viên 1. Nắm vững các khái niệm cơ bản về ma trận và các dạng ma trận đặc biệt; biết thực hiện phép cộng hai ma trận cùng cấp và phép nhân ma trận với một số thực. Chú ý tới phép biến đổi sơ cấp trên ma trận. 2. Nắm vững định nghĩa, cách tính định thức ma trận vuông và một số tính chất căn bản của định thức. 3. Nắm vững khái niệm ma trận nghịch đảo và hai phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. 4. Nắm được khái niệm hạng ma trận, các phương pháp tìm hạng ma trận. 5. Biết vận dụng kiến thức về ma trận, định thức để giải một số mô hình kinh tế. B. Bài tập Bài 1: Thực hiện các phép tính trên các ma trận sau: 1. Tính 5A  3B  2C , biết :  1 2 1 3  2 5       A   1 0  , B   2 1  và C   0 3  .  2 1  3 2   4 2       5
2. Tính AB, BA biết:  2 1  1 2 5  A   1 0  và B   .  3 4   3 4 0    3. Tính AB, BA biết:  1 3 2   2 5 6 A   3 4 1  và B   1 2 5   2 5 3  1 3 2     Đáp số:  6 11    1) 5A  3B  2C   11 3  .  27 15     1 8 10    15 19  2) AB   1 2 5  ; BA   .  9 22 15   10 3     1 5 5   29 55 27      3) AB   3 10 0  ; BA   17 36 19  .  2 9 7   14 25 11      Bài 2: 2 0 1   Cho A   3 1 2  . Tính f  A   A2 – 5A  3I3 .  0 1 0    6
 3 1 3    Đáp số : f  A    6 3 5  .  3 4 1    Bài 3: Cho các ma trận:  2 1   2 1 3    1 1 A  , B 0 2  , C   .  0 1 2  1 1  0 1   1. Có thể thành lập được tích của các ma trận nào trong các ma trận trên. 2. Tính AB , ABC . 3. Tính  AB , C với n  3n . 4. Tìm ma trận chuyển vị của A và tính ATC. Đáp số: 1) AB, BC, CB, CA;  1 3   1 4  2) AB    , ABC   ; 2 0 2 2  11 15  3) (AB)3   ;  10 6   2 0  2 2     4) A   1 1  , A C   1 0  . T T  3 2  3 5     7
Bài 4:  1 2 6    Cho ma trận A   4 3 8  . Tìm ma trận X sao cho  2 2 5    3A  2X  I3 .  1 3 9    Đáp số : X   6 4 12  .  3 3 7    Bài 5: Tính các định thức sau: 2 0 1 1 0 0 1. 3 2 3 2. 3 2 4 1 3 5 4 1 3 1 2 3 4 1 0 2 a 2 3 4 1 2 0 b 0 3. 4. 3 4 1 2 3 c 4 5 4 1 2 3 d 0 0 0 x a b 0 c 2 1 1 1 1 0 y 0 0 d 1 3 1 1 1 5. 0 e z 0 f 6. 1 1 4 1 1 g h k u l 1 1 1 5 1 0 0 0 0 v 1 1 1 1 6 8
3 0 2 4 2 3 4 5 1 5 m 3 1 0 m 3 7. 8. 4 2 3 5 3 1 1 4 2 1 6 2 2 7 5 2 Đáp số: 1) 5 ; 2) 10 ; 3) 160 ; 4) abcd ; 5) xyzuv ; 6) 394 ; 7) 29m  145 ; 8) 3429m  551 . Bài 6: Chứng tỏ rằng các định thức sau bằng không. ab c 1 x p ax  bp 1. b  c a 1 2. y q ay  bq ca b 1 z r az  br ab a 2  b 2 a  b a b c 1 2 b c a 1 b2  c2 b  c 2 3. bc 4. c a b 1 c2  a 2 c  a  2 ca cb ba ac 2 Hướng dẫn : 1) Lấy cột 1 cộng cột 2; 2) Từ cột 3, ta tách làm hai ma trận có cùng cột 1 và 2 ; 3) Lấy cột 2 cộng 2 lần cột 1; 4) Lấy cột 1 cộng cột 2 và cột 3. Bài 7: Chứng minh rằng: 1 a a2 1 b b 2   b  a  c  a  c  b  1 c c2 Hướng dẫn : Biến đổi sơ cấp hoặc dùng qui tắc 6 đường chéo. 9
Bài 8: Tìm x sao cho: 1 x x 2 x3 1 2 4 8 = 0. 1 3 9 27 1 4 16 64 Đáp số : x  2  x  3  x  4 . Bài 9: Tính định thức cấp n sau: 1 2 3 n a 1 1 1 1 0 3 n 1 a 1 1 1. 1 2 0 n 2. 1 1 a 1 1 2 3 0 1 1 1 a 1 2 2 ... 2 a 1 + 2b 1 a 1 + 2b 2 a 1 + 2b n 2 2 2 ... 2 a + 2b 1 a 2 + 2b 2 a 2 + 2b n 3. 2 2 3 ... 2 4. 2 ... ... ... ... ... a n + 2b 1 a n + 2b 2 a n + 2b n 2 2 2 ... n Đáp số : 1) n! ; 2)  a  n  1 a  1 n 1 ; 3) ; 4) 0 . 10
Bài 10: Các phần tử của ma trận vuông cấp 3 chỉ nhận giá trị 0 và 1. Tìm giá trị lớn nhất của định thức đó. Đáp số : 2. Bài 11: Tính định thức của ma trận vuông cấp n, biết rằng: 1. a ij  min(i, j) 2. a ij  max(i, j) Đáp số: 1) 1; 2) (1)n 1 n . Bài 12: 2 1 1 1 Cho A    và B   .  1 2   1 1    n Tính B1AB , n  rồi suy ra A n .  3n 0 1  3n  1 3n  1   n Đáp số : B1AB   ; A n   . 0 1 2  3n  1 3n  1 Bài 13: 5 4 Cho A     M2.  4 3  Chứng minh rằng : A2  2A  I2  0. Suy ra A 1. Hướng dẫn : Tính trực tiếp ta có điều phải chứng minh rồi suy ra A 1. 11
Bài 14: Tìm a để ma trận sau khả nghịch và tính A 1. 1 1 0 A   1 a 1  0 2 1    a  2 1 1  1  1 Đáp số : a  3 ; A   1 1 1  . a 3  2 2 a  1 Bài 15: Tìm m sao cho các ma trận sau khả nghịch  1 1 1 m 1 2 2  1 1 m 1  2 m  2 m  5  1.   2.   m  1 m 1 1  1 m  1    m 1 1 1  Đáp số : 1) m  1  m  3 ; 2) m  1  m  3 . Bài 16: Tìm x sao cho: 1 x x -1 x + 2 0 0 x 2 -1 0 = 0. x 1 x x-2 0 0 x 5 +1 x100 Đáp số : x  0  x  1  x  1. 12
Bài 17: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau (nếu có ):  1 1 1  1 2 3      1.  1 2 1 2.  2 1 2   2 3 1  2 1 0      0 0 1 1 1 1 1 1  0 3 1 4  1 1 1 1 3.  4.    1 1 0 0 1 1 1 1     0 0 1 1 1 1 1 1  Đáp số :  3 1  1 4 3   1 2   2     1) A 1   1 3 2  ; 2) A 1   2 3 2  ;  1 1 1   3    2 5    2 2  1 1 5 1 1 1 1  1     2 3 6 4 4 4 4       1 1 0  5  1 1  1  1 1  2 3 6 1 4 4 4 4 3) A    ; 4) A   .  1 1   1 1 1 1 0 0    2 2  4 4 4 4  1 1   1 1 1 1   0 0       2 2  4 4 4 4  13
Bài 18: Cho các ma trận  -3 4 6  1 -1 2  8 3 A =  0 1 1 ; B =  ; C     2 -3 -4  0 1 2 7 4   1. Tìm ma trận X sao cho : XA  B . 2. Tìm ma trận Y sao cho BY  C . 15  4m 7  4n   7 4 11   Đáp số : 1) X    ;2) Y   7  2m 4  2n  . 2 2 3   m  n  Bài 19: Cho A là ma trận vuông cấp n, n  1 hãy tìm hạng của ma trận phụ hợp trong các trường hợp sau: 1. rank(A)  n . 2. rank(A)  n  2 . 3. rank(A)  n  1. Đáp số :1. rank(A* )  n ; 2. rank(A* )  0 ;3. rank(A *)  1 . Bài 20: Cho ma trận A như sau:  2 1 3 4   1 3 1 2  A   3 2 2 2     1 4 4 6  1. Tìm hạng của ma trận A. 14
2. Tìm ma trận phụ hợp của A. Đáp số : 1. rank(A)  2 ;2. A*  0 (ma trận O cấp n). Bài 21: Tính hạng của các ma trận sau:  1 5 4 3 1  3 1 1 2 1  2 1 2 1 0   1 1 2 4 5  1.  2. 5 3 8 1 1  1 1 3 6 9       4 9 10 5 2  12 2 1 2 10  1 5 4 3 1 0 1 3 4 5   2 1 2 1 0  1 0 2 3 4  3.  4.  5 3 8 1 1 3 2 0 5 12       4 9 10 5 2 4 3 5 0 5 Đáp số: 1) 3; 2) 2; 3) 2; 4) 4. Bài 22: Tùy theo m, tìm hạng của các ma trận sau: 3 1 1 4  m 5m m  m  4 10 1  1.  2m m 10m  2.   m 2m 3m  1 7 17 3      2 2 4 3 1 2 3 4  1 2 1 1 1 2 3 4 5   m 1 1 1 1  3.  4.  3 4 5 6  1 m 0 1 1     4 5 6 m  1 2 2 1 1 Đáp số : 1) m  0, rank  0; m  0,rank  2; 15
2) m  0, rank  02; m  0,rank  3; 3) m  7, rank  2; m  7,rank  3; 4) m  1, rank  3; m  1,rank  4. Bài 23*: Tính A n , biết rằng:  cos x  sin x  2 1 1. A    2. A     sin x cos x  1 2  4 1  3 1  3. A     1   0 3 4. A   2   1 3 1     2 2  Đáp số:  cos nx  sin nx  1) A n   ;  sin nx cos nx  1  3n  1 3n  1 2) A   n n ; 2  3  1 3n  1  4n 4n  3n  3) A   n ; 0 3n   n n n   cos  sin 2sin  6 6 6 4) A   . n  n n n   sin cos  sin   6 6 6  16
Bài 24*:  a b   3 1  4 Tìm a, b sao cho    .  b a   1 3        Đáp số : a  4 2 cos   k  ; b  4 2 sin   k  .  24 2  24 2 Bài 25*: Cho hai ma trận  2 0 0  2 1 0 A   1 1 0  ; B   0 1 0     0 0 2  0 0 2     Chứng minh rằng det(A n  Bn ) chia hết cho 2n 1 . Hướng dẫn : 1 0 0 1 0 0  1 0 0  1 1 0 A   0 1 0    1 0 0  ;B   0 1 0    0 0 0  0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1         . Bài 26: Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối B như sau:  0,1 0,3   170  A  ; B   0,5 0, 2   280  Hãy tìm ma trận tổng cầu X. 17
 385,96  Đáp số : X     591, 21  Bài 27: Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t là:  0, 2 0 0,3  A  t    0,1 0,1 0,1   0, 2 0, 2 0,1    1. Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ năm t. 2. Biết x(t)   800,1500,700 ,tìm sản lượng mỗi ngành năm t. Hướng dẫn: a) C   I  A(t) ; b) X(t)   I  A(t) x(t) . 1 1 Bài 28: Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t như sau:  0,3 0, 2 0,3  A   0,1 0,3 0, 2   0,3 0,3 0, 2    1. Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị năm t. Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận này. 2. Năm (t  1) nhu cầu sản phẩm cuối cùng của các ngành là 180,150,100 (tỷ VNĐ). Tính giá trị sản lượng của các ngành, biết rằng các hệ số chi phí năm (t  1) và năm t như nhau. 18
Hướng dẫn: a) C   I  A(t) ; b) X(t  1)   I  A(t  1) x(t  1). 1 1 19

Page 2

YOMEDIA

(NB) Nội dung cuốn bài tập này bám sát Đề cương chi tiết và nội dung lý thuyết môn học Toán cao cấp của trường Đại học Tài chính - Marketing, cũng như các dạng bài trong ngân hàng câu hỏi thi hết học phần môn Toán cao cấp. Trước phần bài tập của mỗi chương, nêu các yêu cầu đối với sinh viên để các em nắm được các nội dung cũng như các kĩ năng cần rèn luyện. Mời các em cùng tham khảo.

25-05-2019 424 27

Download