Bài viết này mình sẽ giới thiệu với các bạn những dạng bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn cơ bản nhất. Mình sẽ đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể và áp dụng ngay vào bài tập Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn. Ta dùng công thức: – Nếu phương trình đường tròn là: $(x – a)^2+(y – b)^2= R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là: $(x_0 – a)(x- x_0) + (y_0 – b)(y- y_0) = 0$ với tâm $I(a;b)$ Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm $I(x_0, y_0)$ cho trước ở ngoài đường tròn. Viết phương trình của đường thẳng d qua $I(x_0, y_0)$: $y – y_0= m(x – x_0)\Leftrightarrow mx – y – mx_0+ y_0= 0$ (1) Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến. * Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến. Dạng 3: Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k. Phương trình của đường thẳng d có dạng: $y = kx + m$ (m chưa biết) $\Leftrightarrow kx – y + m = 0$ Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m. Bài tập phương trình tiếp tuyến của đường trònBài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của của đường tròn (C) tại điểm $M(3;4)$ biết đường tròn có phương trình là: $(x-1)^2+(y-2)^2=8$ Hướng dẫn: Đường tròn (C) có tâm là điểm $I(1;2)$ và bán kính $R=\sqrt{8}$ Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm $M(3;4)$ là: $(3-1)(x-3)+(4-2)(y-4)=0$ $\Leftrightarrow 2x+2y-14=0$ Tham khảo thêm bài giảng: Bài tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình: $x^2+y^2-4x+8y+18=0$ a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua $A(1;-3)$ b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua $B(1;1)$ c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình $3x-4y+5=0$ Hướng dẫn: Các bạn hoàn toàn xác định được tâm $I(2;-4)$ và bán kính $R=\sqrt{2}$ a. Với ý này trước tiên các bạn cần kiếm tra xem điểm $A(1;-3)$ có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu thuộc thì quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm, ngược lại ta thì ta có lời giải khác. Các bạn thay tọa độ của điểm $A(1;-3)$ vào phương trình đường tròn (C) thấy thỏa mãn. Do đó điểm $A$ sẽ thuộc đường tròn (C). Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua $A$ có dạng là: $1.x-3y-2(x+1)+4(y-3)+18=0$ $\Leftrightarrow x-y-4=0$ b. Các bạn thay tọa độ của điểm $B$ vào phương trình đường tròn (C) thì thấy không thỏa mãn. Do đó điểm B không thuộc đường tròn (C). Khi điểm $B$ không thuộc đường tròn (C) thì ta không sử dụng cách trên được. Vậy ta phải tiến hành ra sao? các bạn theo dõi tiếp. Trước tiên các bạn gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm $B(1;1)$ với hệ số góc $k$ là $\Delta$: $y=k(x-1)+1\Leftrightarrow kx-y-k+1=0$ Để đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của dường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm $I$ tới đường thẳng $\Delta$ phải bằng bán kính $R$. Ta có: $d_{(I,\Delta)}=R$ $\Leftrightarrow \frac{|2k+4-k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow |k+5|=\sqrt{2(k^2+1)}$ $\Leftrightarrow k^2+10k+25=2k^2+2$ $\Leftrightarrow k^2-10k-23=0$ $\Leftrightarrow k=5-4\sqrt{3}$ hoặc $k=5+4\sqrt{3}$ +. Với $ k=5-4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của (C) là: $y=(5-4\sqrt{3})x-5+4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=(5-4\sqrt{3})x-4+4\sqrt{3}$ +. Với $ k=5+4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của (C) là: $y=(5+4\sqrt{3})x-5-4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=(5-4\sqrt{3})x-4-4\sqrt{3}$ c. Ở ý này liên quan tới đường thẳng vuông góc, tiện đây mình sẽ nói luôn cả về đường thẳng song song liên quan tới hệ số góc.
Quay trở lại và áp dụng vào bài toán này thì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng $3x-4y+5=0$. Đường thẳng này có hệ số góc là $\frac{3}{4}$. Vậy phương trình tiếp tuyến sẽ có hệ số góc là $-\frac{4}{3}$ Gọi phương trình tiếp tuyến là $\Delta$ có dạng: $y=-\frac{4}{3}x+m\Leftrightarrow 4x+3y-3m=0$ Vì đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có: $d_{(I,\Delta)}=R$ $\Leftrightarrow \frac{|4.2+3(-4)-3m|}{\sqrt{25}}=\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow |-3m-4|=5\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow 9m^2+24m-34=0$ $\Leftrightarrow m=\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$ hoặc $m=\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$ Với $ m=\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{4}{3}x+\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$ Với $m=\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{4}{3}x+\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$ Trên đây là một số dạng bài tập phương trình tiếp tuyến các bạn có thể gặp. Nếu bạn thấy bài viết hay thì hãy chia sẻ tới bạn bè của mình, commnent trong khung bên dưới để bày tỏ ý kiến của bạn.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Các dạng bài tập điển hình về phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Các dạng bài tập điển hình về phương trình tiếp tuyến của đường tròn
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN A. Lý thuyết I. Tiếp tuyến tại một điểm \[{{M}_{0}}\left( {{x}_{0}},\text{ }{{y}_{0}} \right)\] thuộc đường tròn. Ta dùng công thức tách đôi tọa độ. - Nếu phương trình đường tròn là: \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~2ax~-~2by\text{ }+\text{ }c\text{ }=\text{ }0\] thì phương trình tiếp tuyến là: \[x{{x}_{0}}~+\text{ }y{{y}_{0}}-~a\left( x\text{ }+\text{ }{{x}_{0}} \right)~-~b\left( y\text{ }+\text{ }{{y}_{0}} \right)\text{ }+\text{ }c\text{ }=\text{ }0\] - Nếu phương trình đường tròn là: \[{{\left( x~-~a \right)}^{2}}~+\text{ }{{\left( y~-~b \right)}^{2}}~=\text{ }{{R}^{2}}\] thì phương trình tiếp tuyến là: \[\left( x~-~a \right)\left( {{x}_{0}}-~a \right)\text{ }+\text{ }\left( y~-~b \right)\left( {{y}_{0}}-~b \right)\text{ }=\text{ }{{R}^{2~}}\] (h.73) II. Tiếp tuyến vẽ từ một điểm \[I\left( {{x}_{0}},\text{ }{{y}_{0}} \right)~\] cho trước ở ngoài đường tròn. Viết phương trình của đường qua \[I\left( {{x}_{0}},\text{ }{{y}_{0}} \right)\]:\[y~-~{{y}_{0}}~=\text{ }m\left( x~-~{{x}_{0}} \right)~\Leftrightarrow mx~-~y~-~m{{x}_{0}}~+\text{ }{{y}_{0}}~=\text{ }0~\text{ }~~~~~\] (1) Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới bằng R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến. (h. 74) III. Tiếp tuyến song song với một phương cho sẵn có hệ số góc k.Phương trình của có dạng:\[y\text{ }=\text{ }kx\text{ }+\text{ }m\] (m chưa biết) \[~\Leftrightarrow ~kx~-~y\text{ }+\text{ }m\text{ }=\text{ }0\] Cho khoảng cách từ tâm I đến (D) bằng R, ta tìm được m. * Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến (h.75) B. Bài tập vận dụng
Giải: a) $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -1;2 \right);$ bán kính $R=\sqrt{5}$ b) Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến cần tìm $\Delta $ đi qua $A\left( 1;1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{IA}=\left( 2;-1 \right)$ làm vtpt Phương trình của $\Delta $ là: $2\left( x-1 \right)-1\left( y-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x-y-1=0$ c) + Gọi $\Delta $ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn với vtpt $\vec{n}=\left( a;b \right)$ Phương trình $\Delta :\quad a\left( x-4 \right)+b\left( y-7 \right)=0\quad \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right)$ $\Leftrightarrow ax+by-4a-7b=0$ + $\left( C \right)$ tiếp xúc với tức là:+ Chọn $b=1\Rightarrow \left( * \right)$ trở thành: + Với \[a=-\frac{1}{2}\], pttt phải tìm là: $x-2y+10=0$ Với $a=-2$, pttt phải tìm là: $2x-y-1=0$ d) $\Delta //d:3x+4y+1=0\Rightarrow $phương trình $\Delta $ có dạng: $3x+4y+c=0$ $\Delta $ tiếp xúc với Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ${{\Delta }_{1}}:3x+4y+5\sqrt{5}-5=0;{{\Delta }_{2}}:3x+4y-5\sqrt{5}-5=0$ e) $\Delta \bot d:2x+y-3=0\Rightarrow $ phương trình $\Delta $ có dạng: $x-2y+c=0$ $\Delta $ tiếp xúc với Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ${{\Delta }_{1}}:x-2y+10=0;{{\Delta }_{2}}:x-2y=0$
Giải: + Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;1 \right);bk\text{ }R=2\sqrt{5}$ + Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn + Đường thẳng $\Delta $ có hệ số góc bằng 2 nên pt $\Delta $ có dạng: $y=2x+m\Leftrightarrow 2x-y+m=0$ + Đường thẳng $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: ${{\Delta }_{1}}:2x-y+7=0;{{\Delta }_{2}}:2x-y-13=0$
Giải: + Giả sử tiếp tuyến $\Delta $ có phương trình: \[ax+by+c=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right)\] (1) $\Delta $ là tiếp tuyến của + $\Delta$ tạo với $d$ một góc ${{45}^{0}}$ Với $c=14b$ thay vào (1) ta được: $-3bx+by+14b=0\Leftrightarrow -3x+y+14=0$ Với $c=-6b$ thay vào (1) ta được: $-3bx+by-6b=0\Leftrightarrow 3x-y+6=0$ + Với $a=\frac{b}{3}$, giải tương tự C. Bài tập rèn luyện Câu 1: Trong các pt sau, pt nào là pt đường tròn, chỉ rõ tâm và bán kính: a) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y-4=0$ b) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y+12=0$ c) $-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2x-y-1=0$ d) $2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0$ e) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0$ Câu 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau: a) Tâm $I\left( 1;-3 \right);$ bán kính $R=1$ b) Đi qua điểm $A\left( 3;4 \right)$ và tâm là gốc tọa độ c) Đường kính $AB$ với $A\left( 1;1 \right)$ và $B\left( 3;5 \right)$ d) Đi qua điểm $A\left( 3;1 \right);B\left( 5;5 \right)$ và tâm I nằm trên trục tung. e) Đi qua ba điểm $A\left( 7;1 \right);B\left( -3;-1 \right);C\left( 3;5 \right)$ f) Tâm $I\left( 5;6 \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:3x-4y-6=0$ g) Tâm $I\left( 1;3 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 3;1 \right)$ h) Tâm $I\left( -2;0 \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:2x+y-1=0$ i) Đi qua điểm $M\left( 2;1 \right)$ và tiếp xúc với hai trục tọa độ j) Đi qua hai điểm $M\left( 1;1 \right);N\left( 1;4 \right)$ và tiếp xúc với trục Ox k) Đi qua điểm $A\left( 3;1 \right);B\left( 5;5 \right)$ và tâm I nằm trên trục hoành Ox l) Đi qua điểm $A\left( 0;1 \right);B\left( 1;0 \right)$ và tâm I nằm trên $d:x+y+2=0$ m) Đi qua 3 điểm $A\left( 1;1 \right);B\left( 3;-2 \right);C\left( 4;3 \right)$ (gợi ý: tam giác ABC vuông tại A) n) Đi qua 3 điểm $A\left( 1;\frac{\sqrt{3}}{3} \right);B\left( 1;-\frac{\sqrt{3}}{3} \right);C\left( 0;0 \right)$ (gợi ý tam giác ABC đều) o) $\left( C \right)$ đi qua điểm $M\left( 4;2 \right)$ và tiếp xúc với các trục tọa độ. Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ trong mỗi trường hợp sau: a) Tiếp tuyến song song với $d:3x-y+17=0$ b) Tiếp tuyến vuông góc với $d:x+2y-5=0$ c) Tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( 2;-2 \right)$ Câu 4: Cho điểm $M\left( 2;3 \right)$. Lập pt tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ đi qua điểm M a) $\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+\left( y-1 \right)=5$ b) $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y-11=0$ Câu 5: Kiểm lại rằng điểm \[{{M}_{0}}\left( 1;-2 \right)\]ở trên đường (C) có phương trình: \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~10x\text{ }+\text{ }4y\text{ }+\text{ }13\text{ }=\text{ }0\] . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0. Câu 6: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~4x~-~3y\text{ }=\text{ }0\] phát xuất từ \[A\left( -3;-1 \right).\] Câu 7: Cho đường tròn (C) có phương trình: \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~6x\text{ }+\text{ }2y\text{ }+\text{ }5\text{ }=\text{ }0\] . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là -2; định rõ tọa độ các tiếp điểm. Câu 8: Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d. \[\left( C \right):\text{ }{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}~+\text{ }4x\text{ }\text{ }8y\text{ }+\text{ }10\text{ }=\text{ }0,~\text{ }A\left( 2;\text{ }2 \right),~~~\text{ }d:\text{ }x\text{ }+\text{ }2y\text{ }\text{ }6\text{ }=\text{ }0\] a. Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C). b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. Đáp số gợi ý Câu 2: a. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=1$ b. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25$ c. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5$ d. ${{x}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=25$ e. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-22=0$ f. ${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=9$ g. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=8$ h. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=5$ i. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=\frac{25}{4};{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=25$ j. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{25}{4};{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{25}{4}$ k.${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=50$ l. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-3=0$ m.${{\left( x-\frac{7}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{13}{2}$ n.${{\left( x-\frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{4}{9}$ o.${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4;{{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-10 \right)}^{2}}=100$ Câu 3: a) $3x-y+2\sqrt{10}=0;3x-y-2\sqrt{10}=0$ b) $2x-y+2\sqrt{5}=0;2x-y-2\sqrt{5}=0$ c) $y+2=0;x-2=0$ Câu 4: a) $x-2y+8=0$; b) $y-3=0$ Bài viết gợi ý: |