Show
Bài toán về đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác vuông là một dạng toán kết hợp giữa tam giác vuông và đường tròn. Do đó, đây là dạng toán khó trong chương trình Toán lớp 9. Để làm được bài toán này, các bạn phải biết cách xác định được tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp trong tam giác vuông. Sau đây tôi sẽ tổng quan về cách xác định này.
Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuôngXác định được tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông, cần thực hiện theo hai bước sau:
Có thể bạn quan tâm: Chuyên đề số chính phương THCS Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác vuông: r = 2S/(a +b + c) = √[(p – a).(p – b).(p – c)/p]. Với S là diện tích tam giác, p = (a + b +c)/2 là nửa chu vi tam giác. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuôngXác định được tâm đường tròn ngoại tiếp trong tam giác vuông, cần thực hiện theo hai bước sau:
Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông được tính như sau: R = a.b.c/4S Dựa vào cách xác định và công thức tính bán kính, các bạn hãy áp dụng vào các bài tập. Hãy tham khảo tài liệu bên dưới để có nhiều bài tập rèn luyện.  Tải tài liệu miễn phí ở đây Sưu tầm: Thu Hoài Đường tròn nội tiếp tam giác hay tam giác ngoại tiếp đường tròn là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Ví dụ: △ABC trên ngoại tiếp đường tròn (O, r =OH). II. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁCĐường tròn nội tiếp tam giác có tính chất:
Ví dụ: △ABC trên ngoại tiếp đường tròn (O), bán kính r = OH = OP = OK. △EFG đều có đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp cùng tâm O. III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁCVí dụ: Cho △ABC với đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh nếu AB < AC thì BE< CD.Lời giải tham khảo: Vì AB < AC, trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AB = AF ⇒ △ABF cân tại A. Mà AD = AE ⇒ BD = FE ⇒ Tứ giác BDEF là hình thang cân ⇒ BE = FD. Xét △ABF cân tại A, có ∠AFB là góc ở đáy nên là góc nhọn. ⇒ ∠AFD cũng là góc nhọn ⇒ ∠DFC là góc tù. Vậy CD > FD = BE (đpcm). Đường tròn nội tiếp tam giác hay tam giác ngoại tiếp đường tròn là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác có tính chất:
Ví dụ: △ABC trên ngoại tiếp đường tròn (O, r =OH). III. CÔNG THỨC ĐỘ DÀI CỦA BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁCCông thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác được tính bằng diện tích tam giác ngoại tiếp đường tròn đó chia cho nửa chu vi của tam giác đó. $$r = {S \over p}= \sqrt{(p-a).(p-b).(p-c)\over p}$$ Trong đó:
IV. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ CÔNG THỨC ĐỘ DÀI CỦA BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁCVí dụ: Cho hình △ABC có độ dài các cạnh của hình tam giác lần lượt là là 8cm, 10cm, 12cm. Xác định bán kính đường tròn nội tiếp △ABC bằng bao nhiêu?Lời giải tham khảo: Áp dụng công thức chu vi tam giác ta có, chu vi △ABC là: P= 8 + 10 + 12 = 30 (cm) ⇒ nửa chu vi của △ABC là: p = 30 : 2= 15 (cm) Áp dụng công thức ta có bán kính đường tròn nội tiếp △ABC là: \(r = \sqrt{(p-a).(p-b).(p-c)\over p}\) \(=\sqrt{(15-8).(15-10).(15-12)\over 15}\) \(= \sqrt{7}\) Ôn tập Hình học lớp 9 Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đó (hay ta còn nói tam giác ngoại tiếp đường tròn). Trong bài viết dưới đây Download.vn xin giới thiệu đến các bạn học sinh lớp 9 và quý thầy cô toàn bộ kiến thức về tâm đường tròn nội tiếp tam giác như: khái niệm, cách xác định, bán kính đường tròn, các dạng bài tập và một số bài tập có đáp án kèm theo. Thông qua tài liệu về tâm đường tròn nội tiếp tam giác các bạn có thêm nhiều gợi ý ôn tập, củng cố kiến thức, làm quen với các dạng bài tập để đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học kì 1 Toán 9. Tâm đường tròn nội tiếp tam giácĐường tròn nội tiếp tam giác là khi ba cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và đường tròn nằm hoàn toàn bên trong tam giác. 2. Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giácĐể xác định được không chỉ tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông mà còn tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều nữa thì ta cần ghi nhớ lý thuyết. Với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác, hoặc có thể là hai đường phân giác. - Cách 1: Gọi D,E,F là chân đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ lần lượt từ A,B,C + Bước 1 : Tính độ dài các cạnh của tam giác + Bước 2 : Tính tỉ số + Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm D, E, F + Bước 4: Viết phương trình đường thẳng AD,BE + Bước 5: Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của AD và BE - Cách 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta có thể xác định tọa độ điểm I như sau: 3. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giácTam giác ABC có độ dài lần lượt là a, b, c ứng với ba cạnh BC. AC, AB. - Nửa chu vi tam giác - Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác 4. Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác- Nhắc lại: + Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R: + Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng là: Cho tam giác ABC có - Cách 1: + Viết phương trình hai đường phân giác trong góc A và B + Tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên + Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác ta được bán kính + Viết phương trình đường tròn - Cách 2: + Viết phương trình đường phân giác trong của đỉnh A + Tìm tọa độ chân đường phân giác trong đỉnh A + Gọi I là tâm đường tròn, tọa độ I thỏa mãn hệ thức + Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác + Viết phương trình đường tròn 5. Các dạng bài tập về đường tròn nội tiếp tam giácDạng 1: Tìm tâm của đường tròn nội tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) và C(4;-1).Tìm tâm I của đương tròn nội tiếp tam giác ABC . Giải: Ta có Do đó: Vậy tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(1;0) Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;6), B(-3;-4), C(5;0). Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải: Ta có, Do đó, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh Ví dụ: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(11; -7), B(23;9), C(-1,2). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Giải: Ta có phương trình cạnh BC: 7x-24y+55=0 Phương trình đường phân giác góc A: 7x+y-70=0 Gọi D là chân đường phân giác trong đỉnh A. Tọa độ D là nghiệm của hệ: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có: Vậy tọa độ I(10,0) Bán kính đường tròn nội tiếp: r=d(I,AB)=5 Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC: Ví dụ 2: Trong tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 7cm, BC = 8cm. Bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng? Hướng dẫn - Chu vi tam giác ABC: p = 9. - Bán kính: Ví dụ 3: Cho ba điểm có tọa độ như sau: A(-2; 3); ; C(2; 0) nằm trong mặt phẳng Oxy. Hãy tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 6. Bài tập vận dụng đường tròn nội tiếp tam giácBài 1 a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm. b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a). c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r). Vẽ hình minh họa b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm). c) Vẽ OH ⊥ BC. ⇒ OH là khoảng cách từ từ tâm O đến BC Vì AB = BC = CD = DA ( ABCD là hình vuông) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau ( định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây) ⇒ O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD. Tam giác vuông OBC có OH là đường trung tuyến ⇒ OH = 1/2 BC=BH Xét tam giác vuông OHB có: r2 + r2 = OB2 = 22 ⇒ 2r2 = 4 ⇒ r2 = 2 ⇒ r = √2(cm) Vẽ đường tròn (O; OH). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh. Bài 2 a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm. b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R. c) Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r. d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R). GIẢI Vẽ hình a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa). + Dựng đoạn thẳng AB = 3cm . +Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C. Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm. b) Gọi A';B';C' lần lượt là trung điểm của BC;AC;AB. Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác AA';BB';CC' của tam giác đều ABC). Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA. Hai đường trung trực cắt nhau tại O. Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R=OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính AA': GIẢI Xét tam giác AA'C vuông tại A' có AC=3;, theo định lý Pytago ta có Theo cách dựng ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC nên Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (cm). c) Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB. Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A', B', C' của các cạnh. Hay đường tròn (O; r) là đường tròn tâm O; bán kính r=OA’ = OB’ = OC’. Ta có: (cm). d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,B,C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có ∆IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O;R). Bài 3 Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung sao cho: a) Tứ giác ABCD là hình gì? b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau. c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R. GIẢI a) Xét đường tròn (O) ta có: (góc nội tiếp chắn (1) ( góc nội tiếp chắn ) (2) Từ (1) và (2) có: (3) và là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD và hai đường thẳng AB, CD. Đẳng thức (3) chứng tỏ AB // CD. Do đó tứ giác ABCD là hình thang, mà hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân. Vậy ABCD là hình thang cân suy ra (BC = AD và b) Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên: Vậy c) Vì nên (góc ở tâm) => ∆AOB đều, nên AB = OA = OB = R. Vì sđ (góc ở tâm) Kẻ Tứ giác ABCD là hình thang cân Lại có vuông cân tại O Xét vuông tại H ta có: Mà H là trung điểm của CD (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy). Bài 4 Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R. GIẢI Vẽ hình: +) Hình a. Cách vẽ: vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung mà dây căng cung có độ dài bằng R. Nối với với với A 1 ta được hình lục giác đều nội tiếp đường tròn Tính bán kính: Gọi là cạnh của đa giác đều có i cạnh. là tam giác đều) +) Hình b. Cách vẽ: + Vẽ đường kính của đường tròn tâm O. + Vẽ đường kính Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình vuông. Nối với với với A_4;A4 với A1 ta được hình vuông nội tiếp đường tròn (O). Tính bán kính: Gọi độ dài cạnh của hình vuông là a. Vì hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau nên xét tam giác vuông có +) Hình c: Cách vẽ như câu a) hình a. Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác như trên hình c. Tính bán kính: Gọi độ dài cạnh của tam giác đều là a. Trong tam giác vuông ta có: Từ đó Bài tập 5: Cho tam giác MNP biết MN = 8cm, MP = 9cm, NP = 11cm. Hỏi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu? Giải Nửa chu vi tam giác MNP là: Theo hê - rông, diện tích tam giác MNP Ià: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP là: Bài 5: Cho tam giác MNP đều cạnh 2a, Hỏi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu? Lời giải Diện tích tam giác đều MNP là: S = ½ MN.MP.sinM = ½ .2a.2a.sin60o = a2√3 Nửa chu vi tam giác MNP là: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP là: Bài 6 Cho tam giác ABC biết AB = 12cm, AC = 13cm, CD = 15cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lời giải Nửa chu vi tam giác ABC là: Diện tích tam giác ABC là:Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A B C là: Bài 7 Cho △ABC với đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh nếu AB < AC thì BE< CD. Giải Vẽ hình minh họa: Vì AB < AC, trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AB = AF ⇒ △ABF cân tại A. Mà AD = AE ⇒ BD = FE ⇒ Tứ giác BDEF là hình thang cân ⇒ BE = FD. Xét △ABF cân tại A, có ∠AFB là góc ở đáy nên là góc nhọn. ⇒ ∠AFD cũng là góc nhọn ⇒ ∠DFC là góc tù. Vậy CD > FD = BE (đpcm). 7. Bài tập tự luyện tâm đường tròn nội tiếp tam giácBài tập 1. Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1;5), B(–4;–5) và C(4;-1). Tìm tâm J của đương tròn nội tiếp tam giác ABC. ĐS: J(1;0) Bài tập 2. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(-15/2; 2), B(12; 15)và C(0; -3). Tìm tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đáp số J(-1;2) Bài tập 3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(3;–1), B(1;5) và C(6;0). Gọi A’ là chân đường cao kẻ từ A lên BC Hãy tìm A’. ĐS: A’(5;1) |
