1. Bất đẳng thức Quảng cáo  Là một mệnh đề có một trong các dạng \(A > B, A < B, A \ge B, A\le B\), trong đó \(A, B\) là các biểu thức chứa các số và các phép toán. Biểu thức \(A\) được gọi là vế trái, \(B\) là vế phải của bất đẳng thức. Nếu mệnh đề: \("A < B => C < D"\) là mệnh đề đúng thì ta nói bất đẳng thức \(C < D\) là hệ quả của bất đẳng thức \(A < B\). Nếu \("A < B => C < D"\) và \("C < D ⇒ A < B"\) là mệnh đề đúng thì ta nói hai bất đẳng thức \(A < B\) và \(C < D\) tương đương, kí hiệu là \(A < B ⇔ C < D\). 2. Các tính chất của bất đẳng thức. TC1. ( Tính chất bắc cầu) \(\left\{ \matrix{ A < B \hfill \cr B < C \hfill \cr} \right. \Rightarrow A < C\) TC2. (Quy tắc cộng): \(A < B ⇔ A + C < B + C\) TC3. (Quy tắc cộng hai bất đẳng thức dùng chiều) \(\left\{ \matrix{ A < B \hfill \cr C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow A + C < B + D\) TC4. (Quy tắc nhân) \(\left\{ \matrix{ A < B \hfill \cr C > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC < BC\) \(\left\{ \matrix{ A < B \hfill \cr C < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC > BC\) TC5. (Quy tắc nhân hai bất đẳng thức) \(\left\{ \matrix{ 0 < A < B \hfill \cr 0 < C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC < B{\rm{D}}\) TC6. (Quy tắc lũy thừa, khai căn) Với \(A, B > 0, n ∈\mathbb N^*\) ta có: \( A < B \Leftrightarrow A^n< B^n\) \(A < B \Leftrightarrow \root n \of A < \root n \of B \). 3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Côsi) Ta gọi \({{a + b} \over 2}\) là trung bình cộng của hai số \(a, b\). Tổng quát trung bình cộng của n số \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) là \({{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \over n}\) Trung bình nhân của hai số không âm \(a ≥ 0, b ≥ 0\) là \(\sqrt {ab} \) Trung bình nhân của n số không âm \({a_1} \ge 0,{a_2} \ge 0,...,{a_n} \ge 0\) là \(\root n \of {{a_1}{a_2}...{a_n}} \) Định lí: Ta có bất đẳng thức dưới đây, mang tên bất đẳng Cô si: \(\sqrt {ab} \le {{a + b} \over 2}\) \(∀a, b ≥ 0\). Dấu \("="\) chỉ xảy ra khi \(a = b\). Người ta cũng có: \(\root 3 \of {abc} \le {{a + b + c} \over 3}\) \(∀a, b, c ≥ 0\). \(\root n \of {{a_1}{a_2}...{a_n}} \le {{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \over n}\) \(∀ {a_1},{a_2},...,{a_n} \ge 0\) Hệ quả 1. Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau. Hệ quả 2. Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau. 4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ta có các bất đẳng thức sau: \(\left| a \right| - \left| b \right| \le \left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\) \(∀a, b ∈\mathbb R\) Trung bình cộng của n số không âm \(a_1, a_2, \cdots a_n\) là \(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\) Trung bình nhân của n số không âm \(a_1, a_2, \cdots a_n\) là \(\sqrt[n]{a_1.a_2\ldots a_n}\) Định lý. Trung bình cộng của \(n\) số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(n\) số không âm đó bằng nhau. \[\dfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1.a_2\ldots a_n}\] Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a_1=a_2=\cdots=a_n.\) Một số trường hợp đặc biệt:
Bất đẳng thức này ở VN gọi là bđt Cô-si (Cauchy) còn ở Mỹ gọi như trong tựa bài, hay gọi tắt là AM-GM inequality (arithmetic mean - geometric mean). Lý do Mỹ không gọi bđt này là bđt Cauchy vì ở Mỹ dùng Cauchy inequality để gọi bất đẳng thức ||a.b|| ≤ ||a|| ||b||. Haonhien 02:07, 15 tháng 9 2006 (UTC) Có lẽ phải lấy tên gọi theo tiếng Việt làm tên chính? Nguyễn Thanh Quang 03:35, 15 tháng 9 2006 (UTC) Lấy tên là Bất đẳng thức Cô-si hay là Bất đẳng thức Cauchy làm tên chính ? Casablanca1911 04:08, 15 tháng 9 2006 (UTC) Tôi đề nghị "Cauchy" thay vì Cô-si vì nếu không người đọc lại phải bấm thêm một nút nữa mới biết "cô-si" là cái món hàng gì... Haonhien 05:57, 15 tháng 9 2006 (UTC) Một khi tên tựa của bất đẳng thức Bunhiaxcốpki được gọi là Cauchy - Schwarz, tôi nghĩ nên để tên tựa là Bất đẳng thức AM - GM. --JokySpy 01:38, ngày 18 tháng 4 năm 2007 (UTC) Tôi đề nghị đổi tên bài viết thành Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Đây là tên gọi đúng, được dịch tương đương với tên gọi quốc tế của bất đẳng thức này và đã được sử dụng khá phổ biến trong nhiều tài liệu chính thống của nước ta gần đây. Cách gọi Bất đẳng thức Cauchy là cách gọi sai, hình như do nguyên nhân là trước đây, nước ta theo cách gọi của Liên Xô cũ. Nguyên Lê (thảo luận) 14:16, ngày 21 tháng 9 năm 2010 (UTC)Trả lời[trả lời] Sách giáo khoa tiếng Việt dùng Bất đẳng thức Cô-si thì nên giữ nguyên như thế. Bạn có nguồn nào tiếng Việt đề cập đến như đề nghị của bạn không?--Tranletuhan (thảo luận) 15:29, ngày 21 tháng 9 năm 2010 (UTC)Trả lời[trả lời] Đại số 10 Nâng cao, NXB Giáo dục. Sáng tạo bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, NXB Trẻ (trong này gọi là "bất đẳng thức AM–GM")… Cauchy chỉ là người đưa ra cách chứng minh độc đáo cho bất đẳng thức này mà thôi. @ SGK nên được coi là một nguồn tham khảo khá tin cậy mà thôi, không nên áp đặt nó vào Wikipedia. Nguyên Lê (thảo luận) 16:14, ngày 21 tháng 9 năm 2010 (UTC)Trả lời[trả lời] Đúng là sách GK là một nguồn tham khảo khá tin cậy, nhưng ở đây tôi muốn đề cập đến mức độ phổ biến của nó. Tất cả học sinh đã học qua lớp 10 đều biết đến nó. Bạn thử tính nhẫm xem từ năm 1975 (vì trước đó thì tôi ko biết) thì có bao nhiêu người biết? Mà cuốn sách bạn nêu ở trên dùng AM&GM hay dùng tên tiếng Việt? Bạn muốn đặt ra một tên mới ư?--Tranletuhan (thảo luận) 01:52, ngày 22 tháng 9 năm 2010 (UTC)Trả lời[trả lời] Tôi đã nói ở trên, cách viết "Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân" cũng đã được sử dụng phổ biến trong các tài liệu hiện nay, đặc biệt là sự có mặt của nó trong SGK 10. Như vậy là hàng triệu học sinh cũng đã biết đến nó rồi, không phải nó là cái tên tôi tự dưng sáng tác ra. Hơn nữa tên gọi này là tên gọi đúng theo thống nhất quốc tế, thay cho cách gọi sai của "Bất đẳng thức Cauchy" (tôi có thể khẳng định điều này). Còn các tên gọi khác của bất đẳng thức này như bất đẳng thức AM–GM, bất đẳng thức A–G đều là cách gọi tiếng anh viết tắt của bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Đồng ý là cách gọi này không phổ biến bằng "Bất đẳng thức Cauchy" (hay Cô-si), nhưng nó là cách gọi đúng, hơn nữa ngày càng trở nên phổ biến gần đây. Tại sao lại không dùng? Nguyên Lê (thảo luận) 05:17, ngày 22 tháng 9 năm 2010 (UTC)Trả lời[trả lời] Có thể chứng minh bất đẳng thức Côsi ở trình độ trung học bằng phương pháp quy nạp đấy. Và cũng chỉ rất ngắn, chưa hết 1 trang giấy đâu Forget her not (thảo luận) 16:11, ngày 30 tháng 11 năm 2009 (UTC)Trả lời[trả lời] Tôi cho rằng chưa chắc cần chứng minh bất đẳng thức này ở đây. Chứng minh bđt Cô-si theo phương pháp bình thường (trình độ trung học) thì rất nhiêu khê, có lẽ cũng phải 3 trang giấy. Trong khi đó bđt này là kết quả đương nhiên của bđt Jensen (lấy log hai bên, áp dụng bđt Jensen). Vì vậy tôi cho rằng thà đừng chứng minh thì hơn. Tiện đây xin hỏi harmonic mean tiếng Việt là gì? Vì bđt tổng quát hơn là: Harmonic mean ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng Harmonic mean là:
Xin cám ơn. Haonhien 02:07, 15 tháng 9 2006 (UTC) Harmonic mean hình như là "trung bình điều hòa". Nguyễn Thanh Quang 03:35, 15 tháng 9 2006 (UTC) Chúng ta không nên chứng minh BĐT này chỉ với 2 số (n=2). Và nên xét |a| và |b| chứ ko nên lắm a,b >=0! --Lamb2- (Talk) 05:34, ngày 18 tháng 2 năm 2008 (UTC)Trả lời[trả lời] Thật tiếc là Wikipedia quá khắt khe trong việc trình bày lời giải toán học mà khiến chỉ 1 người phản đối là hok có chứng minh toán học cho 1 trong những bất đẳng thức cơ bản của toán học phổ thông như Bất đẳng thức Cô si, trong khi thực tế ta có thể chứng minh được nhờ quy nạp và biến đổi tương đương, chỉ dùng kiến thức lớp 9 là đủ Forget her not (thảo luận) 16:14, ngày 30 tháng 11 năm 2009 (UTC)Trả lời[trả lời] |
