c, $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$ (với a, b, c là các số dương) Show d, $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$ (với a, b, c là các số dương và x, y, z là các số thực tùy ý) 3. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh các bất đẳng thức sau, với a, b, c là các số dương: a, $(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$ b, $(1+ab)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$ c, $\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 8$ Với Cách So sánh căn bậc hai số học cực hay, có đáp án Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập So sánh căn bậc hai số học từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.  Phương pháp giảiDựa vào tính chất: Nếu a, b ≥ 0 thì a < b ⇔ √a < √b Ví dụ minh họaVí dụ 1:So sánh các số sau:
Hướng dẫn:
√10 > √9 = 3 Vậy √15-1 < √10 Ví dụ 2:So sánh các số sau
Hướng dẫn:
(2√3)2 = 22.(√3)2 = 4.3 = 12 ⇒ (3√2)2 > (2√3)2 ⇒ 3√2 > 2√3
mà √35 < √36 = 6 ⇒ √10 + √5 + 1 > √35
mà √3 < √4 = 2
Bài tập vận dụngBài 1: So sánh các số sau:
Bài 2:
Hướng dẫn giải và đáp ánHướng dẫn: Bài 1:
Bài 2:
⇒ 2 < 1 + √2
⇒ √3 - 1 < 1
⇒ 3√11 < 12
⇒ -2√31 < -10. Hướng dẫn: Đầu tiên, chúng ta quan sát thấy 16; 9 là hai số chính phương và tổng 16 + 9 cũng là số chính phương. Nghĩa là ta có thể tính trực tiếp các căn bậc hai này. Như vậy trong ví dụ này ta áp dụng cách 1 để so sánh các căn bậc hai. Ta có: Vì 5 < 7 nên Ví dụ 3. So sánh và Hướng dẫn: Ở ví dụ này, ta thấy 2001; 2002 và tổng 2001 + 2002 không phải là số chính phương. Nghĩa là ta không thể tính trực tiếp các căn bậc hai. Vì thế trong ví dụ này ta phải áp dụng cách 2 để so sánh các căn bậc hai. Đầu tiên, chúng ta tính bình phương hai số và so sánh hai kết quả thu được. Ta có: Vì Nên Suy ra Vậy . 3. Dạng 3: Áp dụng tính chất bắc cầu để so sánh căn bậc hai*Phương pháp giải: Khi chúng ta không thể so sánh trực tiếp hai căn bậc hai theo các cách trên thì ta tìm một số trung gian (lớn hơn số này và bé hơn số kia, thông thường chúng ta chọn các căn bậc hai của số chính phương làm trung gian) sau đó áp dụng tính chất bắc cầu để so sánh: Nếu a < b và b < c thì a < c. Ví dụ 4. So sánh và . Hướng dẫn: Ở ví dụ này, ta nên chọn căn bậc hai của số chính phương là làm số trung gian. Ta có: Vì nên Theo tính chất bắc cầu, ta có: . Vậy . 4. Dạng 4: Sử dụng các phương pháp so sánh căn bậc hai để chứng minh bất đẳng thứcVí dụ 5. Qua hai ví dụ 2 và 3 hãy chứng minh công thức tổng quát sau: Với hai số m và n không âm ta có . Giải. Ta có: Vì với m,n ≥ 0 Nên Vậy . III. Bài tập vận dụng về so sánh căn bậc haiBài 1. Chọn câu trả lời đúng. Kết quả nào sau đây là đúng? ĐÁP ÁN Chọn đáp án B.
Ta có: 10 = 2.5 = . Vì 25 < 31 nên Suy ra . Vậy . Bài 2. So sánh:
ĐÁP ÁN
Vậy
Vì nên Vậy .
Vì nên Suy ra Vậy .
Vì nên Vậy .
Vì nên Suy ra Vậy .
Mà ( Vì 81 < 82) Theo tính chất bắc cầu, ta có: Vậy . Bài 3. Chứng minh:
ĐÁP ÁN
Vì với mọi số a > 1 Suy ra (nhân hai vế với ) Vậy với a > 1 thì .
Vì với mọi số Suy ra (nhân hai vế với ) Vậy với thì . Như vậy, bài viết đã cung cấp đầy đủ lý thuyết về căn bậc hai và các bài toán so sánh căn bậc hai. Đây là một trong các dạng toán thường xuất hiện trong các bài thi. Chính vì thế các em cần nắm vững kiến thức về căn bậc hai và các cách so sánh căn bậc hai để làm tốt các bài tập trên lớp. |
