Từ đó \(\left| {\sin \alpha - \cos \alpha } \right| = \sqrt {2 - {m^2}} \) (lập luận này cũng chứng tỏ rằng, nếu \(\sin \alpha + \cos \alpha = m\) thì \(2 - {m^2} \ge 0\), tức là ta luôn có \(\left| {\sin \alpha + \cos \alpha } \right| \le \sqrt 2 \) ; còn có thể suy ra bất đẳng thức này từ nhiều lập luận khác.)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = m\), hãy tính theo m LG a \(\sin \alpha \cos \alpha ;\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}\sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} - 1} \right]\\ = \dfrac{{{m^2} - 1}}{2}\end{array}\) LG b \(\left| {\sin \alpha - \cos \alpha } \right|;\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}{\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \\ = 1 - \left( {{m^2} - 1} \right) = 2 - {m^2}\end{array}\) Từ đó \(\left| {\sin \alpha - \cos \alpha } \right| = \sqrt {2 - {m^2}} \) (lập luận này cũng chứng tỏ rằng, nếu \(\sin \alpha + \cos \alpha = m\) thì \(2 - {m^2} \ge 0\), tức là ta luôn có \(\left| {\sin \alpha + \cos \alpha } \right| \le \sqrt 2 \) ; còn có thể suy ra bất đẳng thức này từ nhiều lập luận khác.) LG c \({\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha ;\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}{\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \\ = {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha \cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\\ = {m^3} - 3\left( {\dfrac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)m = \dfrac{{m\left( {3 - {m^2}} \right)}}{2}\end{array}\) LG d \({\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha \). Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}{\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha \\ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} - 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\\ = 1 - 3{\left( {\dfrac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{ - 3{m^4} + 6{m^2} + 1}}{4}\end{array}\)
|
