TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.22 MB, 16 trang ) NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH VÀ BÌNH LUẬN Thầy Nguyễn Sỹ Đây là bài toán khó đòi hỏi khả năng tư duy cao. *) Ta có thể phát biểu lại bài toán thành quen thuộc: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số số f ( y) log3 ( x y) log 4 x 2 y là hàm số đồng biến và ta thấy BPT f y 0 luôn có ít nhất một nghiệm là y x 1 . Do đó để BPT có tối đa 728 nghiệm nguyên thì chỉ cần f ( x 729) 0 . Lời giải Chọn C Với mọi x ta có x 2 x . Xét hàm số f ( y) log3 ( x y) log 4 x 2 y . NHÓM TOÁN VD – VDC Tập xác định D ( x; ) (do y x y x 2 ). f '( y) 1 1 2 0, x D (do x2 y x y 0 , ln 4 ln 3 ) ( x y) ln 3 x y ln 4 f tăng trên D . Ta có f ( x 1) log3 ( x x 1) log 4 x 2 x 1 0 . Có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn f y 0 f ( x 729) 0 log3 729 log 4 x 2 x 729 0 x2 x 729 46 0 x2 x 3367 0 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 66 NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 57,5 x 58,5 Mà x nên x 57, 56,...,58 . Vậy có 58 (57) 1 116 số nguyên x thỏa. CÂU HỎI TƢƠNG TỰ, PHÁT TRIỂN Câu 35. [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có bao nhiêu số nguyên y sao cho ứng với mỗi y có không quá 100 số nguyên x thỏa mãn log5 x y 2 3y 2 x 0 . B. 18 . C. 20 . D. 17 . Thực hiện : Thầy Nguyễn Sỹ – Phản Biện : Thầy Nguyễn Tất Thành. Lời giải Chọn C Xét hàm số f x log5 x y 2 32 x y với x y 2 ; . Ta có f ' x NHÓM TOÁN VD – VDC A. 19 . 1 2.32 x y ln 3 0, x y 2 . 2 x y ln 5 Suy ra hàm số f x đồng biến trên khoảng y 2 ; . lim2 f x x y Ta có 2 f y 2 1 32 y y 2 0 Do đó để BPT f x 0 có không quá 100 số nguyên x thỏa mãn f y 2 101 0 log 5 y 2 101 y 2 3 0 2 y 2 101 y 2 y 202 log 5 101 2 y 2 y 202 log 3 log 5 101 0 10,33 y 9,83 Mà y y 10; 9;...;9 . Vậy có 20 giá trị nguyên của y. Câu 36. [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 1 để bất phương trình x m log 2 x m2 0 có tối đa 50 nghiệm nguyên. e A. 15 . B. 16 . C. 14 . D. 17 . Thực hiện : Thầy Nguyễn Sỹ – Phản Biện : Thầy Nguyễn Tất Thành. Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 67 NHÓM TOÁN VD – VDC 32 y NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 Chọn C ĐKXĐ x m2 . Xét hàm số f x 1 e xm Ta có f ' x e x m log 2 x m2 với x m2 . 1 0, x m2 2 x m ln 2 NHÓM TOÁN VD – VDC Suy ra, hàm số f x nghịch biến trên khoảng m2 ; . lim 2 f x x m Ta thấy 1 2 f m 1 m2 m1 0 e Do đó để BPT f x 0 có không quá 50 nghiệm nguyên f m2 51 0 1 e m 51 m em 2 2 m 51 log 2 m2 51 m2 0 log 2 51 m2 m 51 ln log 2 51 0 6, 78 m 7, 78 Mà m m 6; 5;...,7 . Vậy có 14 giá trị nguyên của tham số m . Câu 37. [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có bao nhiêu số nguyên y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn B. 18 . log5 x y 2 log 2 x y 0 . 2 C. 32 . D. 17 . Thực hiện : Thầy Nguyễn Sỹ – Phản Biện : Thầy Nguyễn Tất Thành. Lời giải Chọn C Với mỗi y y 2 y y y 2 Xét hàm số f x 1 2 x y log5 x y 2 log 2 x y với x y; . Ta có f ' x 2 x y.ln 2 1 1 0, x y : ; 2 x y ln 5 x y ln 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 68 NHÓM TOÁN VD – VDC A. 30 . 1 x y NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 x y2 x y 0 vì ln 5 ln 2 0 Suy ra hàm số f x nghịch biến trên khoảng y; . lim f x x y Ta có 1 f y 1 log 5 y 2 y 1 0; y 2 y 2 NHÓM TOÁN VD – VDC Do đó để BPT f x 0 có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn f y 11 0 1 log 5 y 2 y 11 log 2 11 0 211 log 11 2 y 2 y 11 5 11 2 log 11 2 y 2 y 11 5 11 2 0 15,35 y 16,35 Mà y y 15; 14;...;16 . Vậy có 32 giá trị nguyên của y. Câu 38. [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 26 số nguyên y thỏa mãn log5 x2 y log 4 x 2 x 27 log3 ( x y) ? B. 423 . A. 211 . C. 424 . D. 212 . Thực hiện : Thầy Nguyễn Tất Thành– Phản Biện : Thầy Nguyễn Sỹ. Lời giải Chọn C Với mọi x ta có x2 x x x2 . NHÓM TOÁN VD – VDC Xét hàm số f ( y) log3 ( x y) log5 x 2 y log 4 x 2 x 27 . Tập xác định D ( x; ) . Ta có f '( y) 1 1 2 0, x D (do x2 y x y 0 , ln 5 ln 3 ) ( x y ) ln 3 x y ln 5 f đồng biến trên D . Ta có f ( x 1) log3 ( x x 1) log5 x 2 x 1 log 4 x 2 x 27 0 . y x 1 là một nghiệm của bất phương trình đã cho. Suy ra, để có không quá 26 số nguyên y thỏa mãn f y 0 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 69 NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 f ( x 27) 0 log3 27 log5 x 2 x 27 log 4 x 2 x 27 0 log5 x2 x 27 log 4 x 2 x 27 3 log5 4.log 4 x2 x 27 log 4 x 2 x 27 3 (log5 4 1) log 4 x2 x 27 3 x2 x 27 43 log5 20 . 211,5 x 212,5 . nên 211 x 212 . Vậy có 212 (211) 1 424. số nguyên x thỏa mãn yêu cầu. Câu 39. [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 10 số nguyên y thỏa mãn 4x A. 16 . B. 15 . 2 7 y 26 2 x y 8192 và x y 0 ? C. 17 . D. 7 . Thực hiện : Thầy Nguyễn Tất Thành– Phản Biện : Thầy Nguyễn Sỹ. NHÓM TOÁN VD – VDC Mà x Lời giải Chọn A Xét hàm số f ( y) 4x 2 7 y 26 2 x y 8192 . Tập xác định D ( x; ) vì x y 0 y x và x Ta có : f '( y) 7.4x Ta có f ( x 1) 4x 2 2 7 y 26 7 x 19 ln 4 2 x y.ln 2 0, x D f nghịch biến trên D . 2 x x1 213 0 2 4x NHÓM TOÁN VD – VDC 49 27 7 27 27 vì x 7 x 19 x 7 x x 4 4 2 4 4 2 2 2 7 x 19 27 27 4 4 2 2 213 4 x 2 7 x 19 1 213 0 2 y x 1 là một nghiệm của bất phương trình f y 0 . Suy ra, để có không quá 10 số nguyên y thỏa mãn f y 0 f ( x 11) 0 4x 4x 2 7 x 51 213 2 7 x 51 2 x x11 213 0 1 1 x 2 7 x 51 log 4 213 11 11 2 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 70 NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 1 x 2 7 x 51 log 4 213 11 0 . 2 11,8 x 4,8 . Mà x nên 11 x 4 . Vậy có 4 (11) 1 16. số nguyên x thỏa mãn yêu cầu. Câu 50. [ ĐỀ GỐC-MÃ 101- TN 2020 ] Cho hàm số bậc ba y f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình sau: NHÓM TOÁN VD – VDC CÂU 50 – MÃ 101 CHỦ ĐỀ : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Thực hiện :Thầy Dinh An – Thầy Huỳnh Đức Vũ . Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x3 f ( x) 1 0 là A. 8 . B. 5 . C. 6 . D. 4 . PHÂN TÍCH VÀ BÌNH LUẬN. - Bài toán cho đồ thị hàm số bậc ba y f x và hỏi số nghiệm của phương trình f x3 f x 1 0 . Đây là dạng toán tương giao hàm ẩn, hàm hợp. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 71 NHÓM TOÁN VD – VDC Tuy nhiên bài toán tƣơng giao này có hai bƣớc: Bƣớc 1: Tương giao giữa đồ thị hàm số y f t và đường thẳng y 1 . Bước này khá đơn giản vì trong bài toán có cho sẵn dữ kiện để có thể tìm ra số nghiệm t của phương trình, thậm chí có thể cho thấy được các nghiệm thuộc khoảng nào. a Bƣớc 2: Tương giao giữa đồ thị hàm số y f x và đổ thị y 3 . Với đồ thị x y f x cho trước thì học sinh cần nắm chắc các dạng đồ thị hàm y x với là các số nguyên. Đến bước này thì rõ ràng các em học sinh chỉ cần tìm được số giao điểm mà không cần quan tâm các hoành độ giao điểm thuộc khoảng nào nữa. Các hƣớng phát triển của bài toán: Hƣớng 1: Thay đổi đồ thị hàm bậc ba thành đồ thị một hàm số khác; thay đổi tương giao bước hai từ hàm lũy thừa mũ nguyên lẻ thành hàm số lũy thừa số nguyên chẵn, mũ không nguyên; hoặc thay hàm lũy thừa thành các hàm số khác như hàm mũ, logarit, đưa dấu giá trị tuyệt đối vào để nhân đôi đồ thị (vì nếu chỉ có hàm mũ hoặc logarit thông thường thì đồ thị chỉ có một nhánh). Hƣớng 2: Thay vì hỏi số nghiệm của phương trình thuần túy thì có thể lồng ghép vào bài toán: Tìm số tiệm cận ngang, có thể là số tiệm cận của đồ thị hàm số. Ví dụ như: Tìm số NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: y 1 f x f x 1 3 . Hoặc có thể đổi câu hỏi thành tìm số cực trị, hoặc khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số, cũng dựa trên cách xử lí bài toán tương giao của các đồ thị. Tuy nhiên với cách hỏi này, hàm số phải cho khéo để có thể tạo ra đạo hàm như mong muốn. Lời giải Chọn C NHÓM TOÁN VD – VDC x 0 f ( x) 0 x3 f ( x) 0 3 3 3 f x f ( x) 1 0 f x f ( x) 1 x f ( x) a 0 f ( x) a (do x 0) x3 x3 f ( x) b 0 f ( x) b (do x 0) x3 f ( x) 0 có một nghiệm dương x c . f ( x) g ( x) f '( x) NHÓM TOÁN VD – VDC Đặt g ( x) f ( x) k với x 0, k 0 . x3 k . x3 3k . x4 Với x c , nhìn hình ta ta thấy f ( x) 0 g ( x) f ( x) 3k 0 x4 g ( x) 0 có tối đa một nghiệm. g (c) 0 Mặt khác và g ( x) liên tục trên c; lim g ( x ) x g ( x) 0 có duy nhất nghiệm trên c; . k Với 0 x c thì f ( x) 0 3 g ( x) 0 vô nghiệm. x https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 72 NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 Với x 0 , nhìn hình ta thấy f ( x) 0 g ( x) f ( x) 3k 0 x4 g ( x) 0 có tối đa một nghiệm. lim g ( x) 0 x0 Mặt khác và g ( x) liên tục trên ;0 . g ( x) xlim g ( x) 0 có duy nhất nghiệm trên ;0 . Tóm lại g ( x) 0 có đúng hai nghiệm trên a b , f ( x) 3 có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác c . 3 x x Vậy phương trình f x3 f ( x) 1 0 có đúng 6 nghiệm. Cách xử lí khác cho phƣơng trình f ( x) Xét h( x) h( x) k , Dh x3 k . x3 NHÓM TOÁN VD – VDC Suy ra hai phương trình f ( x) \ 0 . \ 0 , k 0 . 3k 0, x D h( x) nghịch biến trên từng khoảng xác định. x4 Bảng biến thiên (Lƣu ý: do f ( x) là hàm bậc ba nên ta chắc chắn được hình dáng đồ thị của nó khi x và x ). https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 73 NHÓM TOÁN VD – VDC Từ đó vẽ đồ thị các hàm số y f ( x) và y h( x) trên cùng hệ trục tọa độ, ta được hình vẽ. NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 k có đúng 2 nghiệm, 2 nghiệm này khác 0 và x3 NHÓM TOÁN VD – VDC Nhìn vào đồ thị, ta thấy phương trình f ( x) khác c . Mỗi phương trình f ( x) a b , f ( x) 3 đều có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và khác c . 3 x x Vậy phương trình f x3 f ( x) 1 0 có đúng 6 nghiệm. CÂU HỎI TƢƠNG TỰ, PHÁT TRIỂN Câu 40. [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số đa thức bậc bốn y f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình A. 8 . NHÓM TOÁN VD – VDC 4 f x f 1 0 là 2 ln x B. 5 . C. 6 . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com D. 4 . Trang 74 NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 Thực hiện :Thầy Huỳnh Đức Vũ – Thầy Dinh An. Lời giải Chọn C NHÓM TOÁN VD – VDC 4 f x 0 2 f x 0 ln x 4 f x 4 f x f x 1 ln x f 1 0 1 2 2 2 ln x ln x 4 f x f x ln x 2 2 ln x 1 2 3 Xét phương trình f x ln x , vì y f x là hàm số đa thức bậc bốn nên ta có +)Trên ;0 đồ thị hàm số y ln x cắt đồ thị hàm số y f x tại duy nhất một điểm. +) Trên 0; a , với x a 1;2 là một điểm cực đại của hàm số y f x ln x ln x x 1 f ( x), x 0; a nên trên khoảng 0; a phương trình vô nghiệm. +) Trên a; , ta thấy đồ thị hàm số y ln x cắt đồ thị hàm số y f x tại duy nhất một điểm. Do đó, phương trình f x ln x có đúng 2 nghiệm phân biệt và hai nghiệm này khác với hai nghiệm của phương trình (1). https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 75 NHÓM TOÁN VD – VDC x x1 0 f ( x) 0 . x x2 2 NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 NHÓM TOÁN VD – VDC 1 Xét phương trình f x ln x . Tương tự như phương trình (2) và với đánh giá 2 1 1 ln x x 1 f ( x), x 0; a ta cũng chứng minh được phương trình này có đúng 2 2 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm này không trùng với các nghiệm của hai phương trình (1) và (2). Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt. Câu 41. [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số đa thức bậc ba y f ( x) có đồ A. 8 . B. 5 . C. 6 . D. 4 . Thực hiện :Thầy Huỳnh Đức Vũ – Thầy Dinh An. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 76 NHÓM TOÁN VD – VDC f x thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x 1 0 e là NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 Lời giải Chọn B +) f x ex f x f x ex f x ex f x ex 0 NHÓM TOÁN VD – VDC f x f x f x 1 0 f x 1 e e (1) a 1; 2 (2) b 2. (3) x x1 0;1 0 f x 0 x x2 x1 ;1 x x b 3 vô nghiệm. Trên ;0 , vì hàm số y f ( x) là hàm số đa thức bậc ba nên kết hợp với đồ thị ta thấy NHÓM TOÁN VD – VDC a 1; 2 f x ae x . ex Trên 0; , ta có e x x 1 ae x a x 1 f ( x). Suy ra trên khoảng này phương trình (2) +) phương trình (2) có nghiệm duy nhất trên khoảng này. f x +) x b f ( x) be x . Ta có be x b x 1 f ( x), x>0 và lập luận tương tự như phương trình e (2) ta chứng minh được phương trình này có nghiệm duy nhất trên ;0 . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 77 NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 Câu 42. [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là NHÓM TOÁN VD – VDC Các nghiệm của ba phương trình (1), (2), (3) không trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm phân biệt. đường cong trong hình vẽ. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x5 f x 2 0 là B. 5 . C. 6 . D. 4 . Thực hiện :Thầy Huỳnh Đức Vũ – Thầy Dinh An. Lời giải Chọn C f x5 f x 2 0 f x5 f x 2 * Dựa vào đồ thị https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 78 NHÓM TOÁN VD – VDC A. 8 . NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 x5 f x 0 * x5 f x a 5 x f x b 1 2 1 a 0 . 3 3 b 2 x 0 x 0 f x 0 x x1 1 3 x1 2 . Xét 2 : dễ thấy x 0 không là nghiệm. Với x 0 , 2 f x 1 a 0 và hàm số y f x trên cùng hệ trục tọa độ suy ra Tương tự xét phương trình 3 phương trình có 2 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm. Câu 43. [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị là đường f x 2 cong 2 trong hình vẽ. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x 3 0 là C. 9 . B. 6 . D. 12 . Thực hiện : Thầy Dinh An– Thầy Huỳnh Đức Vũ. Lời giải Chọn C x 2 2 f x 3 0 f x 2 2 f x 3 * https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 79 NHÓM TOÁN VD – VDC A. 8 . f NHÓM TOÁN VD – VDC a x5 phương trình có 2 nghiệm. Vẽ đồ thị hàm số f x a . x5 NHÓM TOÁN VD – VDC Ta có: f PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 x 2 2 x 2 2 x 2 2 f x 3 x 2 2 2 x 2 f x 0 f x a 1;0 f x b 2 . f x c 3; 2 x 2 2 Xét phương trình: x 2 f x 0 mà f x 0 có hai nghiệm f x 0 x 2 . f x 0 có ba nghiệm. 2 NHÓM TOÁN VD – VDC Xét phương trình: x 2 f x a 0 2 Do x 2 0 ; x 2 không là nghiệm của phương trình f x 2 Xét g x a x 2 2 g x a x 2 2 0 2a x 2 3 Bảng biến thiên: a x 2 2 có 2 nghiệm. Tương tự: x 2 f x b và x 2 f x c b, c 0 mỗi phương trình cũng có hai 2 2 nghiệm. Vậy số nghiệm của phương trình f x 2 2 f x 3 là 9 nghiệm. Câu 44. [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 80 NHÓM TOÁN VD – VDC Từ bảng biến thiên với f x 0 f x NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Môn Toán - Mã đề 101 Số nghiệm thực của phương trình f f x f x 0 là C. 10 . B. 24 . D. 4 . Thực hiện : Thầy Dinh An– Thầy Huỳnh Đức Vũ. Lời giải Chọn A Đặt f x t 0 . Khi đó phương trình trở thành NHÓM TOÁN VD – VDC A. 20 . f t t , 1 . Từ đồ thị hàm số ta có Khi đó các phương trình f x a , f x b , f x c mỗi phương trình có 6 nghiệm phân biệt không trùng nhau. Phương trình f x d có 2 nghiệm phân biệt không trùng với nghiệm của 3 phương trình trên. Vậy phương trình đã cho có 20 nghiệm phân biêt. ----HẾT---- https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 81 NHÓM TOÁN VD – VDC t a , 0 a 1 t b , a b 1 Phương trình 1 có 4 nghiệm t c , 1 c 2 t d , 2 d |
