PHÂN DẠNG câu hỏi số PHỨC TRONG đề THI THPTQG từ năm 2017 2020Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (774.23 KB, 28 trang ) Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Câu 3: (Nhận biết) (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 104) Cho số phức 𝑧 = 2 + 𝑖. Tính |𝑧|. A. |𝑧| = 3 B. |𝑧| = 5 C. |𝑧| = 2 D. |𝑧| = 5 Lời giải Chọn D Ta có |𝑧| = 22 + 1 = 5. Câu 4: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Số phức 3 + 7𝑖 có phần ảo bằng A. 3. B. 7. C. 3. D. 7. Lời giải Chọn D Trang 1 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Câu 5: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là A. 𝟑 + 𝟒𝒊. B. 𝟒 𝟑𝒊. C. 𝟑 𝟒𝒊. D. 𝟒 + 𝟑𝒊. Hướng dẫn giải Chọn A Câu 6: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Số phức 5 + 6𝑖 có phần thực bằng A. 5. B. 5. C. 6. D. 6. Lời giải Chọn B Số phức 5 + 6𝑖 có phần thực bằng 5, phần ảo bằng 6. Câu 7: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là A. 1 3𝑖. B. 1 3𝑖. C. 1 + 3𝑖. D. 1 + 3𝑖. Lời giải Chọn D Câu 8: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Số phức liên hợp của số phức 3 4𝑖 là. A. 3 4𝑖. B. 3 + 4𝑖. C. 3 + 4𝑖. D. 4 + 3𝑖. Lời giải Chọn C Theo tính chất 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑧 = 𝑎 𝑏𝑖 Theo để bài 3 4𝑖, suy ra số phức liên hợp là 3 + 4𝑖. Câu 9: (Nhận biết) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Số phức liên hợp của số phức 5 3𝑖 là A. 5 + 3𝑖. B. 3 + 5𝑖. C. 5 3𝑖. D. 5 + 3𝑖. Lời giải Chọn D Câu 10: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Số phức liên hợp của số phức 1 2𝑖 là A. 1 2𝑖. B. 1 + 2𝑖. C. 2 + 𝑖. D. 1 + 2𝑖. Lời giải Chọn B Số phức liên hợp của số phức 1 2𝑖 là 1 + 2𝑖 Câu 11: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Số phức liên hợp của số phức 3 2𝑖 là: Trang 2 A. 3 + 2𝑖. B. 3 + 2𝑖. C. 3 2𝑖. Tài Liệu Luyện Thi THPTQG D. 2 + 3𝑖. Lời giải Chọn B Ta có 𝑧 = 3 2𝑖 𝑧 = 3 + 2𝑖. Câu 12: (Nhận biết) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Số phức nào dưới đây là số thuần ảo. A. 𝑧 = 2 + 3𝑖 B. 𝑧 = 3𝑖 C. 𝑧 = 3 + 𝑖 D. 𝑧 = 2 Lời giải Chọn B Số phức 𝑧 được gọi là số thuần ảo nếu phần thực của nó bằng 0. Câu 13: (Thơng hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Tìm hai số thực 𝑥 và 𝑦 thỏa mãn (3𝑥 + 2𝑦𝑖 ) + (2 + 𝑖 ) = 2𝑥 3𝑖 với 𝑖 là đơn vị ảo. A. 𝑥 = 2; 𝑦 = 2. B. 𝑥 = 2; 𝑦 = 1. C. 𝑥 = 2; 𝑦 = 2. D. 𝑥 = 2; 𝑦 = 1. Lời giải: Đáp án A Ta có: (3𝑥 + 2𝑦𝑖 ) + (2 + 𝑖 ) = 2𝑥 3𝑖 𝑥 + 2 + (2𝑦 + 4)𝑖 = 0 𝑥+2 =0 𝑥 = 2 { { 2𝑦 + 4 = 0 𝑦 = 2 Câu 14: (Thông hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Tìm hai số thực 𝑥 và 𝑦 thỏa mãn (3𝑥 + 𝑦𝑖 ) + (4 2𝑖 ) = 5𝑥 + 2𝑖 với 𝑖 là đơn vị ảo. A. 𝑥 = 2; 𝑦 = 4. B. 𝑥 = 2; 𝑦 = 4. C. 𝑥 = 2; 𝑦 = 0. D. 𝑥 = 2; 𝑦 = 0. Lời giải Chọn B 𝟐𝒙 𝟒 = 𝟎 𝒙=𝟐 (𝟑𝒙 + 𝒚𝒊) + (𝟒 𝟐𝒊) = 𝟓𝒙 + 𝟐𝒊 𝟐𝒙 𝟒 + (𝟒 𝒚)𝒊 = 𝟎 { . { 𝟒𝒚= 𝟎 𝒚=𝟒 Câu 15: (Thông hiểu) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Cho hai số phức 𝑧1 = 1 𝑖 và 𝑧2 = 1 + 2𝑖. Trên mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, điểm biểu diễn số phức 3𝑧1 + 𝑧2 có tọa độ là A. (4; 1). B. (1; 4). C. (4; 1). D. (1; 4). Lời giải Chọn A Ta có 3𝑧1 + 𝑧2 = 3(1 𝑖) + 1 + 2𝑖) = 4 𝑖. Câu 16: (Vận dụng) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn 3(𝑧̄ + 𝑖 ) (2 𝑖 )𝑧 = 3 + 10𝑖. Mô đun của 𝑧 bằng A. 3. B. 5. C. 5. D. 3. Lời giải Trang 3 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Chọn C Cách 1: Dùng máy tính cầm tay 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧̄ = 𝑐 𝑐. 𝑎̄ 𝑏𝑐̄ 𝑧= 2 |𝑎| |𝑏|2 3(𝑧̄ + 𝑖 ) (2 𝑖 )𝑧 = 3 + 10𝑖 (2 𝑖 )𝑧 + 3𝑧̄ = 3 + 7𝑖 𝑧 = 2 𝑖 |𝑧| = 5 Cách 2: Gọi 𝑧̄ 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖(𝑥, 𝑦 ) 𝑧̄ = 𝑥 𝑦𝑖 Từ đề bài, ta có phương trình: 49 12 𝑧 = 2 𝑖 |𝑧| = 5. Câu 17: (Vận dụng) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn 3(𝑧̄ 𝑖 ) (2 + 3𝑖 )𝑧 = 7 16𝑖. Môđun của 𝑧 bằng A. 5. B. 5. C. 3. D. 3. Lời giải Chọn A Gọi 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 (𝑥, 𝑦 ) 𝑧̄ = 𝑥 𝑦𝑖. Ta có 3(𝑧̄ 𝑖 ) (2 + 3𝑖 )𝑧 = 7 16𝑖 3(𝑥 𝑦𝑖 𝑖 ) (2 + 3𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖 ) = 7 16𝑖 𝑥 + 3𝑦 = 7 𝑥=1 3𝑥 3𝑦𝑖 3𝑖 2𝑥 2𝑦𝑖 3𝑥𝑖 + 3𝑦 = 7 16𝑖 { { 5𝑦 3 3𝑥 = 16 𝑦=2 Vậy 𝑧 = 1 + 2𝑖 |𝑧| = 5. Câu 18: (Vận dụng) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn (2 + 𝑖 )𝑧 4(𝑧 𝑖 ) = 8 + 19𝑖. Môđun của 𝑧 bằng A. 13. B. 5. C. 𝟏𝟑. D. 5. Lời giải Chọn C Đặt 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ). (2 + 𝑖 )𝑧 4(𝑧 𝑖 ) = 8 + 19𝑖 (2 + 𝑖 )(𝑎 + 𝑏𝑖 ) 4(𝑎 𝑏𝑖 𝑖 ) = 8 + 19𝑖 2𝑎 𝑏 = 8 𝑎=3 (2𝑎 𝑏) + (𝑎 + 6𝑏 + 4)𝑖 = 8 + 19𝑖 { { . 𝑎 + 6𝑏 + 4 = 19 𝑏=2 𝑧 = 3 + 2𝑖 |𝑧| = 13. Câu 19: (Vận dụng) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn (2 𝑖 )𝑧 + 3 + 16𝑖 = 2(𝑧 + 𝑖 ). Môđun của 𝑧 bằng A. 5. B. 13. C. 13. D. 5. Lời giải Chọn C Đặt 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ). Trang 4 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG (2 𝑖 )𝑧 + 3 + 16𝑖 = 2(𝑧 + 𝑖 ) (2 𝑖 )(𝑎 + 𝑏𝑖 ) + 3 + 16𝑖 = 2(𝑎 𝑏𝑖 + 𝑖 ) 2𝑎 + 𝑏 + 3 = 2𝑎 𝑎=2 (2𝑎 + 𝑏 + 3) + (2𝑏 𝑎 + 16)𝑖 = 2𝑎 + (2 2𝑏)𝑖 { { . 𝑏 = 3 2𝑏 𝑎 + 16 = 2 2𝑏 𝑧 = 2 3𝑖 |𝑧| = 13. Câu 20: (Vận dụng cao) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Có bao nhiêu số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧|2 = 2|𝑧 + 𝑧| + 4 và |𝑧 1 𝑖| = |𝑧 3 + 3𝑖|? A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn B Gọi z = x + yi (𝑥; 𝑦 ). 𝑥 2 + 𝑦 2 4𝑥 4 = 0, 𝑥 0 (1) |𝑧|2 = 2|𝑧 + 𝑧| + 4 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4|𝑥| + 4 [ 2 . 𝑥 + 𝑦 2 + 4𝑥 4 = 0, 𝑥 < 0 (2) |𝑧 1 𝑖| = |𝑧 3 + 3𝑖| (𝑥 1)2 + (𝑦 1)2 = (𝑥 3)2 + (𝑦 + 3)2 4𝑥 = 8𝑦 + 16 x = 2 y + 4 (3). + Thay (3) vào (1) ta được: 2 (2𝑦 + 4 )2 24 𝑦 = 5 𝑥 = 5 (𝑛 ) + 𝑦 4(2𝑦 + 4) 4 = 0 5𝑦 + 8𝑦 4 = 0 [ . 𝑦 = 2 𝑥 = 0(𝑛) 2 2 + Thay (3) vào (2) ta được: 𝑦 = 2 𝑥 = 0(𝑙 ) (2𝑦 + 4)2 + 𝑦 2 + 4(2𝑦 + 4) 4 = 0 5𝑦 2 + 24𝑦 + 28 = 0 [ . 14 8 𝑦 = 5 𝑥 = 5 (𝑛 ) Vậy có 3 số phức thỏa điều kiện. Câu 21: (Nhận biết) [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Số phức liên hợp của số phức z = 2 + 5i là A. z = 2 5i . B. z = 2 + 5i . C. z = 2 + 5i . Lời giải D. z = 2 5i . Ta có z = 2 5i . Câu 22: (Nhận biết) [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Phần thực của số phức z = 3 4i bằng A. 3 B. 4 C. 3 Lời giải D. 4 Ta có phần thực của số phức z = 3 4i bằng 3 Biểu diễn hình học cơ bản của số phức Câu 1: (Nhận biết) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Điểm 𝑀 trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức 𝑧. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 𝑧. Trang 5 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG A. Phần thực là4và phần ảo là 3 B. Phần thực là 3 và phần ảo là4𝑖 C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4 D. Phần thực là4và phần ảo là 3𝑖 Lời giải Chọn C Nhắc lại:Trên mặt phẳng phức, số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 được biểu diễn bởi điểm 𝑀(𝑥; 𝑦). Điểm 𝑀 trong hệ trục 𝑂𝑥𝑦 có hồnh độ 𝑥 = 3 và tung độ 𝑦 = 4. Vậy số phức 𝑧 có phần thực là 3 và phần ảo là 4. Câu 2: (Nhận biết) (THPT QG 2017 Mã 105) Cho số phức 𝑧 = 2 3𝑖. Tìm phần thực 𝑎 của 𝑧? A. 𝑎 = 2 B. 𝑎 = 3 C. 𝑎 = 2 D. 𝑎 = 3 Lời giải Chọn A Số phức 𝑧 = 2 3𝑖 có phần thực 𝑎 = 2. Câu 3: (Nhận biết) (THPT QG 2017 Mã 105) Cho hai số phức 𝑧1 = 1 3𝑖 và 𝑧2 = 2 5𝑖. Tìm phần ảo 𝑏 của số phức 𝑧 = 𝑧1 𝑧2 . A. 𝑏 = 2 B. 𝑏 = 3 C. 𝑏 = 3 D. 𝑏 = 2 Lời giải Chọn D Ta có 𝑧 = 𝑧1 𝑧2 = 3 + 2𝑖 𝑏 = 2 Câu 4: (Nhận biết) (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Điểm 1 trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. 𝑧 = 2 + 𝑖. B. 𝑧 = 1 2𝑖. Trang 6 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG C. 𝑧 = 2 𝑖. D. 𝑧 = 1 + 2𝑖. Lời giải Chọn A Điểm 𝑀(2; 1) biểu diễn số phức 𝑧 = 2 + 𝑖. Câu 5: (Nhận biết) (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 110) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm 𝑀 như hình bên. A. 𝑧1 = 1 2𝑖 B. 𝑧1 = 1 + 2𝑖 C. 𝑧1 = 2 + 𝑖 D. 𝑧1 = 2 + 𝑖 Lời giải Chọn C Điểm 𝑀(2; 1) là điểm biểu diễn số phức 𝑧1 = 2 + 𝑖 Câu 6: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Cho hai số phức 𝑧1 = 1 + 𝑖 và 𝑧2 = 2 + 𝑖. Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 điểm biểu diễn của số phức 𝑧1 + 2𝑧2 có tọa độ là A. (2; 5). B. (3; 5). C. (5; 2). D. (5; 3). Lời giải Chọn D Ta có: 𝑧1 + 2𝑧2 = 1 + 𝑖 + 2(2 + 𝑖 ) = 5 + 3𝑖 Điểm biểu diễn của số phức 𝑧1 + 2𝑧2 có tọa độ là (5; 3). Câu 7: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Cho hai số phức 𝑧1 = 2 𝑖 và 𝑧2 = 1 + 𝑖. Trên mặt phẳng toạ độ 𝑂𝑥𝑦, điểm biểu diễn của số phức 2𝑧1 + 𝑧2 có toạ độ là A. (5; 1). B. (1; 5). C. (5; 0). D. (0; 5). Lời giải Chọn A Ta có 2𝑧1 = 4 2𝑖 } 2𝑧1 + 𝑧2 = 5 𝑖, số phức này điểm biểu diễn có toạ độ là (5; 1). 𝑧2 = 1 + 𝑖 Câu 8: (Nhận biết) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức 𝑧 = 1 + 2𝑖? Trang 7 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG y Q 2 1 N 2 1 O 1 2 x M P A. 𝑁. B. 𝑃. C. 𝑀. D. 𝑄. Lời giải Chọn D Số phức 𝑧 = 1 + 2𝑖 có điểm biểu diễn là điểm 𝑄 (1; 2). Câu 9: (Nhận biết) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Cho số phước 𝑧 = 1 2𝑖. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức 𝑤 = 𝑖𝑧 trên mặt phẳng tọa độ A. 𝑁(2; 1) B. 𝑃(2; 1) C. 𝑀(1; 2) D. 𝑄 (1; 2) Lời giải Chọn A 𝑤 = 𝑖𝑧 = 𝑖 (1 2𝑖 ) = 2 + 𝑖 Câu 10: (Thông hiểu) (Đề tham khảo BGD 2017) Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn củasố phức z (như hình vẽ bên). Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức 2𝑧? A. Điểm N B. Điểm Q C. Điểm E D. Điểm P y Q M E x O N P Lời giải Chọn C Gọi z = a + bi ( a, b ) . Điểm biểu diễn của z là điểm M ( a; b ) 2 z = 2 a + 2bi có điểm biểu diễn trên mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 là M 1 ( 2a; 2b ) . Ta có OM 1 = 2OM suy ra M 1 E . Câu 11: (Thông hiểu) (THPT QG 2017 Mã 105) Tìm tất cả các số thực 𝑥, 𝑦 sao cho 𝑥 2 1 + 𝑦𝑖 = 1 + 2𝑖. Trang 8 A. 𝑥 = 2, 𝑦 = 2 B. 𝑥 = 2, 𝑦 = 2 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG D. 𝑥 = 2, 𝑦 = 2 C. 𝑥 = 0, 𝑦 = 2 Lời giải Chọn C 𝑥=0 𝑥 2 1 = 1 Từ 𝑥 2 1 + 𝑦𝑖 = 1 + 2𝑖 { { 𝑦=2 𝑦=2 Câu 12: (Thông hiểu) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Cho hai số phức 𝑧1 = 2 + 𝑖 và 𝑧2 = 1 + 𝑖. Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 điểm biểu diễn số phức 2𝑧1 + 𝑧2 có tọa độ là A. (3; 3). B. (2; 3). C. (3; 3). D. (3; 2). Lời giải Chọn C 2𝑧1 + 𝑧2 = 2(2 + 𝑖 ) + 1 + 𝑖 = 3 + 3𝑖. Vậy điểm biểu diễn số phức 2𝑧1 + 𝑧2 có tọa độ là (3; 3). Câu 13: (Thơng hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Trên mặt phẳng tọa độ, biết M ( 1;3 ) là điểm biểu diễn của số phức z . Phần thực của z bằng B. 1 . C. 3 . Lời giải Ta có: M ( 1;3) là điểm biểu diễn của số phức z . Phần thực của A. 3 . D. 1 . z bằng 1 Câu 14: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là biểu diễn số phức z = 3 + 4i ? : A. N (3; 4) . C. P ( 3; 4) B. M (4;3) . D. Q (4; 3) . Lời giải Ta có. z = 3 + 4i có phần thực là 3 , phần ảo là 4 P ( 3; 4) là biểu diễn số phức z . Câu 15: (Thông hiểu) [Đề-BGD-2020-Mã-101] Gọi z 0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 + 6 z + 13 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1 z 0 là A. N ( 2; 2 ) . C. P ( 4; 2 ) . B. M ( 4; 2 ) . D. Q ( 2; 2 ) . Lời giải z = 3 + 2i 2 z0 = 3 + 2i . Ta có z + 6 z + 13 = 0 z = 3 2i 1 z0 = 1 ( 3 + 2i ) = 4 2i . Vậy điểm biểu diễn số phức 1 z0 là P ( 4; 2 ) . Thực hiện phép tính cộng, trừ, nhân số phức Câu 1: (Nhận biết) (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức 𝑧 = 2 + 5𝑖. Tìm số phức 𝑤 = 𝑖𝑧 + 𝑧 A. 𝑤 = 7 3𝑖. B. 𝑤 = 3 3𝑖. C. 𝑤 = 3 + 7𝑖.. D. 𝑤 = 7 7𝑖 Trang 9 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Lời giải Chọn B Ta có 𝑤 = 𝑖𝑧 + 𝑧 = 𝑖(2 + 5𝑖) + (2 5𝑖) = 2𝑖 5 + 2 5𝑖 = 3 3𝑖 Câu 2: (Nhận biết) (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 110) Cho hai số phức 𝑧1 = 4 3𝑖 và 𝑧2 = 7 + 3𝑖. Tìm số phức 𝑧 = 𝑧1 𝑧2 . A. 𝑧 = 3 + 6𝑖 B. 𝑧 = 11 C. 𝑧 = 1 10𝑖 D. 𝑧 = 3 6𝑖 Lời giải Chọn D Ta có 𝑧 = 𝑧1 𝑧2 = (4 3𝑖 ) (7 + 3𝑖 ) = 3 6𝑖. Câu 3: (Nhận biết) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Cho 2 số phức 𝑧1 = 5 7𝑖 và 𝑧2 = 2 + 3𝑖. Tìm số phức 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 . A. 𝑧 = 7 4𝑖 B. 𝑧 = 2 + 5𝑖 C. 𝑧 = 3 10𝑖 D. 14 Lời giải Chọn A 𝑧 = 5 7𝑖 + 2 + 3𝑖 = 7 4𝑖. Câu 4: (Thông hiểu) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Kí hiệu 𝑧0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4𝑧 2 16𝑧 + 17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức 𝑤 = 𝑖𝑧0 ? 1 1 A. 𝑀1 (2 ; 2). 1 B. 𝑀2 ( 2 ; 2). 1 C. 𝑀3 ( 4 ; 1). D. 𝑀4 (4 ; 1). Lời giải Chọn B Xét phương trình 4𝑧 2 16𝑧 + 17 = 0 có 𝛥 = 64 4.17 = 4 = (2𝑖 )2. Phương trình có hai nghiệm 𝑧1 = 82𝑖 4 1 = 2 2 𝑖, 𝑧2 = 8+2𝑖 4 1 = 2 + 2 𝑖. 1 Do 𝑧0 là nghiệm phức có phần ảo dương nên 𝑧0 = 2 + 2 𝑖. 1 Ta có 𝑤 = 𝑖𝑧0 = 2 + 2𝑖. 1 Vậy điểm biểu diễn 𝑤 = 𝑖𝑧0 là 𝑀2 ( 2 ; 2). Câu 5: (Thông hiểu) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Tìm số phức liên hợp của số phức 𝑧 = 𝑖 (3𝑖 + 1). A. 𝑧̄ = 3 𝑖. B. 𝒛̄ = 𝟑 + 𝒊. C. 𝒛̄ = 𝟑 + 𝒊. D. 𝒛̄ = 𝟑 𝒊. Trang 10 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Lời giải Chọn D 𝑧 = 𝑖(3𝑖 + 1) = 3 + 𝑖nên suy ra 𝑧 = 3 𝑖. Câu 6: (Thơng hiểu) (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 104) Tìm số phức 𝑧 thỏa mãn 𝑧 + 2 3𝑖 = 3 2𝑖. A. 𝒛 = 𝟏 𝟓𝒊. B. 𝑧 = 1 + 𝑖. C. 𝒛 = 𝟓 𝟓𝒊. D. 𝒛 = 𝟏 𝒊. Lời giải Chọn B 𝑧 + 2 3𝑖 = 3 2𝑖 𝑧 = 3 2𝑖 2 + 3𝑖 = 1 + 𝑖. Câu 7: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Cho hai số phức z1 = 3 + 2i và z2 = 2 i . Số phức z1 + z2 bằng A. 5 i . B. 5 + i . C. 5 i . Lời giải D. 5 + i . Áp dụng phép cộng số phức ta có z1 + z2 = 5 + i Câu 8: (Thơng hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] A. 4 7i . B. 4 + 7i Ta có: ( 2 + 3i ) z = ( 2 + 3i )(1 + 2i ) = 4 + 7i . Câu 9: Cho số phức z = 1 2i , số phức ( 2 + 3i ) z bằng C. 8 + i . Lời giải D. 8 + i . (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Cho hai số phức z = 2 + 2i và w = 2 + i . Mô đun của số phức z w bằng A. 40 . B. 8 . C. 2 2 . Lời giải D. 2 10 . w = 2+i w = 2i . z w = ( 2 + 2i )( 2 i ) = 6 + 2i . Vậy z w = 6 + 2i = 2 10 . Xác định các yếu tố cơ bản của số phức qua các phép toán Câu 1: (Nhận biết) (THPT QG 2017 Mã 105) Kí hiệu 𝑧1 , 𝑧2 là hai nghiệm phức của phương trình 1 1 1 2 𝑧 2 𝑧 + 6 = 0. Tính 𝑃 = 𝑧 + 𝑧 . A. 1 12 B. 1 6 1 C. 6 D. 6 Lời giải Chọn B 𝑧 + 𝑧2 = 1 1 1 𝑧 +𝑧 1 Theo định lí Vi-et, ta có { 1 nên 𝑃 = 𝑧 + 𝑧 = 𝑧1 .𝑧 2 = 6 𝑧1 𝑧2 = 6 1 2 1 2 Trang 11 Câu 2: Tài Liệu Luyện Thi THPTQG (Thông hiểu) (Đề Minh Họa 2017) Cho hai số phức 𝑧1 = 1 + 𝑖 và 𝑧2 = 2 3𝑖. Tính mơđun của số phức𝑧1 + 𝑧2 . A. |𝑧1 + 𝑧2 | = 13. B. |𝑧1 + 𝑧2 | = 5. C. |𝑧1 + 𝑧2 | = 1. D. |𝑧1 + 𝑧2 | = 5. Lời giải Chọn A 𝑧1 + 𝑧2 = 1 + 𝑖 + (2 3𝑖 ) = 3 2𝑖 nên ta có: |𝑧1 + 𝑧2 | = |3 2𝑖| = 32 + 22 = 13. Câu 3: (Thơng hiểu) (Đề tham khảo BGD 2017) Tính mơđun của số phức 𝑧 biết 𝑧̄ = (4 3𝑖 )(1 + 𝑖 ). A. |𝑧| = 252 B. |𝑧| = 72 C. |𝑧| = 52 D. |𝑧| = 2 Lời giải Chọn C 𝑧̄ = (4 3𝑖 )(1 + 𝑖 ) = 7 + 𝑖 𝑧 = 7 𝑖 |𝑧| = 52 Câu 4: (Thơng hiểu) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Tính mơđun của số phức 𝑧 thỏa mãn 𝑧(2 𝑖 ) + 13𝑖 = 1. A. |𝑧| = 34 B. |𝑧| = 34 C. |𝑧| = 534 3 D. |𝑧| = 34 3 Lời giải Chọn A 𝑧(2 𝑖 ) + 13𝑖 = 1 𝑧 = Câu 5: 113𝑖 2𝑖 𝑧= (113𝑖)(2+𝑖) (2𝑖)(2+𝑖) 𝑧 = 3 5𝑖. |𝑧| = 32 + (5)2 = 34. (Thông hiểu) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Cho số phức z = a + bi ( a, b (1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i. 𝟏 A. 𝑷 = 𝟐 ) thỏa mãn Tính P = a + b . B. 𝑷 = 𝟏 C. 𝑷 = 𝟏 𝟏 D. 𝑷 = 𝟐 Lời giải Chọn C (1 + 𝑖 )𝑧 + 2𝑧̄ = 3 + 2𝑖. (1). Ta có: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑧 = 𝑎 𝑏𝑖. Thay vào (1) ta được (1 + 𝑖 )(𝑎 + 𝑏𝑖 ) + 2(𝑎 𝑏𝑖 ) = 3 + 2𝑖 (𝑎 𝑏)𝑖 + (3𝑎 𝑏) = 3 + 2𝑖 (𝑎 𝑏)𝑖 + (3𝑎 𝑏) = 3 + 2𝑖 1 𝑎= 𝑎𝑏=2 2 𝑃 = 1. { { 3 3𝑎 𝑏 = 3 𝑏= 2 Câu 6: (Thơng hiểu) (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 104) Cho số phức 𝑧1 = 1 2𝑖, 𝑧2 = 3 + 𝑖. Tìm điểm biểu diễn của số phức 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 trên mặt phẳng tọa độ. Trang 12 A. 𝑁(4; 3) B. 𝑀(2; 5) C. 𝑃(2; 1) Tài Liệu Luyện Thi THPTQG D. 𝑄 (1; 7) Lời giải Chọn C 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 = 2 𝑖. Câu 7: (Thơng hiểu) (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 110) Cho số phức 𝑧 = 1 𝑖 + 𝑖 3. Tìm phần thực 𝑎 và phần ảo 𝑏 của 𝑧. A. 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 B. 𝑎 = 2, 𝑏 = 1 C. 𝑎 = 1, 𝑏 = 0 D. 𝑎 = 0, 𝑏 = 1 Lời giải Chọn A Ta có: 𝑧 = 1 𝑖 + 𝑖 3 = 1 𝑖 + 𝑖 2 . 𝑖 = 1 𝑖 𝑖 = 1 2𝑖 (vì 𝑖 2 = 1) Suy ra phần thực của 𝑧 là 𝑎 = 1, phần ảo của 𝑧 là 𝑏 = 2. Câu 8: (Thơng hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Tìm hai số thực 𝑥 và 𝑦 thỏa mãn (2𝑥 3𝑦𝑖 ) + (1 3𝑖 ) = 𝑥 + 6𝑖 với 𝑖 là đơn vị ảo. A. 𝒙 = 𝟏; 𝑦 = 3. B. 𝒙 = 𝟏; 𝑦 = 1. C. 𝒙 = 𝟏; 𝑦 = 1. D. 𝒙 = 𝟏; 𝑦 = 3. Lời giải Chọn A Ta có: (2𝑥 3𝑦𝑖 ) + (1 3𝑖 ) = 𝑥 + 6𝑖 𝑥 + 1 (3𝑦 + 9)𝑖 = 0. 𝑥+1=0 𝑥 = 1 { { . 3𝑦 + 9 = 0 𝑦 = 3 Câu 9: (Thông hiểu) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Tìm các số thực 𝑎 và 𝑏 thỏa mãn 2𝑎 + (𝑏 + 𝑖 )𝑖 = 1 + 2𝑖 với 𝑖 là đơn vị ảo. A. 𝑎 = 0, 𝑏 = 2. 1 B. 𝑎 = 2 , 𝑏 = 1. C. 𝑎 = 0, 𝑏 = 1. D. 𝑎 = 1, 𝑏 = 2. Lời giải Chọn D 2a 1 = 1 𝑎=1 Ta có 2𝑎 + (𝑏 + 𝑖 )𝑖 = 1 + 2𝑖 (2𝑎 1) + 𝑏𝑖 = 1 + 2𝑖 { . 𝑏=2 b = 2 Câu 10: (Vận dụng) (Đề tham khảo BGD 2017) Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện |𝑧 𝑖| = 5 và 𝑧 2 là số thuần ảo? A. 𝟐 B. 𝟑 C. 𝟒 D. 𝟎 Lời giải Chọn C Giả sử 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑧 2 = 𝑎2 𝑏2 + 2𝑎𝑏𝑖 Trang 13 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG 2 Vì |𝑧 𝑖| = 5 và 𝑧 là số thuần ảo ta có hệ phương trình 𝑎=𝑏 𝑎=𝑏=4 { 2 { 𝑏 + (𝑏 1)2 = 25 𝑎 + (𝑏 1) = 25 { 2 [ [ 𝑎 = 𝑏 = 3 2 𝑎 = 𝑏 𝑏 = 𝑎 = 4 𝑎 𝑏 =0 { { 2 2 𝑏 + (𝑏 1) = 25 𝑏 = 𝑎 = 3 2 Câu 11: 2 (Vận dụng) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Cho số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, (𝑎, 𝑏 )thỏa mãn 𝑧 + 1 + 3𝑖 |𝑧|𝑖 = 0.Tính 𝑆 = 𝑎 + 3𝑏. A. 𝑆 = 5 7 B. 𝑆 = 3 C. 𝑆 = 5 7 D. 𝑆 = 3 Lời giải Chọn C 𝑎+1 =0 Ta có: 𝑧 + 1 + 3𝑖 |𝑧|𝑖 = 0 𝑎 + 𝑏𝑖 + 1 + 3𝑖 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 = 0 { 𝑏 + 3 𝑎2 + 𝑏2 = 0 𝑎 = 1 {𝑏 = 4 3 𝑆 = 𝑎 + 3𝑏 = 5. Câu 12: (Vận dụng cao) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Có bao nhiêu số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧|(𝑧 3 𝑖 ) + 2𝑖 = (4 𝑖 )𝑧? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Lời giải Chọn B Ta có |𝑧|(𝑧 3 𝑖 ) + 2𝑖 = (4 𝑖 )𝑧 𝑧(5 |𝑧| 𝑖 ) = 4|𝑧| + (2 |𝑧|)𝑖. Đặt |𝑧| = 𝑡 0, 𝑡 . Lấy môđun hai vế ta được: 𝑡|5 𝑡 𝑖| = |4𝑡 + (2 𝑡)𝑖| 𝑡(5 𝑡)2 + 1 = 16𝑡 2 + (2 𝑡)2 𝑡=1 𝑡 8,95 𝑡 4 10𝑡 3 + 9𝑡 2 + 4𝑡 4 = 0 (𝑡 1)(𝑡 3 9𝑡 2 + 4) = 0 [ . 𝑡 0,69 𝑡 0,64 Do 𝑡 0 nên 𝑡 có 3 giá trị thỏa mãn. Ứng với mỗi 𝑡 0 ta được 𝑧 = 4𝑡+(2𝑡)𝑖 5𝑡𝑖 nên có duy nhất 1 số phức thỏa mãn. Vậy có ba số phức thỏa mãn. Câu 13: (Vận dụng cao) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Có bao nhiêu số phức thỏa mãn |𝑧|(𝑧 6 𝑖 ) + 2𝑖 = (7 𝑖 )𝑧? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn B Đặt |𝑧| = 𝑎 0, 𝑎 , khi đó ta có Trang 14 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG |𝑧|(𝑧 6 𝑖 ) + 2𝑖 = (7 𝑖 )𝑧 𝑎(𝑧 6 𝑖 ) + 2𝑖 = (7 𝑖 )𝑧 (𝑎 7 + 𝑖 )𝑧 = 6𝑎 + 𝑎𝑖 2𝑖 (𝑎 7 + 𝑖 )𝑧 = 6𝑎 + (𝑎 2)𝑖 |(𝑎 7 + 𝑖 )||𝑧| = |6𝑎 + (𝑎 2)𝑖| [(𝑎 7)2 + 1]𝑎2 = 36𝑎2 + (𝑎 2)2 𝑎4 14𝑎3 + 13𝑎2 + 4𝑎 4 = 0 𝑎=1 (𝑎 1)(𝑎3 13𝑎2 + 4) = 0 [ 3 𝑎 12𝑎2 + 4 = 0 Xét hàm số 𝑓 (𝑎) = 𝑎3 13𝑎2 (𝑎 0), có bảng biến thiên là Đường thẳng 𝑦 = 4 cắt đồ thị hàm số 𝑓(𝑎) tại hai điểm nên phương trình 𝑎3 12𝑎2 + 4 = 0 có hai nghiệm khác 1 (do 𝑓 (1) 0). Thay giá trị môđun của 𝑧 vào kiểm tra đều được kết quả đúng. Vậy có 3 số phức thỏa mãn điều kiện. Bài tốn quy về giải phương trình, hệ phương trình nghiệm thực Câu 1: (Thơng hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Tìm hai số thực 𝑥 và 𝑦 thỏa mãn (2𝑥 3𝑦𝑖 ) + (3 𝑖 ) = 5𝑥 4𝑖 với 𝑖 là đơn vị ảo. A. 𝑥 = 1; 𝑦 = 1. B. 𝑥 = 1; 𝑦 = 1. C. 𝑥 = 1; 𝑦 = 1. D. 𝑥 = 1; 𝑦 = 1. Lời giải Chọn D 2𝑥 + 3 = 5𝑥 𝑥=1 (2𝑥 3𝑦𝑖 ) + (3 𝑖 ) = 5𝑥 4𝑖 (2𝑥 + 3) (3𝑦 + 1)𝑖 = 5𝑥 4𝑖 { { 3𝑦 + 1 = 4 𝑦=1 Câu 2: (Vận dụng) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn (1 + 2𝑖 )|𝑧| = 10 2 + 𝑖. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 𝑧 3 A. 2 < |𝑧| < 2. 1 B. |𝑧| > 2. C. |𝑧| < 2. 1 3 D. 2 < |𝑧| < 2. Lời giải Chọn D Ta có z 1 = 1 z 2 z. 10 10 Vậy (1 + 2𝑖)|𝑧| = 𝑧 2 + 𝑖 (|𝑧| + 2) + (2|𝑧| 1)𝑖 = ( |𝑧|2) . 𝑧 |(|𝑧| + 2) + (2|𝑧| 1)𝑖| = |(102 ) . 𝑧| |𝑧| 10 10 (|𝑧| + 2)2 + (2|𝑧| 1)2 = (|𝑧|4) . |𝑧|2 = |𝑧|2 . Đặt |𝑧| = 𝑎 > 0. Trang 15 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG 2 10 𝑎 = 1 (𝑎 + 2)2 + (2𝑎 1)2 = ( 2 ) 𝑎4 + 𝑎2 2 = 0 [ 2 𝑎 = 1 |𝑧| = 1. 𝑎 𝑎 = 2 Câu 3: (Vận dụng) (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 104) Cho số phức z thỏa mãn | z |= 5 và | z + 3 |=| z + 3 10i | . Tìm số phức w = z 4 + 3i. A. 𝒘 = 𝟑 + 𝟖𝒊. B. 𝒘 = 𝟏 + 𝟑𝒊. C. 𝒘 = 𝟏 + 𝟕𝒊. D. 𝒘 = 𝟒 + 𝟖𝒊. Lời giải Chọn D 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, (𝑥, 𝑦 ). Theo đề bài ta có 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 và (𝑥 + 3)2 + 𝑦 2 = (𝑥 + 3)2 + (𝑦 10)2. Giải hệ phương trình trên ta được 𝑥 = 0; 𝑦 = 5. Vậy 𝑧 = 5𝑖. Từ đó ta có 𝑤 = 4 + 8𝑖. Câu 4: (Vận dụng) (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 110) Cho số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ) thoả mãn 𝑧 + 2 + 𝑖 = |𝑧|. Tính 𝑆 = 4𝑎 + 𝑏. A. 𝑆 = 4 B. 𝑆 = 2 C. 𝑆 = 2 D. 𝑆 = 4 Lời giải Chọn D 2 2 Ta có 𝑧 + 2 + 𝑖 = |𝑧| (𝑎 + 2) + (𝑏 + 1)𝑖 = 𝑎2 + 𝑏2 {𝑎 + 2 = 𝑎 + 𝑏 , 𝑎 2 𝑏+1 =0 3 𝑏 = 1 𝑎 = 4 {( { 𝑆 = 4𝑎 + 𝑏 = 4. 𝑎 + 2 )2 = 𝑎 2 + 1 𝑏 = 1 Câu 5: (Vận dụng) (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 110) Có bao nhiêu số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧 + 2 𝑖| = 22 và (𝑧 1)2 là số thuần ảo. A. 0 B. 2 C. 4 D. 3 Lời giải Chọn D Gọi số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 với (𝑥, 𝑦 ), vì (𝑧 1)2 = (𝑥 1)2 𝑦 2 + 2(𝑥 1)𝑦𝑖 là số thuần ảo nên theo đề bài ta có HPT { (𝑥 + 2 )2 + (𝑦 1 )2 = 8 (𝑥 1 )2 = 𝑦 2 Với 𝑦 = 𝑥 1, thay vào phương trình đầu, ta được (𝑥 + 2)2 + (𝑥 2)2 = 8 𝑥 2 = 0 𝑥 = 0. Với 𝑥 = 32, thay vào phương trình đầu, ra được (𝑥 + 2)2 + (𝑥 )2 = 8 2𝑥 2 + 4𝑥 4 = 0 𝑥 = 1 ± 3. Vậy có 3 số phức thỏa mãn. Câu 6: (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Có bao nhiêu số phức 𝑧 thoả mãn |𝑧|(𝑧 4 𝑖 ) + 2𝑖 = (5 𝑖 )𝑧. A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Trang 16 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Hướng dẫn giải Chọn B Ta có |𝑧|(𝑧 4 𝑖 ) + 2𝑖 = (5 𝑖 )𝑧 𝑧(|𝑧| 5 + 𝑖 ) = 4|𝑧| + (|𝑧| 2)𝑖. Lấy mơđun 2 vế phương trình trên ta được |𝑧|(|𝑧| 5)2 + 1 = (4|𝑧|)2 + (|𝑧| 2)2 . Đặt 𝑡 = |𝑧|, 𝑡 0 ta được 𝑡(𝑡 5)2 + 1 = (4𝑡)2 + (𝑡 2)2 (𝑡 1)(𝑡 3 9𝑡 2 + 4) = 0. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt 𝑡 0 vậy có 3 số phức z thoả mãn. Câu 7: (Vận dụng cao) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Có bao nhiêu số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧|(𝑧 5 𝑖 ) + 2𝑖 = (6 𝑖 )𝑧? A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có |𝑧|(𝑧 5 𝑖 ) + 2𝑖 = (6 𝑖 )𝑧 (|𝑧| 6 + 𝑖 )𝑧 = 5|𝑧| + (|𝑧| 2)𝑖 (1) Lây môđun hai vế của (1) ta có: (|𝑧| 6)2 + 1. |𝑧| = 25|𝑧|2 + (|𝑧| 2)2 Bình phương và rút gọn ta được: |𝑧|4 12|𝑧|3 + 11|𝑧|2 + 4|𝑧| 4 = 0 (|𝑧| 1)(|𝑧|3 11|𝑧|2 + 4) = 0 |𝑧| = 1 |𝑧| = 1 |𝑧| = 10,9667. . . [ 3 [ 2 |𝑧| = 0,62. . . |𝑧| 11|𝑧| + 4 = 0 |𝑧| = 0,587. . . Do |𝑧| 0, nên ta có |𝑧| = 1, |𝑧| = 10,9667. .., |𝑧| = 0,62. ... Thay vào (1) ta có 3 số phức thỏa mãn đề bài. Bài toán tập hợp điểm số phức Câu 1: (Vận dụng) (Đề Minh Họa 2017) Cho các số phức 𝑧 thỏa mãn|𝑧| = 4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức𝑤 = (3 + 4𝑖)𝑧 + 𝑖 là một đường trịn. Tính bán kính 𝑟 của đường trịn đó A. 𝒓 = 𝟒 B. 𝒓 = 𝟓 C. 𝒓 = 𝟐𝟎 D. 𝒓 = 𝟐𝟐 Lời giải Chọn C Giả sử z = a + bi ; w = x + yi ; ( a , b, x, y ) Theo đề w = ( 3 + 4i ) z + i x + yi = ( 3 + 4i )( a + bi ) + i Trang 17 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG x = 3 a 4 b x = 3 a 4 b Ta có x + yi = ( 3a 4b ) + ( 3b + 4a + 1) i y = 3 b + 4 a + 1 y 1 = 3 b + 4 a ( x 2 + ( y 1) = ( 3a 4b ) + ( 4 a + 3b ) = 25a 2 + 25b 2 = 25 a 2 + b 2 2 2 2 ) Mà z = 4 a 2 + b 2 = 16 . Vậy x 2 + ( y 1) = 25.16 = 400 2 Bán kính đườ ng tròn là r = 400 = 20 . Câu 2: (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Xét các điểm số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧 + 𝑖 )(𝑧 + 2) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tạo độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức 𝑧 là một đường trịn có bán kính bằng 𝟓 A. 𝟏. B. 𝟒. C. 𝟓 𝟐 . D. 𝟑 𝟐 . Lời giải Chọn C Gọi z = a + bi (𝑎, 𝑏 ). Ta có: (𝑧 + 𝑖 )(𝑧 + 2) = (𝑎 𝑏𝑖 + 𝑖 )(𝑎 + 𝑏𝑖 + 2) = (𝑎2 + 2𝑎 + 𝑏2 𝑏) + (𝑎 2𝑏 + 2)𝑖 1 2 5 Vì (𝑧 + 𝑖 )(𝑧 + 2) là số thuần ảo nên ta có: 𝑎2 + 2𝑎 + 𝑏2 𝑏 = 0 (𝑎 + 1)2 + (𝑏 2) = 4. Trên mặt phẳng tạo độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức 𝑧 là một đường trịn có bán kính bằng Câu 3: 𝟓 𝟐 . (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Xét các số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧 + 3𝑖 )(𝑧 3) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức 𝑧 là một đường trịn có bán kính bằng 9 A. 2. B. 32. C. 3. D. 32 2 . Lời giải Chọn D Gọi 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 𝑧̄ = 𝑥 𝑦𝑖. Ta có: (𝑧 + 3𝑖)(𝑧 3) = 𝑥 2 + 𝑦 2 3𝑥 3𝑦 + (3𝑥 + 3𝑦 9)𝑖. 3 2 3 2 9 Để (𝑧 + 3𝑖 )(𝑧 3) là số thuần ảo thì 𝑥 2 + 𝑦 2 3𝑥 3𝑦 = 0 (𝑥 2) + (𝑦 2) = 2. Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức 𝑧 thoả mãn điều kiện trên là một đường trịn có bán kính bằng Câu 4: 32 2 . (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Xét các số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧̄ + 2𝑖 )(𝑧 2) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức 𝑧 là một đường trịn có bán kính bằng A. 2. B. 22. C. 4. D. 2. Lời giải Trang 18 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Chọn D Giả sử 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 với 𝑥, 𝑦 . Vì ( z + 2i )( z 2 ) = x + ( 2 y ) i ( x 2 ) + yi = [𝑥(𝑥 2) 𝑦(2 𝑦)] + [𝑥𝑦 + (𝑥 2)(2 𝑦)]𝑖 là số thuần ảo nên có phần thực bằng khơng do đó 𝑥(𝑥 2) 𝑦(2 𝑦) = 0 (𝑥 1)2 + (𝑦 1)2 = 2. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức 𝑧 là một đường trịn có bán kính bằng 2. Câu 5: (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Xét các số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧 2𝑖 )(𝑧 + 2) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức 𝑧 là một đường trịn có bán kính bằng? A. 22. B. 2. C. 2. D. 4. Lời giải Chọn B Gọi 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 Ta có: (𝑧 2𝑖)(𝑧 + 2) = (𝑎 𝑏𝑖 2𝑖 )(𝑎 + 𝑏𝑖 + 2) = 𝑎2 + 2𝑎 + 𝑏2 + 2𝑏 2(𝑎 + 𝑏 + 2)𝑖 Vì (𝑧 2𝑖 )(𝑧 + 2) là số thuần ảo nên ta có 𝑎2 + 2𝑎 + 𝑏2 + 2𝑏 = 0 (𝑎 + 1)2 + (𝑏 + 1)2 = 2. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức 𝑧 là một đường trịn có bán kính bằng 2. Câu 6: (Vận dụng) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Xét các số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧 + 2𝑖 )(𝑧 + 2) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của 𝑧 là một đường tròn, tâm của đường trịn đó có tọa độ là A. (1; 1). B. (1; 1). C. (1; 1). D. (1; 1). Lời giải Chọn D Gọi 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, (𝑥, 𝑦 ). Điểm biểu diễn cho 𝑧 là 𝑀(𝑥; 𝑦). Ta có: (𝑧 + 2𝑖)(𝑧 + 2) = (𝑥 + 𝑦𝑖 + 2𝑖 )(𝑥 𝑦𝑖 + 2) = 𝑥(𝑥 + 2) + 𝑦(𝑦 + 2) + 𝑖 [(𝑥 2)(𝑦 + 2) 𝑥𝑦]là số thuần ảo 𝑥 (𝑥 + 2 ) + 𝑦 (𝑦 + 2 ) = 0 (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 2. Vậy tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của 𝑧 là một đường trịn có tâm 𝐼(1; 1). Câu 7: (Vận dụng cao) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Xét các số phức 𝑧thỏa mãn |𝑧| = 2. Trên mặt phẳng tọa độ Ox𝑦, tập hợp điểm biểu diễn các số phức 𝑤 = 3+𝑖𝑧 1+𝑧 là một đường trịn có bán kính bằng Trang 19 A. 23 B. 12 C. 20 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG D. 25 Lời giải Chọn D Ta có 𝑤 = 3+𝑖𝑧 1+𝑧 𝑤 (1 + 𝑧) = 3 + 𝑖𝑧 𝑤 3 = (𝑖 𝑤)𝑧 𝑧 = 𝑤3 𝑖𝑤 (do 𝑤 = 𝑖không thỏa mãn) Thay 𝑧 = 𝑤3 | 𝑖𝑤 𝑤3 𝑖𝑤 vào |𝑧| = 2 ta được: | = 2 |𝑤 3| = 2|𝑖 𝑤|(). Đặt 𝑤 = 𝑥 + 𝑦𝑖, ta được: () (𝑥 3)2 + 𝑦 2 = 2[𝑥 2 + (1 𝑦)2 ] 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 4𝑦 7 = 0. Đây là đường trịn có Tâm là 𝐼(3; 2), bán kính 𝑅 = 20 = 25. Câu 8: (Vận dụng cao) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Xét các số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧| = 2. Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, tập hợp điểm biểu diễn các số phức 𝑤 = 5+𝑖𝑧 1+𝑧 là một đường trịn có bán kính bằng A. 52. B. 213. C. 211. D. 44. Lời giải Chọn B Gọi 𝑤 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑥, 𝑦 . Ta có: 𝑤 = 5+𝑖𝑧 1+𝑧 5𝑤 𝑧= 5𝑤 𝑤𝑖 nên: |𝑧| = | 𝑤𝑖 | = 2 |5 𝑤| = 2|𝑤 𝑖| (5 𝑥 )2 + 𝑦 2 = 2[𝑥 2 + (𝑦 1)2 ] 𝑥 2 + 𝑦 2 + 10𝑥 4𝑦 23 = 0 Vậy bán kính đường tròn biểu diễn cho 𝑤 là: 𝑟 = 25 + 4 + 23 = 213. Phép chia số phức Câu 1: (Thông hiểu) (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn (1 + 𝑖)𝑧 = 3 𝑖. Hỏi điểm biểu diễn của𝑧là điểm nào trong các điểm 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄 ở hình bên? A. Điểm 𝑃 B. Điểm 𝑄 C. Điểm 𝑀 D. Điểm 𝑁 Lời giải Chọn B Trang 20 (1 + i ) z = 3 i z = Câu 2: Tài Liệu Luyện Thi THPTQG ( 3 i )(1 i ) 3i 2 4i = = = 1 2i .Vậy điểm biểu diễn của z là Q (1; 2 ) . 1 + i (1 + i )(1 i ) 2 (Vận dụng cao) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Có bao nhiêu số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧 3𝑖| = 5 và 𝑧 𝑧4 là số thuần ảo? A. 0 B. 2 C. Vô số D. 1 Lời giải Chọn D Đặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 (𝑥, 𝑦 ). Điều kiện 𝑧 4 |𝑧 3𝑖| = 5 |𝑥 + (𝑦 3)𝑖| = 5 𝑥 2 + (𝑦 3)2 = 25 𝑥 2 + 𝑦 2 6𝑦 = 16(1) Do 𝑧 𝑥+𝑦𝑖 = (𝑥4)+𝑦𝑖 là số thuần ảo nên phần thực 𝑧4 𝑥(𝑥4)+𝑦 2 (𝑥4)2 +𝑦 2 = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 4𝑥 = 0(2) 3 Từ (1)và (2)suy ra 4𝑥 6𝑦 = 16 𝑥 = 4 + 2 𝑦, thay vào (1)ta được: 3 2 24 (4 + 2 𝑦) + 𝑦 2 6𝑦 16 = 0 𝑦 = 0 hoặc 𝑦 = 13 Với 𝑦 = 0 ta được 𝑥 = 4, suy ra 𝑧 = 4(loại) 24 16 16 24 Với 𝑦 = 13ta được 𝑥 = 13và 𝑧 = 13 13 𝑖(thỏa mãn) 16 24 Vậy có một số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là 𝑧 = 13 13 𝑖 Câu 3: (Vận dụng) (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 104) Gọi 𝑆 là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số 𝑚 để tồn tại duy nhất số phức 𝑧 thỏa mãn 𝑧. 𝑧 = 1 và |𝑧 3 + 𝑖| = 𝑚. Tìm số phần tử của 𝑆. A. 2. B. 𝟒. C. 𝟏. D. 𝟑. Lời giải Chọn A Gọi 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, (𝑥, 𝑦 ), ta có hệ { 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 (1) 2 (𝑥 3) + (𝑦 + 1)2 = 𝑚2 (𝑚 0) Ta thấy 𝑚 = 0 𝑧 = 3 𝑖 không thỏa mãn 𝑧. 𝑧 = 1 suy ra 𝑚 > 0. Trang 21 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Xét trong hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦 tập hợp các điểm thỏa mãn (1) là đường tròn (𝐶1 ) có 𝑂(0; 0), 𝑅1 = 1, tập hợp các điểm thỏa mãn (2) là đường tròn (𝐶2 ) tâm 𝐼(3; 1), 𝑅2 = 𝑚, ta thấy 𝑂𝐼 = 2 > 𝑅1 suy ra 𝐼 nằm ngồi (𝐶1 ). Để có duy nhất số phức 𝑧 thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với (𝐶1 ), (𝐶2 ) tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều này xảy ra khi 𝑂𝐼 = 𝑅1 + 𝑅2 𝑚 + 1 = 2 𝑚 = 1 hoặc 𝑅2 = 𝑅1 + 𝑂𝐼 𝑚 = 1 + 2 = 3 Phương trình bậc hai với hệ số thực Câu 1: (Nhận biết) (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Gọi 𝑧1 và 𝑧2 là hai nghiệm phức của phương trình 4𝑧 2 4𝑧 + 3 = 0. Giá trị của biểu thức |𝑧1 | + |𝑧2 | bằng A. 32. B. 23. C. 𝟑. D. 3. Lời giải Chọn D 1 2 𝑧1 = 2 + 2 𝑖 Ta có: 4𝑧 2 4𝑧 + 3 = 0 [ . 1 2 𝑧2 = 2 2 𝑖 1 2 2 2 1 2 2 2 Khi đó: |𝑧1 | + |𝑧2 | = (2) + ( 2 ) + (2) + ( 2 ) = 3. Câu 2: (Thơng hiểu) (Đề tham khảo BGD 2017) Kí hiệu 𝑧1 ; 𝑧2 là hai nghiệm của phương trình 𝑧 2 + 𝑧 + 1 = 0. Tính 𝑃 = 𝑧12 + 𝑧22 + 𝑧1 𝑧2 . A. 𝑃 = 1 B. 𝑃 = 2 C. 𝑃 = 1 D. 𝑃 = 0 Lời giải Chọn D Cách 1 1 3 𝑧= + 𝑖 2 2 𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0 1 3 𝑧 = 𝑖 [ 2 2 2 𝑃= 𝑧12 + 𝑧22 2 1 3 1 3 1 3 1 3 + 𝑧1 𝑧2 = ( + 𝑖) + ( 𝑖) + ( + 𝑖) ( 𝑖) = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 Cách 2: Theo định lí Vi-et: 𝑧1 + 𝑧2 = 1; 𝑧1 . 𝑧2 = 1. Khi đó 𝑃 = 𝑧12 + 𝑧22 + 𝑧1 𝑧2 = (𝑧1 + 𝑧2 )2 2𝑧1 𝑧2 + 𝑧1 𝑧2 = 12 1 = 0. Trang 22 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Câu 3: (Thơng hiểu) (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 104) Kí hiệu z1 , 𝑧2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 4 = 0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , 𝑧2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính T = OM + ON với O là gốc tọa độ. B. T = 2 A. T = 2 C. T = 8 D. 4 Lời giải Chọn D Ta có: 𝑧 2 + 4 = 0 [ 𝑧1 = 2𝑖 𝑧2 = 2𝑖 Suy ra 𝑀(0; 2); N ( 0; 2 ) nên T = OM + ON = ( 2 )2 + 22 = 4 . Câu 4: (Thơng hiểu) (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 110) Kí hiệu 𝑧1 , 𝑧2 là hai nghiệm phức của phương trình 3𝑧 2 𝑧 + 1 = 0. Tính 𝑃 = |𝑧1 | + |𝑧2 |. A. 𝑃 = 2 14 B. 𝑃 = 3 3 C. 𝑃 = 3 3 D. 𝑃 = 23 3 Lời giải Chọn D Xét phương trình 3𝑧 2 𝑧 + 1 = 0 có 𝛥 = (1)2 4.3.1 = 11 < 0. Căn bậc hai của 𝛥 là ±𝑖11. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt z1 = 1 + i 11 1 11 = + i ; 𝑧2 = 6 6 6 1𝑖11 6 1 = 6 11 6 𝑖 Từ đó suy ra: 1 11 6 6 P = z1 + z2 = | + 1 𝑖| + |6 11 6 1 2 𝑖| = (6) + ( 11 6 2 1 2 ) + (6) + ( 11 6 2 ) = 3 3 + 3 3 = 23 3 Cách khác: Sử dụng máy tính Casio FX 570ES Plus hỗ trợ tìm nghiệm phương trình bậc 2 sau đó vào mơi trường số phức (Mode 2 CMPLX) tính tổng mơđun của 2 nghiệm vừa tìm được. Câu 5: (Thông hiểu) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Gọi 𝑧1 , 𝑧2 là hai nghiệm phức của phương trình 𝑧 2 6𝑧 + 10 = 0. Giá trị của 𝑧12 + 𝑧22 bằng A. 16. B. 56. C. 20. D. 26. Lời giải Chọn A Phương trình 𝑧 2 6𝑧 + 10 = 0có hai nghiệm phức 𝑧1 = 3 + 𝑖 và 𝑧2 = 3 𝑖. Khi đó: 𝑧12 + 𝑧22 = (3 + 𝑖 )2 + (3 𝑖 )2 = 16. Trang 23 Câu 6: Tài Liệu Luyện Thi THPTQG (Thông hiểu) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Gọi 𝑧1 , 𝑧2 là hai nghiệm phức của phương trình 𝑧 2 6𝑧 + 14 = 0. Giá trị của 𝑧12 + 𝑧22 bằng A. 122𝜋. B. 8. C. 28. 1 D. 0 𝑥𝑓(5𝑥)𝑑𝑥 = 1. Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có: 𝑧 2 6𝑧 + 14 = 0 có 2 nghiệm 𝑧1,2 = 3 ± 5𝑖 2 2 Do đó 𝑧12 + 𝑧22 = (3 5𝑖) + (3 + 5𝑖) = 8. Cách 2: Áp dụng định lý Vi ét ta có 𝑧12 + 𝑧22 = (𝑧1 + 𝑧2 )2 2𝑧1 𝑧2 = 62 2.14 = 8. Câu 7: (Thông hiểu) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Gọi 𝑧1 , 𝑧2 là hai nghiệm phức của phương trình 𝑧 2 4𝑧 + 5 = 0. Giá trị của 𝑧12 + 𝑧22 bằng A. 𝟔. B. 𝟖. C. 𝟏𝟔. D. 𝟐𝟔. Lời giải Chọn A 𝑧 = 2+𝑖 Ta có 𝑧 2 4𝑧 + 5 = 0 [ 1 . 𝑧2 = 2 𝑖 Do đó 𝑧12 + 𝑧22 = (2 + 𝑖 )2 + (2 𝑖 )2 = 6. Câu 8: (Thông hiểu) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Gọi 𝑧1 , 𝑧2 là hai nghiệm phức của phương trình 𝑧 2 4𝑧 + 7 = 0. Giá trị của 𝑧12 + 𝑧22 bằng A. 10. B. 8. C. 16. D. 2. Lời giải Chọn D Phương trình 𝑧 2 4𝑧 + 7 = 0 có hai nghiệm phức là 𝑧1 = 2 + 3𝑖, 𝑧2 = 2 3𝑖. 2 2 Vậy 𝑧12 + 𝑧22 = (2 + 3𝑖) + (2 3𝑖) = 2. Câu 9: (Thông hiểu) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Kí hiệu 𝑧1 , 𝑧2 là hai nghiệm phức của phương trình 𝑧 2 3𝑧 + 5 = 0. Giá trị của |𝑧1 | + |𝑧2 | bằng A. 25. B. 5. C. 3. D. 10. Lời giải Chọn A 3+11𝑖 𝑧1 = 2 Ta có : 𝑧 3𝑧 + 5 = 0 [ . Suy ra |𝑧1 | = |𝑧2 | = 5 |𝑧1 | + |𝑧2 | = 25. 311𝑖 𝑧2 = 2 2 Trang 24 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Câu 10: (Thông hiểu) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + 2𝑖 và 1 2𝑖 là nghiệm. A. 𝑧 2 2𝑧 3 = 0 B. 𝑧 2 + 2𝑧 + 3 = 0 C. 𝑧 2 2𝑧 + 3 = 0 D. 𝑧 2 + 2𝑧 3 = 0 Lời giải Chọn C 𝑧 + 𝑧2 = 2 Theo định lý Viet ta có { 1 , do đó 𝑧1 , 𝑧2 là hai nghiệm của phương trình 𝑧1 . 𝑧2 = 3 𝑧 2 2𝑧 + 3 = 0 Câu 11: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Gọi z 0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 6 z + 13 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn 1 z0 là: A. M ( 2; 2 ) . B. Q ( 4; 2 ) . C. N ( 4; 2 ) . D. P ( 2; 2 ) . Lời giải Xét phương trình z 6 z + 13 = 0 . 2 Ta có = 9 13 = 4 = ( 2i ) . 2 z = 3 + 2i Suy ra phương trình (1) có 2 nghiệm phức phân biệt là . z = 3 2i 2 z 0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 6 z + 13 = 0 nên zo = 3 + 2i . 1 z0 = 1 ( 3 + 2i ) = 2 2i . Vậy điểm biểu diễn số phức 1 z0 là điểm P ( 2; 2 ) . Câu 12: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Gọi z1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + z + 2 = 0 . Khi đó z1 + z2 bằng A. 4 . C. 2 . Lời giải 2 Phương trình z + z + 2 = 0 , có = 1 4.1.2 = 7 0 . 1 i 7 Suy ra phương trình có hai nghiệm phức z1,2 = . 2 B. 2 2 . Do đó z1 + z2 = D. 2. 1 + i 7 1 i 7 + = 2+ 2 =2 2. 2 2 Vậy z1 + z 2 = 2 2 . Câu 12: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-MH2] Gọi z 0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z2 A. 2. 2z 5 0 . Môđun của số phức z0 B. 2. i bằng C. 10 . Lời giải 2 ' 4 0 Xét phương trình: z 2 z 5 0 có Phương trình có hai nghiệm phức z 1 2i và z 1 2i z 0 là nghiệm phức có phần ảo âm nên z0 1 2i nên z0 i D. 10 . 1 i z0 i 2. Trang 25 |
