Số phức và các dạng toán Phùng Hoàng EmBạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (390.33 KB, 37 trang ) Chương 4 b=0 4. Biểu diễn hình học của số phức y Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi duy nhất một điểm M (a, b) trên mặt phẳng tọa độ. M b O a x 5. Mô-đun số phức: # » ƾ Độ dài của véc-tơ OM được gọi là mô-đun của số phức z và kí hiệu là |z|. ƾ Từ định nghĩa, suy ra |z| = a2 + b2 hay |a + bi| = a2 + b2 . Tính chất: z |z| = . z |z | ƾ |z| 0, z C; |z| = 0 z = 0. ƾ ƾ |z.z | = |z|. |z |. ƾ ||z| |z || |z ± z | |z| + |z |. 1 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC 6. Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi (a, b R). y ƾ Ta gọi a bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là z. b z = a + bi ƾ Vậy, z = a bi hay a + bi = a bi O 2 2 a x 2 ƾ Chú ý: z.z = |z| = a + b b z = a bi 2. Phép toán trên số phức 1. Cộng, trừ hai số phức: Ta cộng (trừ) phần thực theo phần thực, phần ảo theo phần ảo. ƾ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. ƾ (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. 2. Phép nhân hai số phức: Ta nhân phân phối, tương tự nhân hai đa thức. Lưu ý: i2 = 1. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i 3. Phép chia hai số phức: z1 Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di. Thực hiện phép chia , ta nhân thêm z2 ở tử và mẫu. z2 z1 .z2 (a + bi) (c di) (ac + bd) (ad bc)i z1 = = = = m + ni. z2 z2 .z2 c2 + d2 c2 + d2 4. Số phức nghịch đảo của z là 1 . z 5. Lũy thừa của đơn vị ảo: ƾ i2 = 1. ƾ in = i nếu n chia 4 dư 1. ƾ i3 = i. ƾ in = 1 nếu n chia 4 dư 2. ƾ in = 1 nếu n chia hết cho 4. ƾ in = i nếu n chia 4 dư 3. 3. Phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình ax2 + bx + c = 0, với a, b, c R và a = 0. Đặt = b2 4ac, khi đó: b ± . 1. Nếu 0 thì phương trình có nghiệm x1,2 = 2a 2. Nếu < 0 thì phương trình có nghiệm x1,2 = 3. Định lý Viet: x1 + x2 = GV: PHÙNG HOÀNG EM b ± i || . 2a b c và x1 .x2 = a a 2 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1. Xác định các đại lượng liên quan đến số phức 1. Biến đổi số phức z về dạng A + Bi 2. Khi đó: ƾ Phần thực là A; ƾ Số phức liên hợp là A + Bi = A Bi; ƾ Mô - đun bằng A2 + B 2 ƾ Phần ảo là B; Ví dụ 1. Xác định phần thực và phần ảo của số phức z, biết: a) z = (2 + 3i) + (5 3i) b) z = (3 + 2i)2 c) z = (2 + i)(1 2i) + 2i 1+i Lời giải: a) z = (2 + 3i) + (5 3i) = (2 + 5) + (3 3)i = 7. Phần thực là 7, phần ảo là 0. b) z = (3 + 2i)2 = 9 + 12i + 4i2 = 9 + 12i 4 = 5 + 12i. Phần thực là 5, phần ảo là 12. c) z = (2 4i + i 2i2 ) + 2i (1 i) = (4 3i) + (1 + i)(1 i) 2i + 2 2 = 5 2i. Phần thực là 5; phần ảo là 2. Ví dụ 2. Tìm nghịch đảo của số phức z = 2 3i. Lời giải: ƾ Nghịch đảo của z là 1 1 1 2 + 3i 2 3 . Ta có: = = 2 = + i 2 z z 2 3i 2 + (3) 13 13 Ví dụ 3. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 1+i 3 1+i 3 . Lời giải: ƾ Ta có z = 1+i 3 1+i 3 1 + 3 3i + 3( 3i)2 + ( 3i)3 = 2i(1 + i) 1 + 3 3i 9 3 3i 8 8(2 2i) = = = = 2 + 2i. 2 + 2i 2 + 2i 8 ƾ Vậy số phức z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2. Ví dụ 4. Cho z1 = 3 + i và z2 = 2 3i. Tính: a) z1 ; b) z2 ; c) z1 + z1 z2 . Lời giải: GV: PHÙNG HOÀNG EM 3 GIẢI TÍCH 12 a) z1 = b) z2 = 32 + 1 2 = Chương IV. SỐ PHỨC 10. 22 + (3)2 = 13. c) z1 + z1 z2 = 3 + i + (3 + i)(2 3i) = 10 = 12 6i. Suy ra: z1 + z1 z2 = 122 + (6)2 = 6 5. Ví dụ 5. Tính mô-đun của số phức sau: a) z = (2 + i)( 6 3i) b) z = 3+i 2i c) z = (1 i)10 i Lời giải: a) Áp dụng tính chất mô-đun của một tích, ta được: z = 2 + i . 6 3i = 5. 15 = 5 3. 3+i 10 b) Áp dụng tính chất mô-đun của một thương, ta được: z = = = 2. 2i 5 (1 i)10 (2i)5 = = (2)5 = 32. i i c) Áp dụng tính chất mô-đun của một thương, ta được: z = Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa z = 5. Tính mô-đun của số phức w = (3 + i)z. Lời giải: ƾ w = (3 + i)z w = (3 + i)z = 3 + i . z = 10. 5 = 2 5. ƾ Vậy, w = 2 5. Ví dụ 7. Cho số phức z = m + 3m + 2 i, m là số thực âm, thỏa mãn z = 2. Tìm phần ảo của z. Lời giải: ƾ Ta có z = 2 m2 + 3m + 2 2 = 2 m2 + 3m + 2 2 m=0 = 4 10m2 + 12m = 0 6 m= 5 6 6 8 ƾ Vì m là số thực âm nên chọn m = , suy ra z = i. 5 5 5 Dạng 2. Số phức bằng nhau ƾ a + bi = c + di a=c . ƾ a + bi = 0 b=d a=0 . b=0 Ví dụ 8. Tìm các số thực x, y thỏa mãn 3x + 2yi = 3y + 2 + (1 x)i. Tìm x, y. Lời giải: Điều kiện đã cho tương đương với GV: PHÙNG HOÀNG EM 3x = 3y + 2 2y = 1 x 7 x = 3 3y = 2 9 1 x + 2y = 1 y = 9 4 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC Ví dụ 9. Cho số phức z = m2 4 + (m 2)i. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để z = 0. m2 4 = 0 Lời giải: Điều kiện đã cho tương đương với: m2=0 m = 2. Dạng 3. Điểm biểu diễn số phức y Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi duy nhất một điểm M (a, b) trên mặt phẳng tọa độ. M b O a x Ví dụ 10. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z = i(1 + 2i)2 . Tìm tọa độ của điểm M . Lời giải: ƾ Ta có z = i(1 + 2i)2 = i 1 + 4i + 4i2 = i (3 + 4i) = 4 3i M (4; 3). Ví dụ 11. (THPT Quốc Gia 2017) Cho số phức z = 1 2i. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức w = iz. Lời giải: ƾ w = iz = i(1 2i) = 2 + i. Suy ra, điểm biểu diễn có tọa độ là (2; 1) Ví dụ 12. Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức sau: 4 3i, 3 + 2i, 5, 5i. Lời giải: y 5 D 2 C 5 B 4 O 3 x 3 A ƾ Điểm A(4; 3) biểu diễn số phức 4 3i. ƾ Điểm C(5; 0) biểu diễn số phức 5 ƾ Điểm B(3; 2) biểu diễn số phức 3 + 2i. ƾ Điểm D(0; 5) biểu diễn số phức 5i Ví dụ 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức z = 3 4i, N là 1+i điểm biểu diễn cho số phức z = z. Tính diện tích của tam giác OM N . 2 Lời giải: GV: PHÙNG HOÀNG EM 5 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC ƾ Ta có M (3; 4) và z = 1+i 7 1 z = i = N 2 2 2 7 1 ; ; 2 2 1 25 ƾ Dễ thấy tam giác OM N vuông tại N nên S = ON.N M = . 2 4 Ví dụ 14. 2 và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu 2 1 diễn của z. Tìm điểm biểu diễn số phức w = trong hình vẽ bên, biết đó là một iz trong bốn điểm M , N , P , Q. y Cho số phức z thỏa mãn |z| = Q M A O N x P Lời giải: ƾ Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy nên gọi z = a + bi, với a, b > 0. 1 b a 1 = = 2 2 i. Do w có phần thực và ảo đều âm nên điểm biểu 2 iz i(a + bi) a +b a + b2 diễn w chỉ có thể là điểm P hoặc N . ƾ Ta có: w = ƾ Mặt khác: |w| = 1 1 = = 2 = 2|z| = 2OA, nên điểm biểu diễn của số phức w là điểm P iz |i|.|z| Dạng 4. Lũy thừa với đơn vị ảo 1. Các công thức biến đổi: ƾ i2 = 1. ƾ in = i nếu n chia 4 dư 1. ƾ i3 = i. ƾ in = 1 nếu n chia 4 dư 2. ƾ in = 1 nếu n chia hết cho 4. ƾ in = i nếu n chia 4 dư 3. 2. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng: ƾ Sn = n n (u1 + un ) hoặc Sn = 2u1 + (n 1)d , với u1 là số hạng đầu, d là công sai. 2 2 3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân: ƾ Sn = u1 . 1 qn , với u1 là số hạng đầu, q là công bội (q = 1). 1q Ví dụ 15. Xác định số phức z, biết: a) z = i2017 + i2018 + i2019 b) z = (1 + i)15 Lời giải: a) z = i2016 .i + i2016 .i2 + i2016 .i3 = i + i2 + i3 = 1 b) z = (1 + i)2 7 .(1 + i) = (2i)7 (1 + i) = 27 .i7 (1 + i) = 27 . (i) (1 + i) = 27 27 .i GV: PHÙNG HOÀNG EM 6 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC Ví dụ 16. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z= i2009 + i2010 + i2011 + i2012 + i2013 i2014 + i2015 + i2016 + i2017 + i2018 Lời giải: ƾ z= i2009 1 + i + i2 + i3 + i4 i2009 1 1 1 = = 5 = 4 = = i. i2014 (1 + i + i2 + i3 + i4 ) i2014 i i ·i i ƾ Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1 Ví dụ 17. Tìm mô-đun của số phức z = 1 + i + i2 + i3 + ... + i100 Lời giải: ƾ z được biểu diễn qua tổng của một cấp số nhân gồm 101 số hạng với u1 = 1 và q = i. ƾ z = u1 1 q 101 1 i101 (1 i101 )(1 + i) (1 i100 .i)(1 + i) (1 i)(1 + i) = = = = = 1. 1q 1i 2 2 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 Câu 1. Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. z = 2 + 3i. B. z = 2. C. z = 3 + i. D. z = 3i. Câu 2. Kí hiệu a, b là phần thực và phần ảo của số phức 3 2 2i. Tính P = ab. B. P = 6 2. C. P = 6 2. D. P = 6 2i. A. P = 6 2i. Câu 3. Tìm số phức liên hợp của z = (1 + 2i)(2 i)2 . B. z = 11 2i. C. z = 2 11i. A. z = 11 + 2i. D. z = 5 10i. Câu 4. Tìm số phức nghịch đảo của số phức z = 1 + 3i. 1 1 1 3 A. 3i. B. 1 + i. C. i. 10 3 10 10 1 3 D. + i. 8 8 Câu 5. Tìm nghịch đảo của số phức z = (1 + 4i)2 . 1 15 8i 1 15 8i 1 15 8i A. = + . B. = . C. = + . z 289 289 z 289 289 z 289 289 (2 i)2 (2i)4 Câu 6. Kết quả của phép tính là 1i A. 7 i. B. 56 i. C. 7 + i. D. 1 15 8i = . z 289 289 D. 56 + 8i. Câu 7. Tìm số phức liên hợp của số phức z = i (3i + 1). A. z¯ = 3 i. B. z¯ = 3 + i. C. z¯ = 3 + i. D. z¯ = 3 i. Câu 8. Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức w = iz + z¯. A. w = 7 3i. B. w = 3 3i. C. w = 3 + 7i. D. w = 7 7i. Câu 9. Tìm các giá trị của tham số thực m để số phức z = m2 1 + (m + 1) i là số thuần ảo. A. m = ±1. B. m = 1. C. m = 1. D. m = 0. Câu 10. Tìm các giá trị của tham số thực x, y để số phức z = (x + iy)2 2 (x + iy) + 5 là số thực. A. x = 1 và y = 0. B. x = 1. C. x = 1 hoặc y = 0. D. x = 1. GV: PHÙNG HOÀNG EM 7 GIẢI TÍCH 12 Câu 11. Số phức z1 = m2 + 2i bằng số phức z2 = 1 + 2i khi và chỉ khi A. m = 1. B. m = ± 2. C. m = ±1. Chương IV. SỐ PHỨC D. m = 1. Câu 12. Cho số phức z = i(2 3i) có phần thực là a và phần ảo là b. Tìm a và b. A. a = 3, b = 2. B. a = 2, b = 3. C. a = 3, b = 2. D. a = 3, b = 2. Câu 13. Cho số phức z = a + bi (a, b R, i2 = 1). Số phức z 2 có phần ảo là A. a2 + b2 . B. a2 b2 . C. 2ab. D. 2ab. Câu 14. Tìm số phức w = z1 2z2 , biết rằng z1 = 1 + 2i và z2 = 2 3i. A. w = 3 4i. B. w = 3 + 8i. C. w = 3 i. D. w = 5 + 8i. Câu 15. Cho hai số phức z1 = 1 2i, z2 = 3 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức z = z1 .z2 lần lượt là A. 7 và 4. B. 4 và 4i. C. 7 và 4i. D. 4 và 4. Câu 16. Cho hai số phức z1 = 1 2i, z2 = 3 + i. Phần thực và phần ảo của số phức z = z1 z2 lần lượt là A. 3 và 5. B. 5 và 5. C. 3 và 5i. D. 5 và 5i. 1 2i Câu 17. Tìm phần ảo của số phức z = . 2i 3 4 1 A. . B. . C. 1. D. . 5 5 2 1 5i Câu 18. Cho z = + (2 i)2 . Mô-đun của z bằng 1+i C. 2. D. 5 2. A. 1. B. 5. Câu 19. Cho số phức z = 2 3i. Tính mô-đun của số phức ω = z + z 2 . A. |ω| = 134. B. |ω| = 206. C. |ω| = 3 10. D. |ω| = 3 2. Câu 20. Cho số phức z có mô-đun bằng 2. Tính mô-đun của số phức z = (3 4i)z. 5 A. |z | = 10. B. |z | = 7. C. |z | = . D. |z | = 3. 2 Câu 21. Cho số phức z = 1 + 5i. Tìm số phức ω = iz + z. A. ω = 4 + 6i. B. ω = 4 4i. C. ω = 4 4i. 1i Câu 22. Cho số phức z = . Tìm số phức w = z 2017 . 1+i A. w = 1. B. w = 1. C. w = i. D. ω = 6 4i. D. w = i. Câu 23. Tìm các số thực x, y biết (x + 2y)i + (2x + 3y + 1) = (3x 2y + 2) + (4x y 3)i. 9 4 5 A. x = 3, y = . B. x = , y = . 2 11 11 9 4 5 C. x = , y = . D. x = 3, y = . 11 11 2 Câu 24. Bộ số thực (x; y) thỏa mãn đẳng thức (3 + x) + (1 + y) i = 1 + 3i là A. (2; 2). B. (2; 2). C. (2; 2). D. (2; 2). Câu 25. Cho hai số phức z1 = 1 2i và z2 = x 4 + yi, với x, y R. Tìm cặp số thực (x; y) để z2 = 2z1 . A. (x; y) = (6; 4). B. (x; y) = (6; 4). C. (x; y) = (2; 4). D. (x; y) = (2; 4). Câu 26. Cho số phức z = 2 + 5i. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức z? A. M (2; 5). B. N (2; 5). C. P (2; 5). D. Q(5; 2). Câu 27. Cho số phức z = 2 3i. Tọa độ điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là A. (2; 3). B. (2; 3). C. (2; 3). D. (2; 3). GV: PHÙNG HOÀNG EM 8 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC (4 i)(2 3i) . 3 + 2i D. M (7; 2). Câu 28. Trong mặt phẳng toạ độ, tìm điểm M biểu diễn số phức z = 2 + 7i + A. M (7; 2). B. M (2; 7). C. M (1; 3). Câu 29. y Trong hình bên, điểm nào trong các điểm M , N , P , Q biểu diễn cho số phức có môđun bằng 2 2? N A. Điểm N . O 1 B. Điểm M . 1 C. Điểm P . P D. Điểm Q. M x Q Câu 30. Điểm A trong hình bên biểu diễn số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của z. y A. Phần thực là 3 và phần ảo là 2. B. Phần thực là 3 và phần ảo là 2i. 2 C. Phần thực là 3 và phần ảo là 2i. D. Phần thực là 3 và phần ảo là 2. O A 3 x Câu 31. Trong mặt phẳng phức cho hai điểm A, B lần lượt biểu diễn hai số phức 2 + 5i, 3i. Tìm số phức có điểm biểu diễn là trung điểm của đoạn AB. 1 A. 1 + 3i. B. 1 + i. C. 3 + 3i. D. + i. 3 Câu 32. A, B, C là các điểm trong mặt phẳng theo thứ tự biểu diễn số phức 2 + 3i, 3 + i, 1 + 2i. Trọng tâm G của tam giác ABC biểu diễn số phức z. Tìm z A. z = 1 + i. B. z = 2 2i. C. z = 1 i. D. z = 2 + 2i. # » Câu 33. Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 . Tính độ dài của vectơ AB. A. |z1 | |z2 |. B. |z1 | + |z2 |. C. |z1 z2 |. D. |z1 + z2 |. Câu 34. Trong mặt phẳng Oxy gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1 = 1 i và z2 = 4 + 3i. Tính diện tích S của tam giác OAB. 7 5 2 . B. S = 5 2. C. S = . D. S = 7. A. S = 2 2 Câu 35. Cho ba số phức z1 = 2 3i, z2 = 4i, z3 = 2 + i. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3 trong mặt phẳng phức. Tìm số phức z4 được biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. A. z4 = 4 6i. B. z4 = 4 6i. C. z4 = 4 + 6i. D. z4 = 4 + 6i. Câu 36. Tìm phần ảo của số phức z = m + (3m + 2) i, (m là tham số thực âm), biết rằng |z| = 2. 8 6 A. 0. B. . C. . D. 2. 5 5 Câu 37. Có bao nhiêu số thực a để số phức z = a + 2i có mô đun bằng 2? A. 0. B. 1. C. 2. D. vô số. Câu 38. Tìm số thực m để |z| < 3, với z = 2 + mi. B. 3 < m < 3. C. 2 < m < 2. A. 5 < m < 5. D. 3 < m < 3. Câu 39. Cho hai số phức z1 = 2 + 2i và z2 = a + a2 6 i, a R. Tìm tất cả các giá trị của a để z1 + z2 là một số thực. A. a = 2. B. a = 2. C. a = ±2. D. a = ±2 2. Câu 40. Cho số phức z = m3 3m + 2 + (m + 2)i. Tìm tất cả các giá trị m để số phức z là số thuần ảo. GV: PHÙNG HOÀNG EM 9 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC A. m = 1; m = 2. C. m = 2. B. m = 1. D. m = 0; m = 1; m = 2. Câu 41. Cho số phức z = m(1 + i)10 3 64i với m là số thực. Khi z là các số thực thì giá trị của m2 5 bằng A. 1. B. 1. C. 4. D. 0. 1i Câu 42. Cho số phức z = . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z 2017 . 1+i A. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 0. B. Phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1. C. Phần thực bằng 0 và phần ảo bằng i. D. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 1. Câu 43. Tính giá trị của i + i2 + i3 + ... + i99 + i100 . A. 1. B. i. C. 1. D. 0. Câu 44. Cho i là đơn vị ảo. Tính giá trị của biểu thức z = (i5 + i4 + i3 + i2 + i + 1)20 . A. 1024i. B. 1024. C. 1024. D. 1024i. Câu 45. Cho số phức z = (1 + i)n , biết n N và thỏa mãn log4 (n 3) + log4 (n + 9) = 3. Tìm phần thực của số phức z. A. 7. B. 0. C. 8. D. 8. (1 + i)100 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? (1 + i)96 i(1 + i)98 1 3 4 B. |z| = . C. |z| = . D. |z| = 1. A. |z| = . 3 2 4 4 + 6i n Câu 47. Cho số phức z = . Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất lớn hơn 2017 để z là số thực. 1 + 5i A. 2018. B. 2019. C. 2020. D. 2021. Câu 46. Cho số phức z = Câu 48. Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn các điều kiện |z1 | = |z2 | = |z1 z2 | = 3. Mô-đun của số phức z1 + z2 bằng 3 3 . D. 6. A. 3. B. 3 3. C. 2 Câu 49. Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn các điều kiện |z1 | = |z2 | = |z1 z2 | = 3. Mô-đun của số phức z1 + z2 bằng 3 3 A. 3. B. 3 3. C. . D. 6. 2 Câu 50. Xét f (z) = z 3 1 với z C. Tính S = f (z0 ) + f (z0 ), trong đó z0 = 1 + i. A. S = 2. B. S = 4. C. S = 1. D. S = 3. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1 1. 11. 21. 31. 41. D C C B A 2. 12. 22. 32. 42. B C C D B 3. 13. 23. 33. 43. B D B C D GV: PHÙNG HOÀNG EM 4. 14. 24. 34. 44. C B D C B 5. 15. 25. 35. 45. A A B A C 6. 16. 26. 36. 46. B B B C A 7. 17. 27. 37. 47. D A A B C 8. 18. 28. 38. 48. B D C A B 9. 19. 29. 39. 49. A C D C A 10. 20. 30. 40. 50. C A D B A 10 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC Dạng 5. Phương trình với hệ số phức Trong chương trình, ta chỉ xét phương trình dạng này với ẩn z bậc nhất. ƾ Ta giải tương tự như giải phương trình bậc nhất trên tập số thực; ƾ Thực hiện các biến đổi đưa về dạng z = A + Bi Ví dụ 18. Tìm số phức z thỏa mãn: b) (2 i)z = 2 i. a) iz = 1 + i. c) ( 2 + 2i)z = 1 i. Lời giải: a) iz = 1 + i z = 1+i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 1 i. i 2 i 3 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = i. 2i 5 5 2 1i = .................................................... = c) ( 2 + 2i)z = 1 i = i. 2 2 + 2i b) (2 i)z = 2 i = Ví dụ 19. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + ω =z+1+i 2(1 + 2i) = 7 + 8i (1). Tìm môđun của số phức 1+i Lời giải: ƾ (1) (2 + i)z + (3 + i) = 7 + 8i (2 + i)z = (7 + 8i) (3 + i) = 4 + 7i z = ƾ Do đó: ω = (3 + 2i) + 1 + i = 4 + 3i. Suy ra: |ω| = 4 + 7i = 3 + 2i; 2+i 42 + 32 = 5. Ví dụ 20. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa (1 + i)2 (2 i)z = 8 + i + (1 + 2i)z. Lời giải: ƾ (1 + i)2 (2 i)z = 8 + i + (1 + 2i)z 2i(2 i)z = 8 + i + (1 + 2i)z 2i(2 i) (1 + 2i) z = 8 + i (1 + 2i)z = 8 + i z = 8+i = 2 3i. 1 + 2i ƾ Vậy số phức z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 3. Ví dụ 21. Xác định số phức z thỏa 2 + 3i + (1 + 2i) = 4 + 5i. z Lời giải: ƾ 2 + 3i 2 + 3i 2 + 3i 5 1 + (1 + 2i) = 4 + 5i = (4 + 5i) (1 + 2i) = 3 + 3i z = = + i. z z 3 + 3i 6 6 GV: PHÙNG HOÀNG EM 11 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC Dạng 6. Phương trình bậc hai với hệ số thực và một số phương trình quy về bậc hai Xét phương trình ax2 + bx + c = 0, với a, b, c R và a = 0. Đặt = b2 4ac, khi đó: b ± . 1. Nếu 0 thì phương trình có nghiệm x1,2 = 2a 2. Nếu < 0 thì phương trình có nghiệm x1,2 = 3. Định lý Viet: x1 + x2 = b ± i || . 2a b c và x1 .x2 = a a Ví dụ 22. Giải phương trình z 2 3z + 10 = 0 trên tập số phức. Lời giải: ƾ = (3)2 4 × 1 × 10 = 31 = 31i2 ; 3 i 31 3 + i 31 ƾ Phương trình đã cho có hai nghiệm phức z1 = và z2 = 2 2 Ví dụ 23. Giải phương trình x2 + 4x + 5 = 0 trên tập số phức. Lời giải: ƾ = 22 1 × 5 = 1 = i2 ; ƾ Phương trình đã cho có hai nghiệm phức: x1 = 2 i và x2 = 2 + i Ví dụ 24. Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình z 2 2z + 5 = 0. Tính F = z 1 + z2 . Lời giải: ƾ Giải phương trình z 2 2z + 5 = 0 ta được hai nghiệm là z1 = 1 + 2i và z2 = 1 2i; ƾ Khi đó F = z1 + z2 = 1 + 2i + 1 2i = 2 5 Ví dụ 25. Giải phương trình z 4 + 5z 2 + 4 = 0 trên tập số phức. Lời giải: ƾ Đặt t = z 2 thì phương trình thành t2 + 5t + 4 = 0 t = 1 t = 4 ; ƾ Với t = 1 thì z 2 = 1 z = ±i; ƾ Với t = 4 thì z 2 = 4 z = ±2i; ƾ Vậy phương trình có bốn nghiệm là z = ±i và z = ±2i. GV: PHÙNG HOÀNG EM 12 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2 Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn (2 i)z = 5i + 15. Tìm phần ảo số phức liên hợp của z. A. 5 . B. 5 . C. 5i . D. 5i . Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z = 14 2i. Tính tổng phần thực và phần ảo của z. A. 2. B. 14. C. 2. D. 14. Câu 3. Tính môđun của số phức z thỏa mãn z(2 i) + 13i = 1. 5 34 34 A. |z| = 34. B. |z| = 34. C. |z| = . D. |z| = . 3 3 Câu 4. Tìm modun của số phức z thỏa (1 + 3i).z = 7 + 5i. 185 290 185 185 A. |z| = . B. |z| = . C. |z| = . D. |z| = . 25 5 4 5 Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn z(3 + 2i) + 14i = 5. Tìm mô-đun của số phức z. B. |z| = 5. C. |z| = 15. D. |z| = 7. A. |z| = 17. Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3 + i)z = 15 5i. Khi đó phần thực và phần ảo của số phức lần lượt là A. 4 và 3. B. 4 và 3i. C. 4 và 3i. D. 4 và 3. Câu 7. Tìm mô-đun của số phức z biết z(1 + 3i) + 5i = 3 13 7 85 97 A. |z| = . B. |z| = . C. |z| = . D. |z| = . 5 5 5 5 Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (i 2)z = 2 + 3i. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm tọa độ điểm M. 1 5 1 5 1 5 1 5 A. M ; . B. M ; . C. M ; . D. M ; . 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn iz + 2 i = 0. Tính khoảng cách từ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ Oxy đến điểm M (3, 4). A. 2 10. B. 2 5. C. 13. D. 2 2. Câu 10. Phần ảo của số phức z thỏa mãn (3 + 2iz)(1 + i) = 7 + 5i là A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 11. Phần thực của số phức z thỏa mãn (1 + i)2 (2 i)z = 8 + i + (1 + 2i)z là A. 2. B. -3. C. -6. D. -1. 1 (1 + 2i)z Câu 12. Tính môđun của số phức z thỏa mãn = (1 + i)2 . 3i 2 A. |z| = 2. B. |z| = 3. C. |z| = 2. D. |z| = 5. z Câu 13. Cho số phức z thoả mãn 1 + iz = . Tính mô-đun của z. 1i A. 5. B. 2. C. 1. D. 10. Câu 14. Phần thực của số phức z thỏa (1 + i)2 (2 i) z = 8 + i + (1 + 2i) z là A. 3. B. 1. C. 6. D. 2. 2(1 + 2i) = 7+8i. Tính môđun của số phức ω = z +1+i. Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn (2+i)z + 1+i A. 3. B. 5. C. 4. D. 8. Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3 + 2i)z + (2 i)2 = 4 + i. Tìm phần ảo của số phức ω = (1 + z)z. A. 2. B. 0. C. 1. D. i. GV: PHÙNG HOÀNG EM 13 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC Câu 17. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 3z + 5 = 0. Tính z12 + z22 . A. 1. B. 19. C. 1. D. 19. Câu 18. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4z 2 8z + 5 = 0. Tính giá trị của biểu thức |z1 |2 + |z2 |2 . 5 3 A. . B. . C. 2. D. 5. 2 2 Câu 19. Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình z 2 2z + 5 = 0. Tính F = |z1 | + |z2 |. C. 3. D. 6. A. 10. B. 2 5. Câu 20. Phương trình z 2 3z + 2m = 0 không có nghiệm thực khi và chỉ khi 9 9 9 9 A. m > . B. m < . C. m . D. m . 8 8 8 8 Câu 21. Phương trình z 2 + az + b = 0 (a, b R) có một nghiệm phức là z = 1 + 2i. Khi đó a + b bằng A. 3. C. 4. B. 3. D. 0. Câu 22. Biết phương trình z 2 +az+b = 0 nhận số phức z = 1+i làm nghiệm. Tính tổng S = 2a2 +3b2 . A. 10. B. 20. C. 40. D. 12. Câu 23. Trên mặt phẳng phức, gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn z1 , z2 , trong đó z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 4z + 13 = 0. Tính độ dài đoạn thẳng M N . A. 12. B. 4. C. 6. D. 8. Câu 24. Trong hình vẽ bên, những điểm nào biểu diễn các nghiệm của phương trình z 2 2z + 10 = 0? y M 3 N P 1 O 3 x 1 1 Q H 3 K A. P, Q. B. M, H. C. N, P . D. N, K. Câu 25. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 +4z +5 = 0. Đặt w = (1+z1 )100 +(1+z2 )100 . Khi đó A. w = 251 i. B. w = 251 . C. w = 251 . D. w = 250 i. Câu 26. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương trình 2z 4 3z 2 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức T = |z1 | + |z2 | + |z3 | + |z4 |. A. T = 5. B. T = 5 2. C. T = 3 2. D. T = 2. Câu 27. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương trình 2z 4 3z 2 2 = 0. Tổng T = z1 2 2 2 z2 + z3 + z4 bằng A. T = 5. B. T = 3 2. C. T = 2. D. T = 5 2. 2 + Câu 28. Cho phương trình z 3 + 8 = 0 có ba nghiệm z1 , z2 , z3 . Tính tổng M = |z1 | + |z2 | + |z3 |. A. M = 6. B. M = 2 + 2 3. C. M = 2 + 2 10. D. M = 2 + 2 2. GV: PHÙNG HOÀNG EM 14 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC Câu 29. Gọi A, B, C theo thứ tự là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3 là nghiệm của phương trình z 3 6z 2 + 12z 7 = 0. Tính diện tích S của tam giác ABC. 3 3 3 3 A. S = D. S = . B. S = 1. C. S = 3 3. . 2 4 Câu 30. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 4z 2 24z + 37 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz0 + 1? 1 3 1 3 ;3 . B. M ;3 . C. M ; 3 . D. M ; 3 . A. M 2 2 2 2 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 2 1. B 11. A 21. B 2. B 12. A 22. B 3. A 13. B 23. C 4. D 14. D 24. D 5. A 15. B 25. B 6. A 16. C 26. C 7. A 17. C 27. A 8. D 18. A 28. A 9. A 19. B 29. D 10. C 20. B 30. A Dạng 7. Xác định số phức bằng cách giải hệ phương trình Gọi z = a + bi, với a, b R 1. Nếu đề bài cho dạng hai số phức bằng nhau, ta áp dụng một trong hai công thức sau: ƾ a + bi = c + di a=c ƾ a + bi = 0 . b=d a=0 . b=0 2. Nếu đề bài cho phương trình ẩn z và kèm theo một trong các ẩn z, |z|,...Ta thay z = a + bi vào điều kiện đề cho, đưa về "hai số phức bằng nhau". Chú ý: ƾ z = a bi ƾ |z| = a2 + b2 ƾ z.z = a2 + b2 ƾ z 2 = a2 b2 + 2abi 3. Nếu đề cho z thỏa hai điều kiện riêng biệt thì từ 2 điều kiện đó, ta tìm được hệ phương trình liên quan đến a, b. Giải tìm a, b. Ví dụ 26. Tìm các số thực x, y biết (2x + 3y + 1) + (x + 2y) i = (3x 2y + 2) + (4x y 3) i. Lời giải: ƾ (2x + 3y + 1) + (x + 2y) i = (3x 2y + 2) + (4x y 3) i 2x + 3y + 1 = 3x 2y + 2 x + 2y = 4x y 3 x + 5y = 1 5x + 3y = 3 x= 9 4 và y = . 11 11 Ví dụ 27. Giải phương trình sau: z + 2z = 2 4i (*) Lời giải: Giả sử z = a + bi với a, b R. Khi đó: ƾ (*) a + bi + 2(a bi) = 2 4i 3a bi = 2 4i GV: PHÙNG HOÀNG EM x = 2 3. b = 4 b=4 3a = 2 15 GIẢI TÍCH 12 ƾ Vậy z = Chương IV. SỐ PHỨC 2 + 4i. 3 Ví dụ 28. (THPT Quốc Gia 2017) Cho số phức z = a + bi, (a, b R) thỏa mãn z + 1 + 3i |z|i = 0. Tính S = a + 3b. Lời giải: Giả sử z = a + bi (a, b R). Thay vào z + 1 + 3i |z|i = 0 ta được ƾ a + bi + 1 + 3i a2 + b2 .i = 0 (a + 1) + b + 3 a2 + b2 i = 0 a + 1 = 0 b + 3 a2 + b2 = 0 a = 1 b + 3 = a = 1 a = 1 ; b 3 b = 4 b2 + 1 b = 4 3 3 ƾ Suy ra: S = a + 3b = 5. Ví dụ 29. Tìm số phức z thỏa mãn: z = 2 và z 2 là số thuần ảo. Lời giải: Giả sử z = a + bi (a, b R), ta có: ƾ z = a2 + b2 và z 2 = a2 b2 + 2abi; ƾ Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi: a2 + b2 = 2 a2 b2 = 0 a2 = 1 b2 = 1 a = ±1 b = ±1 . ƾ Vậy các số phức cần tìm là: 1 + i; 1˘i; 1 + i; 1˘i. Ví dụ 30. Xét số phức z thỏa mãn zi = z1 z 2i = z . Tính z . Lời giải: Giả sử z = x + yi, với x, y R. Ta có: ƾ zi = z1 x2 + (y 1)2 = (x 1)2 + y 2 2 2 2 x + (y 2) = x + y ƾ Suy ra z = 1 + i. Do đó z = 2. z 2i = z 2 2x 2y = 0 4y = 4 x=1 ; y=1 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 3 Câu 1. Tìm các số thực x và y thỏa mãn điều kiện (2x + 1) + (3y 2) i = (x + 2) + (y + 4) i. x=1 x = 1 x = 1 x=1 A. . B. . C. . D. . y = 3 y=3 y = 3 y=3 Câu 2. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn (2x + y) + (x 3y + 1)i = 3 4i. Khi đó giá trị của 4x 5y là A. 13. B. 8. C. 3. D. 5. Câu 3. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x+y 7 = (3x4y 7)i. Tính giá trị của biểu thức S = x+2y. A. S = 1. B. S = 12. C. S = 9. D. S = 9. GV: PHÙNG HOÀNG EM 16 GIẢI TÍCH 12 Câu 4. Tìm các số thực x, y biết i(1 + xi + y + 2i) = 0. A. x = 2, y = 1. B. x = 2, y = 1. C. x = 0, y = 0. Chương IV. SỐ PHỨC D. x = 1, y = 2. Câu 5. Tìm tất cả các số thực x, y sao cho x2 1 + yi = 1 + 2i. A. x = 2, y = 2. B. x = 0, y = 2. C. x = 2, y = 2. D. x = 2, y = 2. x + yi = 3 + 2i (với i là đơn vị ảo). Tính P = x.y. Câu 6. Gọi x, y là hai số thực thỏa mãn 1i A. P = 5. B. P = 5. C. P = 1. D. P = 1. 2i Câu 7. Tìm số phức z thỏa mãn z + = 2. z A. z = 2i. B. z = i. C. z = 1 + i. D. z = 1 i. Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn 5z + 3 i = (2 + 5i)z. Tính P = 3i(z 1)2 A. 144. B. 3 2. C. 12. D. 0. Câu 9. Cho số phức z = a + bi (a, b R) thỏa mãn z + 2z = 6 + i. Giá trị của biểu thức a + 2b là A. 1. B. 0. C. 1. D. 3. Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn (1 i) z + 2iz = 5 + 3i. Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức w = z + 2z. A. 3. B. 4. C. 6. D. 5. Câu 11. Tìm mô-đun của số phức z thỏa điều kiện (1 + 2i).z 3z = 14 + 22i. A. |z| = 7. B. |z| = 25. C. |z| = 5. D. |z| = 49. Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + z = 3 + i. Tính mô-đun số phức ω = |iz + 2i + 1|. A. 3. B. 1. C. 2. D. 5. Câu 13. Tính mô-đun của số phức z thỏa mãn 3z.¯ z + 2017(z z¯) = 12 2018i. C. |z| = 4. D. |z| = 2018. A. |z| = 2. B. |z| = 2017. Câu 14. Số phức z thỏa mãn z (2 + 3i)z = 1 9i là A. z = 2 + i. B. z = 2 i. C. z = 2 i. D. z = 2 + i. Câu 15. Cho số phức z = a + bi, (a; b R) thỏa mãn (2 + 3i)z 2 = z¯ 5i. Tính giá trị của biểu thức P = 2a + 6b. A. P = 5. B. P = 7. C. P = 7. D. P = 5. Câu 16. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện |z + 1| = |z 1| = 5? A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Câu 17. Cho z là số phức có phần thực là số nguyên và |z| 2z = 7 + 3i + z. Tính môđun của số phức w = 1 z + z2. A. |w| = 37. B. |w| = 457. C. |w| = 425. D. |w| = 445. Câu 18. Xét số phức z thỏa mãn 2iz = (i 1)|z| (1 + i). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. |z| = 2. B. |z| = 2. C. |z| = 2 2. D. |z| = 1. Câu 19. Tìm số phức z thỏa mãn |z| = |z + 1| và |z| = |z + i|. 1 1 1 1 1 1 1 1 A. z = i. B. z = i. C. z = + i. D. z = + i. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 20. Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = 2 2 và z là số thuần ảo? A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. 2 Câu 21. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z + 2 i| = 2 2 và z 1 là số thuần ảo. A. 0. B. 2. C. 4. D. 3. GV: PHÙNG HOÀNG EM 17 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC Câu 22. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 3i = A. Vô số. B. 2. 13 và C. 0. z là số thuần ảo? z+2 D. 1. Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 5 và |z + 3| = |z + 3 10i|. Tìm số phức w = z 4 + 3i. A. w = 3 + 8i. B. w = 1 + 3i. C. w = 1 + 7i. D. w = 4 + 8i. 1 x Câu 24. Có bao nhiêu số phức z = x + yi thỏa mãn hai điều kiện |z + 1 i| + 10 = |z| và = . y 2 A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Câu 25. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện |z 2| = 2 và (2 + i) (z 2) có phần ảo bằng 2? A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Câu 26. Có bao nhiêu số phức z thoả mãn đồng thời điều kiện |z.z + 5z| = 6, |z| = 3? A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Câu 27. Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn |z (2 + i)| = 10 và z.z = 25. A. z = 4i và z = 5. B. z = 3 + 4i và z = 5. C. z = 2 + 4i và z = 4. D. z = 3 4i. Câu 28. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời |z|2 + 2zz + |z|2 = 8 và z + z = 2? A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Câu 29. Cho các số phức z1 , z2 khác 0 và thỏa mãn |z1 z2 | = 2|z1 | = |z2 |. Phần thực của số phức z1 w= là z2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 4 8 8 Câu 30. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa điều kiện |z 2i| = 2 |iz + 1| và |z1 z2 | = 3. Giá trị của P = |z1 + z2 | là A. P = 2. B. P = 1. C. P = 5. D. P = 3. HẾT ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 3 1. D 11. C 21. D 2. A 12. A 22. D 3. D 13. A 23. D GV: PHÙNG HOÀNG EM 4. B 14. C 24. C 5. B 15. B 25. B 6. B 16. B 26. B 7. C 17. B 27. B 8. C 18. D 28. A 9. B 19. A 29. C 10. D 20. A 30. C 18 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC Dạng 8. Biễu diễn hình học của số phức Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, giả sử: ƾ M (x; y) là điểm biểu diễn của z = x + yi (x, y R). ƾ N (x ; y ) là điểm biểu diễn của z = x + y i (x , y R) ƾ I(a; b) là điểm biểu diễn của z0 = a + bi cho trước (a, b R) Khi đó, ta có các kết quả sau: 1. z = # » x2 + y 2 = OM = OM (khoảng cách từ điểm M đến gốc toạ độ O). 2. z z = 3. z z0 # » (x x)2 + (y y)2 = M N = M N (khoảng cách giữa M và N ). R (x a)2 + (y b)2 R2 : hình tròn tâm I(a; b), bán kính R. 4. z z0 = R (x a)2 + (y b)2 = R2 : đường tròn tâm I(a; b), bán kính R. Ví dụ 31. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện: b) phần ảo của z bằng 5. a) phần thực của z bằng 3; Lời giải: a) Số phức z có phần thực bằng 3 được biểu diễn bởi điểm M (3; b). b) Số phức z có phần ảo bằng 5 được biểu diễn bởi điểm M (a; 5). y y x O O 3 x Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x = 3 5 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y = 5 Ví dụ 32. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn: a) phần thực thuộc khoảng (2; 3); b) phần ảo thuộc đoạn [3; 3]. Lời giải: GV: PHÙNG HOÀNG EM 19 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC a) Số phức z có phần thực thuộc khoảng (2; 3) được biểu diễn bởi điểm M (a; b) với a (2; 3). b) Số phức z có phần ảo thuộc khoảng [3; 3] được biểu diễn bởi điểm M (a; b) với b [3; 3]. y y 3 x O 2 O 3 x 3 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = 2 và x = 3 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng y = 3 và y = 3, kể cả các điểm nằm trên hai đường thẳng này Ví dụ 33. Tìm tập hợp điểm M thỏa: z + z + 3 = 4. Lời giải: Gọi M (x, y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, với x, y R. ƾ |z + z + 3| = 4 |x + yi + x yi + 3| = 4 |2x + 3| = 4 1 x= 2x + 3 = 4 2 7 2x + 3 = 4 x= 2 ƾ Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng x = 1 7 hoặc đường thẳng x = 2 2 Ví dụ 34. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z 1 + i| = 1. Lời giải: Gọi M (x, y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, với x, y R. Từ giả thiết ta có: ƾ |z 1 + i| = 1 |(x 1) + (y + 1)i| = 1 (x 1)2 + (y + 1)2 = 1; ƾ Vậy, tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính bằng R = 1. Ví dụ 35. Cho các số phức z thỏa mãn |zi (2 + i)| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. Lời giải: Gọi M (x, y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, với x, y R. Từ giả thiết ta có: ƾ |zi (2 + i)| = 2 |y 2 + (x 1)i| = 2 (x 1)2 + (y + 2)2 = 4; ƾ Vậy, tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm I(1; 2), bán kính bằng R = 2. GV: PHÙNG HOÀNG EM 20 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC Ví dụ 36. Cho các số phức z thỏa mãn |z 1| + |z 1| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó. Lời giải: Gọi M (x, y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, với x, y R. Từ giả thiết ta có: ƾ |x + yi 1| + |x yi 1| = 2 (x 1)2 + y 2 + (x 1)2 + y 2 = 2 (x 1)2 + y 2 = 1; ƾ Vậy, tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm I(1; 0), bán kính bằng R = 1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4 Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của các số phức z = 5 bi, với b R luôn nằm trên đường có phương trình nào trong các phương trình sau đây? A. x = 5. B. y = 3. C. y = x. D. y = x + 3. a + a2 i, với a R. Khi đó điểm biểu diễn số phức z 2 nằm trên trên đường có phương trình nào trong các phương trình sau đây? x2 y2 B. Parabol y = . A. Parabol x = . 2 2 x C. Đường thẳng y = . D. Parabol y = 4x2 . 2 Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho số phức z = Câu 3. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ biết |z + 2i| = 5. A. Đường tròn x2 + (y 2)2 = 25. B. Đường tròn x2 + (y + 2)2 = 25. C. Đường tròn x2 + (y + 2)2 = 5. D. Đường tròn (x + 2)2 + y 2 = 25. Câu 4. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 2 i| = 3. A. Đường tròn tâm I(2; 1), bán kính R = 1. B. Đường tròn tâm I(2; 1), bán kính R = C. Đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R = 3. D. Đường tròn tâm I(2; 1), bán kính R = 3. 3. Câu 5. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z i| 1. A. Hình tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2. B. Hình tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 1. C. Hình tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 1. D. Hình tròn tâm I(1; 0), bán kính R = 1. Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện |z + 1 2i| 2 là hình tròn có diện tích S bằng A. S = 4π. B. S = 4π 2 . C. S = 2π. D. S = 2 2π. Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn |23i2017 + z| = 4 là A. đường tròn tâm I(2; 3), bán kính R = 4. B. đường tròn tâm I(2; 3), bán kính R = 4. C. đường tròn tâm I(2; 3), bán kính R = 16. D. đường tròn tâm I(2; 3), bán kính R = 16. Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |zi (2 + i)| = 2. A. Đường thẳng x + 2y 1 = 0. 2 B. Đường thẳng 3x + 4y 2 = 0. 2 D. Đường tròn (x + 1)2 + (y 2)2 = 9. Câu 9. Cho các số phức z thỏa mãn 1 + i 3 z + 3 i 3 = 1. Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đó. A. I 0; 3 . B. I 0; 3 . C. I 3; 0 . D. I 3; 0 . C. Đường tròn (x 1) + (y + 2) = 4. GV: PHÙNG HOÀNG EM 21 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC Câu 10. Gọi (H) là hình gồm các điểm M là biểu diễn hình học của số phức z thỏa mãn |z+3|2 +|z3|2 = 50. Tính diện tích S của hình (H). A. S = 16π. B. S = 15π. C. S = 20π. D. S = 8π. Câu 11. Cho số phức z có |z| = 5. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (2 + 3i)z 5 trong mặt phẳng tọa độ là một đường tròn. Xác định tọa độ tâm của đường tròn đó. A. I(5; 0). B. I(3; 1). C. I(0; 0). D. I(5; 0). Câu 12. Cho số phức z thay đổi thỏa mãn |z| = 2 và ω = (1 2i).z + 3i. Tập hợp biểu diễn số phức ω là A. đường tròn x2 + (y + 3)2 = 20. B. đường tròn x2 + (y 3)2 = 20. C. đường tròn (x 30)2 + y 2 = 2 5. D. đường tròn x2 + (y 3)2 = 2 5. Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (3 4i)z 1 + 2i là đường tròn tâm I, bán kính R. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó. A. I(1; 5), R = 5. B. I(1; 2), R = 5. C. I(1; 2), R = 5. D. I(1; 2), R = 5. Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn |z 1| = 2 và w = 1 + 3i z + 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn, tìm bán kính đường tròn đó. A. R = 3. B. R = 2. C. R = 4. D. R = 5. Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn z i = 2. Biết tập các điểm biểu diễn số phức w = 1 + i 3 z + 2 là đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R = 2. B. R = 6. C. R = 5. D. R = 4. Câu 16. Cho số phức z và w thỏa mãn |z| = 3, iw = (3 + 4i)z 2i. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r = 15. B. r = 2. C. r = 10. D. r = 5. (2 i)z 3i 1 Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn = 4. Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = zi 1 trên mặt phẳng tọa độ là một đường tròn. Tìm bán kính R của đường tròn đó. iz + 1 A. R = 4. B. R = 4 5. C. R = 8. D. R = 2 2. Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn |z + 2| + |z 2| = 8. Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm biểu diễn cho số phức z là x2 y2 x2 y2 + = 1. B. (E) : + = 1. A. (E) : 16 12 12 16 2 2 2 C. (C) : (x + 2) + (y 2) = 64. D. (C) : (x + 2) + (y 2)2 = 8. Câu 19. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thoả mãn điều kiện |z 2| + |z + 2| = 10. x2 y 2 A. Đường tròn (x 2)2 + (y + 2)2 = 100. B. Elip + = 1. 25 4 2 2 x y C. Đường tròn (x 2)2 + (y + 2)2 = 10. D. Elip + = 1. 25 21 Câu 20. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |z + 3| = |2i z|. 3 5 3 5 A. Đường thẳng y = x . B. Đường thẳng y = x . 2 4 2 4 3 5 3 5 C. Đường thẳng y = x + . D. Đường thẳng y = x + . 2 4 2 4 Câu 21. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn |z| = |z 3 + 4i| GV: PHÙNG HOÀNG EM 22 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC A. Đường thẳng 2x 3 = 0. B. Đường thẳng y 2 = 0. C. Đường thẳng 6x 8y 25 = 0. D. Đường thẳng 6x + 8y 25 = 0. Câu 22. Biết rằng trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z 3 + i| = |¯ z + 1 2i| là một đường thẳng. Hãy xác định phương trình của đường thẳng đó. A. 8x + 6y + 5 = 0. B. 8x 2y 5 = 0. C. 8x + 2y 5 = 0. D. 8x 6y 5 = 0. Câu 23. Hãy xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho 1 là số zi thuần ảo. A. Trục tung, bỏ điểm (0; 1). B. Trục hoành, bỏ điểm (1; 0). C. Đường thẳng y = 1, bỏ điểm (0; 1). D. Đường thẳng x = 1, bỏ điểm (1; 0). Câu 24. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa |z i| = |2 3i z|. A. Đường tròn có phương trình x2 + y 2 = 4. B. Đường thẳng có phương trình x 2y 3 = 0. C. Đường thẳng có phương trình x + 2y + 1 = 0. D. Elip có phương trình x2 + 4y 2 = 4. Câu 25. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện (z 2)(2 + 3i) là một số thuần ảo. A. Đường thẳng 2x 3y 4 = 0. B. Đường tròn (x + 1)2 + y 2 = 1. C. Đường tròn đơn vị x2 + y 2 = 1. D. Đường thẳng x = 2. Câu 26. Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy tập T các điểm biểu diễn các số phức z thỏa |z| = 10 và phần ảo của z bằng 6. A. T là đường tròn tâm O bán kính R = 10. B. T = {(8; 6), (8; 6)}. C. T là đường tròn tâm O bán kính R = 6. D. T = {(6; 8), (6; 8)}. Câu 27. Gọi (H) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: |z 2z| = 6. Hình (H) có diện tích là A. 24π. B. 8π. C. 12π. D. 10π. Câu 28. Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn |z + 2i| = 5 và điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ thuộc đường thẳng d : 2x + y 3 = 0. A. z = 2 + i. B. z = 2 + i. C. z = 2 i. D. z = 2 i. Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn |z i| = |z + 3i|. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z. A. Một đường thẳng. B. Một đường tròn. C. Một hyperbol. D. Một elip. Câu 30. Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện |z + 2| = |i z| là đường thẳng có phương trình A. 2x + 4y + 13 = 0. B. 4x + 2y + 3 = 0 . C. 2x + 4y 13 = 0. D. 4x 2y + 3 = 0. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 4 1. A 11. D 21. D 2. D 12. B 22. C 3. B 13. D 23. A GV: PHÙNG HOÀNG EM 4. D 14. C 24. B 5. B 15. D 25. A 6. A 16. A 26. B 7. B 17. A 27. C 8. C 18. A 28. D 9. A 19. D 29. A 10. A 20. B 30. B 23 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC Dạng 9. Max- min của mô-đun số phức Các phương pháp thường dùng: 1. Tính toán mô-đun theo một ẩn, sau đó dùng khảo sát hàm số. 2. Dùng bất đẳng thức: ƾ Cauchy: Với a1 , a2 , ..., an là các số thực không âm, ta luôn có: a1 + a2 + ... + an n a1 a2 ...an n Dấu "=" xảy ra khi a1 = a2 = ... = an . ƾ Bunhiacopxki: (a1 b1 + a2 b2 )2 (a21 + a22 )(b21 + b22 ). Dấu "=" xảy ra khi a1 a2 = . b1 b2 ƾ ||z1 | |z2 || |z1 + z2 | |z1 | + |z2 |. 3. Dùng hình học ƾ Cho : ax + by + c = 0 và điểm M (x0 ; y0 ). Điểm H sao cho M H nhỏ nhất thì H là hình chiếu vuông góc của M trên . c y z min = OH1 = d(O, ) = 2 a + b2 z (x0 + y0 i) min = M H2 = d(M, ) = ax0 + by0 + c a2 + b2 H2 H1 M Tọa độ H1 = OH1 ; H2 = M H2 x O y ƾ Cho (C) có tâm I(a; b), bán kính R và điểm M (x0 ; y0 ). Xét điểm H (C). Khi đó: H I M Hmin khi H trùng E. Suy ra: M E = IM R ; E M M Hmax khi H trùng F . Suy ra M F = IM + R . F O x Ví dụ 37. Trong tất cả các số z có dạng z = a 3 + 2 a i với a là số thực, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất? Lời giải: ƾ z = a3 2 + 2a 2 = 2a2 10a + 13 = 2 a 5 2 2 + 1 2 1 . 2 5 1 1 ƾ Dấu = xảy ra khi a = . Vậy, z = i. 2 2 2 Ví dụ 38. Xét tất cả các số phức z thỏa mãn |z + 2 2i| = |z 4i|. Tìm mô-đun nhỏ nhất của số phức w = iz + 1. Lời giải: Xét các số phức z = x + yi, với x, y R có điểm biểu diễn là M (x, y). Khi đó: GV: PHÙNG HOÀNG EM 24 GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐ PHỨC ƾ |z + 2 2i| = |z 4i| = |x + 2 + (y 2)i| = |x + (y 4)i| x + y = 2 y = 2 x; x2 + (y 1)2 = ƾ ω = iz + 1 = 1 y + xi |ω| = x2 + (x 1)2 = 2 x 1 2 2 + 1 2 1 2 ƾ min |ω| = 2 1 3 . Dấu bằng xảy ra khi x = , y = 2 2 2 Ví dụ 39. Cho số phức z thỏa mãn |z 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|. Lời giải: ƾ Ta có |z 3 + 4i| = 4 nên tập hợp điểm M biểu diễn z thuộc đường trong tâm (I (3; 4), bán kính R = 4. y 3 O x ƾ Ta có: |z| = OM . Bài toán trở thành "Tìm điểm M (C) sao cho OMmin ". 4 min |z| = OI R = 1 ƾ Tính IO = 32 + 42 = 5. Vậy max |z| = OI + R = 5 + 4 = 9 Ví dụ 40. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 + 3i = I 3 , tìm số phức có mô-đun 2 nhỏ nhất. Lời giải: Xét các số phức z = x + yi, với x, y R có điểm biểu diễn là M (x, y). 3 ƾ Từ điều kiện |z 2+3i| = , suy ra M thuộc đường tròn (C) có tâm I(2; 3), y 2 3 bán kính R = . 2 O 2 x ƾ Ta có: |z| = OM . Bài toán trở thành "Tìm điểm M (C) sao cho OMmin ". x xO y yO 3 = OI : 3x + 2y = 0 xI xO yI yO 26 3 13 78 9 13 ƾ M = OI (C), với xM < 2. Suy ra, tọa độ M ; . 13 26 ƾ Phương trình OI : I Ví dụ 41. Với hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và |z1 z2 | = 2, tìm giá trị lớn nhất K của biểu thức P = |z1 | + |z2 |. Lời giải: Xét hình bình hành OACB như hình vẽ, điểm A, B lần lượt biểu diễn cho số phức z1 , z2 . Khi đó: y ƾ OA = |z1 |, OB = |z2 |, OC = |z1 + z2 |, AB = |z1 z2 |; C ƾ Ta luôn có: A 2 2 2 2 |z1 + z2 | + |z1 z2 | = 2 |z1 | + |z2 | B |z1 | + |z2 | 2 2 |z1 | + |z2 | 2 2 2 O x ƾ Từ giả thiết: |z1 z2 | = 2, |z1 + z2 | = 10. Suy ra: |z1 | + |z2 | = 52. Từ đó, ta có: |z1 | + |z2 | 2 |z1 |2 + |z2 |2 = 2 26 GV: PHÙNG HOÀNG EM 25 |
