Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có đồ thị gọi là đường cong $(C)$ và $$y’=f'(x)=3ax^2+2bx+c$$ Nhận thấy $y’$ là một tam thức bậc hai có $$\Delta’_{y’}=b^2-3ac.$$ Do đó. có hai khả năng sau:
Thật vậy, giả sử phương trình \(f'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thì ta có $f'(x_1) = f'(x_2)=0$ và toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng \(A(x_1; f(x_1))\), \(B(x_2; f(x_2))\). Thực hiện phép chia \(f(x)\) cho \(f'(x)\) và giả sử ta được thương \(q(x)\) và dư là \(r(x)\) ($r(x)$ có dạng $kx+m$) tức là \[f(x)=q(x)\cdot f'(x)+r(x).\] Suy ra, $$f(x_1)=q(x_1)\cdot f'(x_1)+r(x_1)=r(x_1),$$ vì $f'(x_1)=0$. Hay toạ điểm $A$ là $(x_1,r(x_1))$. Tương tự tính được toạ độ điểm $B$ là $(x_2,r(x_2))$. Như vậy toạ độ hai điểm \(A, B\) đều thỏa mãn phương trình \(y=r(x)=kx+m\) hay đường thẳng \(y=kx+m\) chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho. 2. Ví dụ minh hoạĐề bài. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^3-2x^2-x+1\). Hướng dẫn. Ta có \(f'(x)=3x^2-4x-1\). Thực hiện phép chia đa thức \(f(x)\) cho \(f'(x)\) ta được thương là \(\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}\) và dư là \(-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\). Suy ra phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(y=-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).
Xem thêm: Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng
Trong các đề thi đại học, một phần không thể thiếu là các bài toán về cực trị của hàm số. Một dạng toán thường hay gặp là tìm giá trị tham số để hàm số có cực trị và cực trị thỏa tính chất P nào đó. Bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba đóng vai trò quan trọng và có nhiều dạng toán cần sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Đang xem: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị Trong một bài viết nhỏ này, chúng ta sẽ bàn về cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba (nếu có ) và các ứng dụng của nó. I – ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ BẬC BA CÓ CỰC TRỊ Xét hàm số  có Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua hai nghiệm đó. Khi đó, nếu là điểm cực trị thì giá trị cực trị được tính như sau: II – ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ 1. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị Giả sử hàm số bậc ba có hai điểm cực trị là . Khi đó, thực hiện phép chia cho ta được : Do đó, ta có: Suy ra, các điểm nằm trên đường thẳng 2. Áp dụng a) Có thể sử dụng phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu để tìm cực trị khi biết điểm cực trị của hàm số. b) Vận dụng hệ thức Vi-et và phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu để giải quyết bài toán tìm giá trị tham số để hàm số có CĐ, CT thỏa tính chất P. Xem thêm: Tính Cách Con Gái Nghệ An, Anh Nhé, Người Nghệ Thấy Đúng Mới Phò III- MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số sau a) b) Giải: a) Ta có: có hai nghiệm phân biệt. Thực hiện phép chia cho ta được Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là . b) Ta có có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: Ví dụ 2: Cho hàm số ( m là tham số ) a) Tìm để hàm số có cực đại cực tiểu. b) Với như trên hãy viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Giải: a) Ta có: 0″ class=”latex” /> Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi b) Thực hiện phép chia y cho y’, ta được : Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: Ví dụ 3: Cho hàm số (1) Tìm để hàm số (1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng Giải: Ta có: Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi 0″ class=”latex” /> (1) Thực hiện phép chia cho ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là: . Xem thêm: Tính Cách Phù Hợp Với Nghề Nhân Sự, Những Phẩm Chất Cần Có Của Một Người Làm Nhân Sự Để đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng ta phải có: Kết hợp với điều kiện (1), ta có giá trị cần tìm là : ; Ví dụ 4: Cho hàm số . Tìm để đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng . Giải: Ta có: Hàm số có cực đại, cực tiểu 0\Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} m>\sqrt {21}\\ m Thực hiện phép chia cho ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là: Để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm sô vuông góc với đường thẳng , ta phải có: Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình |
