Đề bài
Cho hình hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) nội tiếp trong một hình trụ cho trước, góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) và mặt phẳng \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\) bằng 300. Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\) bằng \({3 \over 2}a\). Tính thể tích hình hộp đã cho và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp, biết đường kính của đáy hình trụ bằng5a.
Lời giải chi tiết
Vì hình hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) nội tiếp hình trụ nên \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình hộp chữ nhật, trục hình trụ làOO1( đoạn nối tâm hai đáy của hình hộp ) và khoảng cách từOO1đến mặt phẳng \((AB{B_1}{A_1})\) bằng nửaAD. Từ đóAD = 3a.
BDlà đường kính của đường tròn đáy hình trụ nênBD=5a, suy ra
\(A{B^2} = B{D^2} - A{D^2} = 16{a^2}\), tức là AB = 4a,
Dễ thấy \(\widehat {D{B_1}A}\) là góc giữa \({B_1}D\) và mặt phẳng \((AB{B_1}{A_1})\), theo giả thiết thì \(\widehat {D{B_1}A}\) = 300, từ đó \({B_1}D = 2AD = 6a.\)
Vậy \(BB_1^2 = {B_1}{D^2} - B{D^2} \)
\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \;= 36{a^2} - 25{a^2} = 11{a^2} \cr
& \Rightarrow B{B_1} = a\sqrt {11} \cr} \)
Do đó thể tích hình hộp đã cho là:
\(V = AB.AD.B{B_1} = 4a.3a.a\sqrt {11} = 12{a^3}\sqrt {11} \)
GọiOlà trung điểm của \(O{O_1}\) thìOlà tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) và bán kính của mặt cầu đólà \(R = {1 \over 2}{B_1}D = 3a.\)
Từ đó thể tích hình cầu phải tìm là
\(V = {4 \over 3}\pi {R^3} = {4 \over 3}\pi .27.{a^3} = 36\pi {a^3}.\)