\(\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} \ge {x^2}y + x{y^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^2}y} \right) - \left( {x{y^2} - {y^3}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - y} \right) - {y^2}\left( {x - y} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}\left( {x + y} \right) \ge 0\,\left( {dung} \right)\end{array}\) Đề bài Chứng minh rằng: \({x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\), \(x 0, y 0\). Video hướng dẫn giải Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng từ bất đẳng thức \((x - y)^2\ge0\) Lời giải chi tiết Ta có: \((x - y)^2\ge0\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} \ge xy\) Do \(x 0, y 0\) \(\Rightarrow x + y 0\) Ta có \(\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)({x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy){\rm{ }} \ge \left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)xy\) \(\Leftrightarrow {x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\) Cách khác: \(\begin{array}{l} (Do\({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) và\(x,y \ge 0 \Rightarrow x + y \ge 0\) Dấu "=" xảy ra khi\({\left( {x - y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = y\)
|
