Câu 1: Cho các dữ kiện sau: A. (1): trung hòa; (2): hạt nhân; (3): điện tích âm. a) Tính lực hút tĩnh điện giữa hạt nhân trong nguyên tử heli với một êlectron trong lớp vỏ nguyên tử. Cho rằng êlectron này nằm cách hạt nhân 2,94.10-11 m. b) Nếu êlectron này chuyển động tròn đều quanh hạt nhân với bán kính quỹ đạo như đã cho ở trên thì tốc độ góc của nó sẽ là bao nhiêu ? c) So sánh lực hút tĩnh điện với lực hấp dẫn giữa hạt nhân và êlectron. Điện tích của êlectron : -1,6.10-19C. Khối lượng của êlectron : 9,1.10-31kg. Khối lượng của hạt nhân heli 6,65.10-27kg. Hằng số hấp dẫn \(6,{67.10^{ - 11}}\) m3/kg.s2. + Sử dụng biểu thức định luật Cu-long: \(F=\dfrac{kq_1q_2}{r^2}\) + Sử dụng biểu thức tính lực hướng tâm: \({F_{ht}} = m{a_{ht}} = m{\omega ^2}r\) + Sử dụng biểu thức tính lực hấp dẫn: \({F_{hd}} = G\dfrac{{{m_1}.{m_2}}}{{{r^2}}}\) Lời giải chi tiết Ta có: + Hạt nhân là proton có điện tích dương \({p_0} = 1,{6.10^{ - 19}}C\) Hạt nhân nguyên tử Heli có 2 proton => Điện tích của hạt nhân nguyên tử Heli là \(p = 2{p_0} = 2.1,{6.10^{ - 19}} = 3,{2.10^{ - 19}}C\) + Electron là điện tích âm \(e = - 1,{6.10^{ - 19}}C\) a) Lực hút tĩnh điện giữa hạt nhân trong nguyên tử Heli với một electron trong lớp vỏ nguyên tử: \(F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{{r^2}}} = k\dfrac{{\left| {q.e} \right|}}{{{r^2}}} \\= {9.10^9}\dfrac{{\left| {3,{{2.10}^{ - 19}}.\left( { - 1,{{6.10}^{ - 19}}} \right)} \right|}}{{{{\left( {2,{{94.10}^{ - 11}}} \right)}^2}}} \\= 5,{33.10^{ - 7}}N\) b) Electron khi chuyển động xung quanh hạt nhân thì khi đó lực hút tĩnh điện đóng vai trò là lực hướng tâm Ta có: \(F = {F_{ht}} = m{a_{ht}} = m{\omega ^2}r\) Ta suy ra tốc độ góc của electron là: \(\omega = \sqrt {\dfrac{F}{{mr}}} \\= \sqrt {\dfrac{{5,{{33.10}^{ - 11}}}}{{9,{{1.10}^{ - 31}}.2,{{94.10}^{ - 11}}}}} \\= 1,{41.10^{17}}\left( {rad/s} \right)\) c) Lực hấp dẫn giữa hạt nhân và electron là: \({F_{hd}} = G\dfrac{{{m_{hn}}.{m_e}}}{{{r^2}}} \\= 6,{67.10^{-11}}.\dfrac{{6,{{65.10}^{ - 27}}.9,{{1.10}^{ - 31}}}}{{{{\left( {2,{{94.10}^{ - 11}}} \right)}^2}}} \\= 4,{67.10^{ - 46}}N\) Ta có: \(\dfrac{F}{{{F_{hd}}}} = \dfrac{{5,{{33.10}^{ - 7}}}}{{4,{{67.10}^{ - 46}}}} = 1,{14.10^{39}}\) Nguyên tử heli là nguyên tử đơn giản nhất kế tiếp sau nguyên tử hydro. Nguyên tử heli được cấu tạo từ hai electron quay quanh một hạt nhân chứa hai proton cùng với một hay hai neutron. Mô hình nguyên tử của Niels Bohr đã cho một lời giải thích rất chính xác về quang phổ của hydro, nhưng lại hoàn toàn bất lực trước heli. Cơ học lượng tử với công cụ mạnh là phương trình Schrödinger có thể cho lời giải chính xác đối với bài toán nguyên tử hydro nhưng cũng chỉ có thể giải gần đúng trường hợp của heli. Toán tử Hamilton của nguyên tử heli được cho bởi H=−ℏ22μ∇r12−ℏ2M∇r1∇˙r2−Ze24πϵ0r1−Ze24πϵ0r2+e24πϵ0r12{\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla _{r_{1}}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{M}}\nabla _{r_{1}}{\dot {\nabla }}_{r_{2}}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{1}}}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{2}}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{12}}}} trong đó μ=mMm+M{\displaystyle \mu ={\frac {mM}{m+M}}} là khối lượng thu gọn của một electron đối với hạt nhân r12=|r1→−r2→|{\displaystyle r_{12}=|{\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}}|}. Ta sẽ coi M=∞{\displaystyle M=\infty } để cho μ=m{\displaystyle \mu =m} và số hạng phân cực khối lượng ℏ2M∇r1∇˙r2{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{M}}\nabla _{r_{1}}{\dot {\nabla }}_{r_{2}}} biến mất. Để đơn giản, phương trình Schrödinger được viết trong hệ đơn vị nguyên tử (a.u.) như sau HΨ(r→1,r→2)=[−12∇r12−12∇r22−Zr1−Zr2+1r12]Ψ(r→1,r→2){\displaystyle H\Psi ({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})={\Bigg [}-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{1}}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{2}}^{2}-{\frac {Z}{r_{1}}}-{\frac {Z}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{12}}}{\Bigg ]}\Psi ({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})} (Ta đã sử dụng ký hiệu Ψ{\displaystyle \Psi } (viết hoa) cho hàm sóng toàn phần của nguyên tử và sẽ dùng ký hiệu ψ{\displaystyle \psi } (thường) cho hàm sóng của một electron.) Sự hiện diện của số hạng tương tác electron-electron 1r12{\displaystyle {\frac {1}{r_{12}}}} làm cho phương trình này không thể phân li được do Hamiltonian của hệ không thể viết được dưới dạng tổng của các Hamiltonian cho mỗi electron dẫn đến hàm sóng nguyên tử Ψ(r→1,r→2){\displaystyle \Psi ({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})} không thể viết được dưới dạng một tích đơn giản duy nhất của các hàm sóng một electron. Điều này nghĩa là hàm sóng bị "vướng" (vướng lượng tử). Các phép đo không thể được thực hiện trên một hạt mà không gây ảnh hưởng tới hạt kia. Tuy nhiên bài toán nguyên tử heli vẫn có thể được giải gần đúng bằng các phương pháp như phương pháp Hartree-Fock. Phương pháp Hartree-Fock được sử dụng cho nhiều hệ thống nguyên tử khác nhau. Bài toán nhiều hạt đối với nguyên tử heli và một số ít hệ nhiều electron khác có thể giải khá chính xác. Thí dụ như trạng thái cơ bản của heli được tính toán chính xác tới 15 con số sau dấu phẩy! Trong lý thuyết Hartree-Fock, các electron trong nguyên tử được giả định là chuyển động trong một trường lực hiệu dụng tạo bởi hạt nhân và những electron còn lại gọi là trường tự hợp SCF. Toán tử Hamilton cho heli với 2 electron có thể được viết dưới dạng: H=H(0)+H(1){\displaystyle H=H^{(0)}+H^{(1)}} trong đó Hamiltonian không nhiễu loạn bậc không là H(0)=−12∇r12−12∇r22−Zr1−Zr2{\displaystyle H^{(0)}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{1}}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{2}}^{2}-{\frac {Z}{r_{1}}}-{\frac {Z}{r_{2}}}} Trong khi số hạng nhiễu loạn: H(1)=1r12{\displaystyle H^{(1)}={\frac {1}{r_{12}}}} là tương tác electron-electron. H(0){\displaystyle H^{(0)}} chính là tổng của hai toán tử Hamilton dạng hydro (một hạt nhân, một electron): H(0)=∑i=12h^i=h^1+h^2{\displaystyle H^{(0)}=\sum _{i=1}^{2}{\hat {h}}_{i}={\hat {h}}_{1}+{\hat {h}}_{2}} trong đó h^i=−12∇ri2−Zri,i=1,2{\displaystyle {\hat {h}}_{i}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{i}}^{2}-{\frac {Z}{r_{i}}},i=1,2} Eni, các trị riêng năng lượng và ψn,l,m(r→i){\displaystyle \psi _{n,l,m}({\vec {r}}_{i})}, hàm riêng tương ứng của Hamiltonian dạng hydro là các hàm riêng và trị riêng đã chuẩn hóa. Như vậy: h^iψn,l,m(ri→)=Eniψn,l,m(ri→){\displaystyle {\hat {h}}_{i}\psi _{n,l,m}({\vec {r_{i}}})=E_{n_{i}}\psi _{n,l,m}({\vec {r_{i}}})} trong đó Eni=−12Z2ni2a.u.{\displaystyle E_{n_{i}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {Z^{2}}{n_{i}^{2}}}a.u.} Bỏ qua số hạng tương tác đẩy giữa hai electron, phương trình Schrödinger cho phần không gian của hàm sóng hai electron sẽ thu về phương trình bậc không: H(0)Ψ(0)(r→1,r→2)=E(0)Ψ(0)(r→1,r→2){\displaystyle H^{(0)}\Psi ^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=E^{(0)}\Psi ^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})} Phương trình này có thể phân li được và các hàm riêng có thể được viết dưới dạng một tích của các hàm sóng dạng hydro của mỗi electron: Ψ(0)(r→1,r→2)=ψn1,l1,m1(r→1)ψn2,l2,m2(r→2){\displaystyle \Psi ^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=\psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({\vec {r}}_{1})\psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({\vec {r}}_{2})} Các trị riêng tương ứng (trong hệ a.u.): En1,n2(0)=En1+En2=−Z22[1n12+1n22]{\displaystyle E_{n_{1},n_{2}}^{(0)}=E_{n_{1}}+E_{n_{2}}=-{\frac {Z^{2}}{2}}{\Bigg [}{\frac {1}{n_{1}^{2}}}+{\frac {1}{n_{2}^{2}}}{\Bigg ]}} Chú ý rằng hàm sóng Ψ(0)(r→2,r→1)=ψn1,l1,m1(r→2)ψn2,l2,m2(r→1){\displaystyle \Psi ^{(0)}({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})=\psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({\vec {r}}_{2})\psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({\vec {r}}_{1})} cũng là nghiệm khả dĩ của phương trình. Một sự tráo đổi nhãn số của các electron không làm thay đổi năng lượng của hệ En1,n2(0){\displaystyle E_{n_{1},n_{2}}^{(0)}}. Vì các hàm sóng không gian chính xác của nguyên tử hai electron phải hoặc là đối xứng hoặc phản đối xứng đối với phép hoán đổi các tọa độ r→1{\displaystyle {\vec {r}}_{1}} và r→2{\displaystyle {\vec {r}}_{2}} của hai electron nên hàm sóng trong thực tế khi đó phải được tạo bởi các tổ hợp tuyến tính đối xứng (+) và phản đối xứng (-): ψ±(0)(r→1,r→2)=12[ψn1,l1,m1(r→1)ψn2,l2,m2(r→2)±ψn2,l2,m2(r→1)ψn1,l1,m1(r→2)]{\displaystyle \psi _{\pm }^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}[\psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({\vec {r}}_{1})\psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({\vec {r}}_{2})\pm \psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({\vec {r}}_{1})\psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({\vec {r}}_{2})]} Thừa số 12{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} là để chuẩn hóa hàm sóng Ψ±(0){\displaystyle \Psi _{\pm }^{(0)}}. Để đưa hàm sóng này về dạng một tích của các hàm sóng một hạt, chúng ta sử dụng một thực tế rằng đây là trạng thái cơ bản. Do đó n1=n2=1,l1=l2=0,m1=m2=0{\displaystyle n_{1}=n_{2}=1,\,l_{1}=l_{2}=0,\,m_{1}=m_{2}=0}. Và do đó ψ−(0){\displaystyle \psi _{-}^{(0)}} triệt tiêu, phù hợp với nguyên lý Pauli phát biểu rằng hai fermion không thể cùng chiếm một trạng thái lượng tử. Nói một cách khác do trạng thái cơ bản là trạng thái mà hai electron cùng chiếm một orbital không gian 1s nên chúng phải có spin đối song, tức là hàm spin nguyên tử là phản đối xứng, trong khi đó do tính chất phản đối xứng của hàm sóng đầy đủ (spin-orbital) của các fermion nên hàm sóng không gian của nguyên tử lại phải đối xứng. Như vậy hàm sóng nguyên tử heli có thể viết Ψ1s(0)(r→1,r→2)=ψ1s(r1→)ψ1s(r2→)=Z3πe−Z(r1+r2){\displaystyle \Psi _{1s}^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=\psi _{1s}({\vec {r_{1}}})\psi _{1s}({\vec {r_{2}}})={\frac {Z^{3}}{\pi }}e^{-Z(r_{1}+r_{2})}} trong đó ψ1{\displaystyle \psi _{1}} and ψ2{\displaystyle \psi _{2}} sử dụng các hàm sóng AO 1s dạng hydro. Đối với heli, Z = 2 nên E1s(0)=En1=1,n2=1(0)=−Z2 a.u.{\displaystyle E_{1s}^{(0)}=E_{n_{1}=1,\,n_{2}=1}^{(0)}=-Z^{2}{\text{ a.u.}}} trong đó E1s(0)=−4{\displaystyle E_{1s}^{(0)}=-4} a.u. (≃−108.8eV{\displaystyle \simeq -108.8eV}), tương ứng với một thế ion hóa I(0)=2{\displaystyle I^{(0)}=2} a.u. (≃54.4eV{\displaystyle \simeq 54.4eV}). Giá trị thu được từ thực nghiệm là E1s=−2.90{\displaystyle E_{1s}=-2.90} a.u. (≃−79.0eV{\displaystyle \simeq -79.0eV}) và I=0.90{\displaystyle I=0.90} a.u. (≃24.6eV{\displaystyle \simeq 24.6eV}). Năng lượng mà chúng ta đã thu được là quá thấp bởi vì số hạng đẩy giữa các electron có tác dụng tăng mức năng lượng đã bị bỏ qua. Khi Z trở nên lớn hơn, cách tiếp cận của chúng ta sẽ cho những kết quả tốt hơn vì các số hạng đẩy giữa các electron sẽ trở nên nhỏ hơn. Cho tới đây một sự gần đúng các hạt độc lập hết sức thô thiển đã được sử dụng, trong đó số hạng đẩy electron-electron bị bỏ qua hoàn toàn. Việc tách toán tử Hamilton như được chỉ ra dưới đây sẽ cải thiện các kết quả: |
