PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GV Toán Lê Bá Bánh@ @ A.Dùng công thức lượng giác đưa về dạng cơ bản Bài 1 Giải phương trình : a) cos 2 cos 03x xπ + − = ÷ b) sin 2 s nx 04x iπ − + = ÷ c) cos sin 35x xπ + = ÷ d) cos sin 4 0x x+ = e) 2cos 2 cos 1 2sin 2 sinx x x x= + f) ( )sin 3 .cos os3 1 sinx x c x x= + g) 3 os2 cos 2 1 02c x xπ + + + = ÷ h) ( ) ( )3cos 4 3 sin 4 5 sin cos2 2x x x xπ ππ π + + + = + + − ÷ ÷ i) 2 2sin cos 26x xπ + = ÷ i) ( ) ( )2cos 1 sin cos 1x x x− + = Bài 2: Giải phương trình 2 22sin .sin cos 2 sin 22x x x xπ + = − ÷ với 0 xπ< < Bài 3: Giải phương trình 4 45sin cos8x x+ = với 0 090 270x< < Bài 4: Tính tổng các nghiệm của phương trình 4 4 6 63sin cos sin cos4x x x x+ + + = .với 0 20xπ≤ ≤ Bài 5: Phương trình ( )2 23sin 1 4sin sin 2cosx x x x+ = + có bao nhiêu nghiệm [ ]0;2π∈ Bài 6: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình : ( )22sin 3 cos3 2cos 4x x x+ = B. Phương trình lượng giác có điều kiện Bài 7: Giải phương trình tan3 .cot 1x x = − ĐS: 34 4x l x lπ ππ π= + ∪ = + Bài 8: Giải phương trình t anx 3tan31 3 t anxx−=+ ĐS: 3x mππ= + Bài 9 : Giải phương trình 3 18sincos sinxx x= + ĐS: 6 12 2x k x lπ π ππ= + ∪ = − + Bài 10: Giải phương trình 2 22cos 1sin .sin sin2cos 1xx x xx−− =− với 0 2xπ≤ ≤ Bài 11: Giải các phương trình : a) 1cot t anxsinxx= + b) sin 3 sinsin 2 os21 cos 2x xx c xx−= +− c) 22sin 3 1 8sin 2 .cos 24x x xπ + = + ÷ d) 3 3 2cos cos3 sin .sin cos 2x x x x x− = thỏa mãn điều kiện sin 3 04xπ − ≥ ÷ e) ( )24 . sin 2 3cos 0x x xπ π− − = C. Phương trình đưa về dạng tích. Bài 12:Giải phương trình ( ) ( )2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = − ĐS: 22 4x k x lπ ππ π= ± + ∪ = − + Bài 13: Giải phương trình 1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x+ + + + = ĐS: 224 3x k x lπ ππ π= − + ∪ = ± +1 Bài 14: Tìm x thuộc đoạn [ ]0;14 nghiệm đúng phương trình: cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − = . ĐS: 3 5 7; ; ;2 2 2 2xπ π π π = Bài 15: Giải phương trình 2 2 2 2sin `3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − ĐS: 9 2k lx xπ π= ∪ = Bài 16: Giải phương trình sin sin 2 sin 3 sin 4 sin5 sin 6 0x x x x x x+ + + + + = ĐS: 227 3kx x l x mπ ππ π π= ∪ = + ∪ = ± + Bài 17: Giải phương trình : 3 3 2cos 4sin 3cos .sin sin 0x x x x x− − + = ĐS : 6 4x k x lπ ππ π= ± + ∪ = − + Bài 18: Giải phương trình : 3 3 1cos . os .cos sin .sin .sin2 2 2 2 2x x x xx c x− = ĐS: 224 6 3 2x k x k x lπ π π ππ π= − + ∪ = + ∪ = − + Bài 19 Giải phương trình : 2 32 cos 6 sin 2sin 2sin5 12 5 12 5 3 5 6x x x xπ π π π − − − = + − + ÷ ÷ ÷ ÷ ĐS: 5 5 55 5 54 12 3x k x l x mπ π ππ π π= + ∪ = − + ∪ = − + Bài 20: Giải phương trình : 38cos cos33x xπ + = ÷ . ĐS: 26 3x k x l x mπ ππ π π= + ∪ = ∪ = − + Bài 21 : Giải phương trình : 3 1 3sin sin10 2 2 10 2x xπ π − = + ÷ ÷ . ĐS: 3 4 142 ; 2 ; 25 15 15x k x l x mπ π ππ π π= + = + = + Bài 22: Giải phương trình :sin 3 sin 2 sin4 4x x xπ π − = + ÷ ÷ . ĐS: 4 2x kπ π= − + Bài 23: Giải phương trình : 2 2 2sin tan cos 02 4 2x xxπ − − = ÷ . ĐS : 24x k x lππ π π= + ∪ = − + Bài 24: Giải phương trình :2 2 211tan cot cot 23x x x+ + = . ĐS: 6 2x kπ π= ± + Bài 25: Giải phương trình : sin sin 2 sin3 cos cos 2 cos3x x x x x x+ + = + + ĐS: 223 8 2x k x lπ π ππ= ± + ∪ = + Bài 26: Giải phương trình : 32cos cos 2 sin 0x x x+ + =. ĐS: 2 ;2 4x k x lπ ππ π= + = − + Bài 27: Giải phương trình : ( ) ( )22sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3x x x x+ + − + = ĐS: 72 ; 2 ;6 6 2x k x l x mπ π ππ π= − + = + = Bài 28: Giải phương trình : ( )2` 2 22cos 2cos 2 2cos 3 3 cos 4 2sin 2 1x x x x x+ + − = + ĐS: 8 4x kπ π= + Bài 29: Giải phương trình : 2 21sin 2 os 8 os102x c x c x− =. ĐS: ;20 10 12 3x k x lπ π π π= + = ± +2 Bài 30: Giải phương trình : ( ) ( )22sin 1 2sin 2 1 3 4cosx x x+ − = − ĐS: 72 ; 2 ; 26 6 3x k x l x mπ π ππ π π= − + = + = ± + Bài 31:Giải phương trình : sin 3 s nx sin 2 0x i x− + =. ĐS: ; 23x k x lππ π= = ± + Bài 32: Giải phương trình : ( )cos 2 os4 os2 .cos3 0x c x c x x+ + =. ĐS: 2x kππ= + Bài 33: Giải phương trình : 1 sin os3 cos sin 2 os2x c x x x c x+ + = + + ĐS: 7; 2 ; 2 ; 23 6 6x k x l x m x nπ π ππ π π π= = ± + = − + = + Bài 34: Giải phương trình :2 2 2sin sin sin 3 2x x x+ + =. ĐS: ;4 2 6 3x k x lπ π π π= + = + Bài 35: Giải phương trình : ( )3 3 5 5sin os 2 sin cosx c x x x+ = +. ĐS: 4 2x kπ π= + Bài 36: Giải phương trình : 2 2 2 23 5 11 13sin sin sin sin2 4 2 2 4 2x x x xπ π + − = + − ÷ ÷ ĐS:;4 32 8x k x lπ π π= = + Bài 37: Giải phương trình :( )8 8 10 105sin os 2 sin os os24x c x x c x c x+ = + + . ĐS: 4 2x kπ π= + Bài 38: Giải phương trình : sin 4 cos4 1 4 2 sin4x x xπ − = + − ÷ . ĐS: 4x kππ= + Bài 39: Giải phương trình : 3cos2 2cos3 6 2x xπ π + + − = ÷ ÷ . ĐS: 2 ; 26 2x k x lπ ππ π= − + = + Bài 40: Giải phương trình :3sin 2 sin4x xπ + = ÷ . ĐS: 4x kππ= + Bài 41: Giải phương trình : 3sin 4 2cos 24 8x xπ π + = − ÷ ÷ . ĐS: 316 2x kπ π= − + Bài 42: Giải phương trình : 3sin 2sin4 2 4 2x xπ π + = − ÷ ÷ . ĐS: 52 ; 2 ; 22 6 6x k x l x mπ π ππ π π= + = + = + Bài 43: Giải phương trình : 32 sin4tan4 cosxxxππ − ÷ − = ÷ . ĐS: ;4x k x lππ π= + = Bài 44: Giải phương trình : ( )2442 sin 2 .sin 3tan 1osx xxc x−+ =. ĐS: 2 5 2;18 3 18 3x k x lπ π π π= + = + Bài 45: Giải phương trình : 2tan cos os sin 1 t anx.tan2xx x c x x + − = + ÷ . ĐS: 2x kπ= Bài 46: Giải phương trình : ( )3 t anx t anx 2sin 6cos 0x x− + + = . ĐS: 3x kππ= ± + Bài 47: Giải phương trình :( )( )2os cos 12 1 sinsin cosc x xxx x−= ++ . ĐS; 2 ; 22x k x lππ π π= − + = + Bài 48: Giải phương trình : tan .cos sin 2 02xx x+ =. ĐS: 2 ;2x k x lππ π π= + = + Bài 49: Giải phương trình : 21 costan1 cosxxx+=− . ĐS: 2 ;4x k x lππ π π= + = − +3 Bài 50: Giải phương trình : t anx+ tan 2 tan 3 0x x− =. ĐS; 3x kπ= Bài 51: Giải phương trình : 1tan sin 2 os2 2 2cos 0cosx x c x xx − − + − = ÷ Bài 52: Giải phương trình : 21 os21 cot 2sin 2c xxx−+ = . ĐS: 4 2x kπ π= + Bài 53: Giải phương trình : 12 tan cot 2 2sin 2sin 2x x xx+ = + . ĐS: 3x kππ= ± + Bài 54: Giải phương trình :1 1 2cos sin 2 sin 4x x x+ = . ĐS: 52 ; 26 6x k x lπ ππ π= + = + Bài 55: Giải phương trình : 22 tan cot 3sin 2x xx+ = +. ĐS: 3x kππ= + Bài 56: Giải phương trình ;2tan 2 cot 8cosx x x+ = . ĐS : 5; ;2 24 2 24 2x k x l x mπ π π π ππ= + = + = + Bài 57: Giải phương trình: ( )tan cot 2 sin 2 os2x x x c x+ = +. ĐS: ;4 2 8 2x k x lπ π π π= + = + Bài 58: Giải phương trình : ( )2 cos sin1t anx cot 2 cot 1x xx x−=+ − . ĐS: 24x kππ= − + Bài 59: Giải phương trình : sin sin 2 sin33cos os2 os3x x xx c x c x+ +=+ +. ĐS: ; 26 3x k x lπ ππ π= + = − + Bài 60: Giải phương trình : ( )2sin 2 cot tan 2 4cosx x x x+ = . ĐS: ;2 6x k x lπ ππ π= + = ± + Bài 61: Giải phương trình : ( )2 2cot tan16 1 cos4cos2x xxx−= +. ĐS: 16 8x kπ π= + D. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI & BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 62: Giải phương trình : 4 43os sin os .sin 34 4 2c x x c x xπ π + + − − = ÷ ÷ ĐS: 4x kππ= + Bài 63: Giải phương trình : os3 os2 cos 1 0c x c x x+ − − = ĐS: 2; 23x k x lππ π= = ± + Bài 64: Giải phương trình 2 2os 3 cos2 os 0c x x c x− = . ĐS: 2x kπ= Bài 65: Giải phương trình : ( )25sin 2 3 1 sinx tanx x− = − . ĐS: 52 ; 26 6x k x lπ ππ π= + = + Bài 66: Giải phương trình :( )6 62 sin os s nx cos02 2sinx c x i xx+ −=−. ĐS: 524x mππ= + Bài 67: Giải phương trình : Tìm các nghiệm thuộc khoảng ( )0;2π của phương trình : os3 sin 35 sinx 3 os21 2sin 2c x xc xx+ + = + ÷+ . ĐS: 5;3 3x xπ π= = Bài 68: Giải phương trình : 12 tan cot 2 2sin 2sin 2x x xx+ = + . ĐS: 3x lππ= ± + Bài 69: Giải phương trình : 1 12sin3 2cos3sinx cosx xx− = + . ĐS: 7; ;4 12 12x k x l x mπ π ππ π π= + = − + = +4 Bài 70: Giải phương trình: 3tan 2 tan 2 14x xπ − = − ÷ . ĐS : ;8 2 2x k x lπ π π= + = Bài 72: Giải phương trình : 4 44sin 2 os 2os 4tan tan4 4x c xc xx xπ π+= − + ÷ ÷ ĐS: 2x mπ= Bài 73 : Giải phương trình : 2tan tan tan 3 2x x x− = . ĐS: 4 2x lπ π= + Bài 74: Giải các phương trình: a) 4 4 21sin os os2 sin 2 2 04x c x c x x+ − + − = b) 34cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ = ĐS: 224324x kx lx mππππππ= += += +©ªªªªªªªªªªªª« c) ( )2sin 2 3 os2 5 os 26x c x c xπ + = + − ÷ ĐS: 712x kππ= + d) os4cot tanx 2sin 2c xxx= + ĐS: 3x kππ= ± + e) ( )2cos 2sin 3 2 2cos 111 sin 2x x xx+ − −=+ ĐS: 24x kππ= + f) ( )( )cos cos 2sin 3sin sinx 21sin 2 1x x x xx+ + +=− ĐS: 24x kππ= − + g) os2 3cot 2 sin 42cot 2 os2c x x xx c x+ +=− h) ( )4 21 248 1 cot 2 cot 0os sinx xc x x− − + = ĐS: 8 4x kπ π= + E. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX & COSX Bài 75: Giải các phương trình: a) 3 sin 2 os2 2x c x+ = b) 33sin3 3 os9 1 4sin 3x c x x− = + c) cos7 cos5 3 sin 2 1 sin 7 sin5x x x x x− = − d) 2 22 3 sin . os 2cos 3 4 sin os os8 8 8 3 3x c x x x c x c xπ π π π π − − + − = + + − + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ĐS 524328x kx lππππ= += + e) 3 34sin cos3 4 3 . os 3 3 os4 3x x si x c x c x+ + = ĐS: 24 28 2x kx lπ ππ π= − += + f)Tìm nghiệm của phương trình os7 3 sin7 2c x x− = − thỏa điều kiện 2 65 7xπ π< < ĐS: 53 5 59; ;84 12 84xπ π π ∈ g) ( )2 3 sinx cos 2 3x+ − = + . ĐS: 22223x kx lππππ= += + h) ( )21 cos os2 os3 23 3 sinx2cos cos 1 3x c x c xx x+ + += −+ −ĐS:2x lπ=5 i)2 2os 3sin 2 1 sinc x x x− = + j) ( )4 44 os sin 3 sin 4 2c x x x+ + = ĐS: 4 212 2x kx lπ ππ π= += − + h) ( )t anx 3cot 4 sinx 3cosx x− = + ĐS: 34 29 3x lx mπππ π= − += + k)34sin 1 3sin 3 os3x x c x− = − l) sin8x-cos6x=3(sin 6 os8 )x c x+ m) sin 2 2cos 2 1 sinx 4cosx x x+ = + − ĐS: 23x kππ= ± + n) 32cos os2 sinx 0x c x+ + = ĐS: 224x kx lππππ= += − + o) 2sin 2 os2 7sin 2cos 4x c x x x− = + − ĐS: 26526x kx lππππ= += + p) sin 2 os2 3sin cos 2 0x c x x x+ + − − = ĐS: 26526222x kx lx mx nπππππππ π= += += += + q) ( )sinx sin 2 3 cos os2x x c x+ = + F. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ( )sinx cos sin cosa x b x x c± + = Bài 76: Giải các phương trình: a) ( )( )1 2 sinx cos 2sin cos 1 2 0x x x+ + − − − = b) 3 331 sin os sin 22x c x x+ + = e) ( )sin 2 4 cos sinx 4x x+ − = c) 3 32sin sinx 2cos cos os2x x x c x− = − + d) 32sin os2 cos 0x c x x− + = f) 3 3cos sin os2x x c x+ = g) ( ) ( )cos2 5 2 2 cos sinx cosx x x+ = − − h)cos sin cos sinx 1x x x+ + = i)sinx cos 2sin 2 1x x− + = j) 1 sinx 1 cos 1x− + − = k) ( )sin 2 sinx cos 2x x+ = l) sin .cos 2sin 2cos 2x x x x+ + = m) 3 31cos sin 1 sin 22x x x+ = − n) 3 3cos sin 2sin 2 sinx cosx x x x+ = + + o)sin 2 2 sin 14x xπ + − = ÷ Bài 77 : Giải các phương trình: a) ( ) ( )5 sinx cos sin3 os3 2 2 2 sin 2x x c x x+ + − = + b) 3 2cos os 2sin 2 0x c x x+ + − = c) 3 3cos sin sinx cosx x x− = − d) 3 31 os sin sin 2c x x x+ − = e) 2 3cos sin cos 0x x x+ + = f) 3 3sin os 1 tan .tan4 4x c x x xπ π + = − + − ÷ ÷ g) ( )3 221 sinx3tan t anx 3 8cos 0os 4 2xxc xπ+ − + − − = ÷ G. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SINX & COSX Bài 78:Giải các phương trình: a) ( ) ( )2 22sin 3 3 sin x cos 3 1 os 1x x c x+ + + − = − b) 2 22sin 3 3 sin x cos os 2x x c x+ − = c)2 23 os 2sin cos 3sin 1c x x x x+ − = d) sin 3 os3 2cos 0x c x x+ + = e) 4 2 2 43cos 4sin cos sin 0x x x x− + = f)( )2 2tan sin 2sin 3 os2 sinxcosx x x c x x− = + g) 2sin sin 2 2x x+ = h) 2 2cos sin 2 3 sin x cos 1x x x− − = i) ( )2 23 sin 1 3 sin x cos os 1 3 0x x c x+ − − + − = j) 36sin 2cos 5sin 2 cosx x x x− = k) 3 3 2cos 4sin 3cos sin sinx 0x x x x− − + = l) 32 2 os 3cos sinx 04c x xπ − − − = ÷ m) sin2x+2tanx =36 n) ( )3 34 os sin cos 3sinc x x x x+ = + o) ( ) ( )2sin 1 t anx 3sin cos sinx 3x x x+ = − + p) 13 sinx coscosxx+ = H. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN SỐ PHỤ Bài 79: Giải các phương trình: a) sin 2 os2 t anx 2 0x c x+ + − = HD đặt t =tanx b) 2 2 22cos 2 os2 4sin 2 . os 0x c x x c x+ − =HD t =cos2x c) 8 8 217sin os os 216x c x c x+ = HD: 2sin 2t x= d)3cos 3sinx 3cos 3sinx 1xx+ = −+ + HD cos 3sinxt x= + e) 2 23tan 4 tan 4cot 3cot 2 0x x x x+ + + + = f) 2 42 41 1 27sin sinsin sin 4x xx x+ + + = HD: 221sinsint xx= + g) ( )2 23cot 2 2 sin 2 3 2 cosx x x+ = + HD: 2cossinxtx= h) ( ) ( )2 4 22sin 4sin 1 os2 7cos 2 3cos 2 4x x c x x x− = + − i) 2222 tan 5tan 5cot 4 0sinx x xx+ + + + = j) 2 3 2 3tan tan tan cot cot cot 0x x x x x x+ + + + + = k) 221 1cos cosos cosx xc x x+ = + I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài 80: Giải các phương trình a) os3 1 3sin3c x x= − b) 3sinx+2cos 2 0x − = c) sin cos sinx cos 2x x x− + + = d) cos sin3 0x x+ = e) Tìm nghiệm ( )0;2xπ∈ của phương trình sin 3 sinxsin 2 os21 os2xx c xc x−= +− . ĐS: 9 21 29; ; ;16 16 16 16xπ π π π ∈ f) 4sin 3 cos 3x x+ = g) 22cos sinx 1x + = h) 22 sin 2 2cos 2 2 2cos 2x x x− = + i) 4 4sin os sinx cosx c x x− = + j) 1cot t anxsinxx = + K. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN THỨC Bài 81: Giải các phương trình: a) 1 sin 2 2 os2x c x+ = ĐS: 412x kx lππππ= − += + b) 3 cos 1 cos 2x x− − + = ĐS:2x kπ π= + c) 3 3 3 3sin os sin cot os tan 2sin 2x c x x x c x x x+ + + = ĐS: 24x kππ= + d) 5cos os2 2sin 0x c x x− + = e) 22sin 3 1 8sin 2 cos 24x x xπ + = + ÷ ĐS: 21217212x mx nππππ= += + f) sinx 3cos sinx 3 cos 2x x+ + + = g) 1 sin 2 1 sin 24cossinxx xx− + += ĐS: 63x kx lππππ= += + h) os2 1 sin 2 2 sinx cosc x x x+ + = + ĐS: 42x kx lπππ= − += i) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình :()2os 3 9 160 800 18c x x xπ − + + = ĐS: x = -7 ; x = -317 L. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA THAM SỐ m Bài 82: Định m để phương trình ( )( )2 23 2 os 1m m c x m m− + = − có nghiệm . ĐS: 0 1m m≤ ∪ = Bài 83:Định m để phương trình sin 2 3 2cos 3 sinx m x m x+ = + có nhiều hơn một nghiệm thuộc khoảng ( )0;π . ĐS: 2 3 2 33 30mm− < <≠ Bài 84: Định m để phương trình sin 2 sinx 2 cosx m m x+ = + có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng 30;4π ĐS: 202132mmm≤ ≤== Bài 85: Định m để phương trình ( )2cos 2 2 2 3 os 2 2 0m x m c x m− + + + = ĐS: 4 2m m≤ − ∪ ≥ − Bài 86: Định m để phương trình 4 4sin osx c x m+ = có nghiệm . ĐS: 112m≤ ≤ Bài 87: Định m để phương trình ( ) ( )22sin 1 2cos 2 2sin 3 4cosx x x m x− + + = − có đúng 2 nghiệm thuộc [ ]0;π. ĐS 1 0 3m m m< − ∪ = ∪ > Bài 88: Định m để phương trình ( )cos 2 2 1 cos 1 0x m x m− + + + =có nghiệm thỏa 32 2xπ π< < . ĐS: 1 0m− ≤ < Bài 89: Định m đẻ phương trình 4 6sin os2 cos 0x c x m x+ + = có nghiệm trên khoảng 0;4π ÷ Bài 90: Định m để phương trình ( ) ( )4 4 6 6 24 sin os 4 sin os sin 4x c x x c x x m+ − + − = có nghiệm ĐS : 9116m− ≤ ≤ Bài 91: Định m để phương trình cos 2 cos 2 1 0x m x m+ + + = có nghiệm ĐS: 2 0m− ≤ ≤ Bài 92: Định m để phương trình cos4 6sin cosx x x m+ = có 2 nghiệm phân biệt trên 0;4π ĐS:1728m≤ ≤ Bài 93: Định m để phương trình ( ) ( )2cos 1 os2 cos sinx c x m x m x+ − = có đúng hai nghiệm trên 20;3π ÷ ĐS : 112m− < < − Bài 94: Định m để phương trình 2cos 2 4sin cos 2 0m x x x m− + − =có nghiệm thuộc 0;4π ÷ ĐS: 1 4m< < Bài 95: Định m để phương trình ( )221 tan 1 3 0osm x mc x− − + + = có nhiều hơn một nghiệm 0;2π ∈ ÷ ĐS: 1 11;3 2m m< < ≠8 Bài 96: Cho phương trình 213 sin sin 22x x m+ = (1) a) Giải phương trình khi m = 3 b) Định m để phương trình (1) có nghiệm Bài 97:Cho phương trình ( )2 sin 1 coscosaa x a xx+ + = (1) a) Giải phương trình khi a =1 b) Định a để phương trình (1) có nghiệm Bài 98: Định m để phương trình cos 2 sin 2 2 1x m x m− = − có nghiệm thuộc đoạn 0;2π Bài 99: Định tham số m để phương trình ( ) ( )sinx cos 2 2 1 sinx cos sin x cosm x x x+ + = + + + có nghiệm Bài 100: Cho phương trình ( )2 22cos 2 sin cos os sin sinx cosx x x c x x m x+ + = + (1) a) Giải phương trình (1) khi m =2 b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 0;2π ĐS: a) 4222x kx lx mπππππ= − +== − + b) 2 2m− ≤ ≤ Bài 101: Cho phương trình 3 3cos sinx x m− = (1) a) Giải phương trình (1) khi m = -1 b) Định tham số m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm thuộc đoạn ;4 4π π − ĐS: a) 222x kx lπππ π= += − + b) 212m≤ < Bài 102: Cho ( ) ( )32os 2 2 sinx cos 3sin 2f x c x x x m= + + − + a) Giải phương trình f(x) =0 khi m = - 3 b) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x). Từ đó định m để ( )236f x ≤ với x∀ ∈¡ ĐS: a) 4222x kx lx mπππππ= − +== + b) 3 4 2 3m− + ≤ ≤ Bài 103: Cho phương trình ( )sinx cos 1 1 2sin cosm x x x+ + = + (1) a) Giải phương trình (1) khi 12m = b) Định m để phương trình (10 có nghiệm thuộc đoạn 0;2π ĐS: 12 2 22m≤ ≤ − + Bài 104: Cho phương trình sin2x + 4( )cos sinxx m− = (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 4 b) Định tham số m để phương trình (1) có nghiệm9 ĐS: a) 222x kx lπππ== − + b) 1 4 2 1 4 2m− − ≤ ≤ − + Bài 105: Cho phương trình : ( )2 sinx cos 2sin cos 0x x x m+ + + =. Định m để phương trình có nghiệm. ĐS: 1 2 2 2m− − ≤ < Bài 106: Định m để phương trình 3 3sin osx c x m+ = có nghiệm x 3;4 4π π ∈ . ĐS: 0 1m≤ ≤ Bài 107: Định m để phương trình ( )sin 4 sin 2 os2 2x m x c x m+ − = có nghiệm x ;8 8π π ∈ − ĐS: 2 112 2m− + ≤ ≤ Bài 108: Cho phương trình ( )1 1 1sinx cos 1 t anx cot 02 sinx cosm x xx + + + + + + = ÷ (1) a) Giải phương trình (1) khi 12m = b) Định m nguyên để phương trình (1) có nghiệm trong khoảng 0;2π ÷ ĐS: a) 4x kππ= − + b) 3;m m Z≤ − ∈ Bài 109: Cho ( ) ( )22sin 2 2 sinx cos 3sin 2f x x x x m= + + − + . Định m để ( )1f x ≤ với 0;2xπ ∀ ∈ ĐS: 3 3 4 2m− ≤ ≤ − Bài 110: Cho phương trình ( ) ( ) ( ) ( )3 24 6 sin 3 2 1 sinx 2 2 sin cos 3 4 cos 0m x m m x x m x− + − + − + − = (1)a) Giải phương trình khi m =2 b) Định m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất x 0;4π ∈ ĐS; a) 4x kππ= + b) m < 34 1m∪ ≥ Bài 111: Định m để phương trình ( )( )4 2 2 2 43sin 2 2 sin cos 1 os 0x m x x m c x− + + − = có đúng hai nghiệm thuộc khoảng ;2 2π π − ÷ . ĐS : 112m m= − ∪ > Bài 112: Cho phương trình ( )221cot t anx cot 2 0osx m xc x+ + + + = (1) a) Giải phương trình khi m = 52 b) Định m để phương trình vô nghiệm ĐS: a) 4x lππ= − + b) 5 52 2m− < < Bài 113: Định m để phương trình ( )2233tan t anx cot 1 0sinx m xx+ + + − = có nghiệm. ĐS: 4m ≥ Bài 114: Cho hai hàm số : ( ) ( ) ( )2sin cos 2cos sinxf x x x x= + − và ( )2cos sinx 2sin cos2sin cos 2cos sinxx x xg xx x x+ −= ++ − a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) b) Xác định tham số m để phương trình( ) ( ) ( )3 3m g x f x m − = − có nghiệm10 ĐS: a) ( )( )5ax25minf2M f xx== − b) 372; 316m m m≤ − ∪ ≥ ≠ Bài 115: Cho ( )6 43cos 2 sin 2 os4f x x x c x m= + + − và ( )2 22cos 2 3cos 2 1g x x x= + a) giải phương trình f(x) =0 khi m =0 b) Định m để phương trình f(x)= g(x) có nghiệm ĐS: a) 4 2x kπ π= + b) 1 0m− ≤ ≤ Bài 116: Định m để phương trình 9cos 2t anx 32 sinx cosxmx = + + ÷+ có nghiệm. ĐS: 3 3 302m m− −≤ ∪ > M. Gía trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác Bài 117: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: a) cos 2sin 32cos sinx 4x xyx+ +=− + với ( );xπ π∈ − ĐS: Maxy =2 ; min y = 211 b) sinx2 cosyx=+ với [ ]0;xπ∈ ĐS: Max 33y = khi 23xπ= min y =0 khi x= 0 hoặc x =π c) Tìm giá trị lớn nhất của 2sin2xy x= + trên đoạn ;2 2π π − ĐS: Max 14yπ= + khi 2xπ= d) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 4 24 23cos 4sin3sin 2cosx xyx x+=+ . ĐS: 228 1ax ;sin5 34min ;sin 13M y xy x= == = e) sinx os2 sinxy c x= + − . ĐS: axy =3M khi 22x kππ= + Min y = -1 khi 22x lππ= − + f) 8 42sin os 2y x c x= + ĐS: Max y = 3 khi 2x kππ= + . min y = 127 khi 1cos23x = g) 24sin 2 sin 24y x xπ = + + ÷ . ĐS: Max y = 2 2+ khi 38x kππ= + . min y = 2 2− khi 8x lππ= − + h) 2012sinx cosy x= − . ĐS: Max y = 1 khi 2xπ= min y = -1 khi x =0 i) Tìm giá trị lớn nhất của sinx cos cos sinxy x x= + Max y = 42 khi x =24kππ+ j) cos sinxy x= + . ĐS: Max y = 48 khi 24x kππ= + min y = 1 khi 22x lππ= + k) Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1sinx cosyx= + với 0;2xπ ∈ ÷ . ĐS: minn y =2 2 khi 4xπ= Bài 118: Cho hàm số 2 cos 1cos sinx 2kk x kyx+ +=+ + a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ky khi k =1 b) Định k để giá trị lớn nhất của ky là nhỏ nhất ĐS:a) Max y =2 min y =0 b) 13k = Min( Max ky ) = 3 33+11 Bài 119: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau; a) sinx cossinx cos 3xyx+=− + ĐS ; 14ax714min7M yy== − b ) 1 cossinx cos 2xyx−=+ − ĐS: ax 0min 1M yy== − c) 22os sin x cos1 sinc x xyx+=+ ĐS: 2 6ax42 6min4M yy+=−= d) 4 4sin os sin x cos 1y x c x x= + + +. ĐS: 17ax8min 1M yy== e) 22cos cos 1cos 1x xyx+ +=+ ĐS: ax 2min 1M yy== f) 2 22sin 3sin cos 5cosy x x x x= + + . ĐS: 7 3 2ax27 3 2min2M yy+=−= g) 1 sinx 1 cosy x= + + + ĐS: ax 4 2 2min 1M yy= +=h) 2 22 4sin os 11 1x xy cx x= + ++ + 217ax8min 2sin 1 sin1 2M yy== − − + Bài 120: Tìm dáng điệu của tam giác ABC để ( )3cos 2 cos cosM A B C= + + đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: min M = 113 Bài 121: Cho tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của ( )3 cos 3 cos osP B A c C= + +Max P = 5 32 Bài 122: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng P = cosA+cosB+cosC có giá trị lớn nhất nhưng không có giá trị nhỏ nhất . Max P = 32 khi tam giác ABC đều. Bài 123: Tìm Max , min của: a) Max của 2 2sin os9 9x c xy = + ĐS: Max y =10 b) Max của 15 20sin osy x c x= + ĐS: Max y =1 c) Max của 2 22 22 21 1sin ossin osy x c xx c x = + + + ÷ ÷ ĐS: Max y= 152 d) Max của 21sinxsinyx= − với ( )0;xπ∈ ĐS : Max y =0 e) min của 2 2tan tan6 2y x xπ π = + + − ÷ ÷ ĐS: min y = 23 Bài 124: Cho A ; B;C là 3 góc của tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của P = cosA+ cosB +cosC . ĐS: Max P = 32 N. Hệ thức lượng trong tam giác Bài 125: Cho tam giác ABC . a) Chứng minh rằng 2 2 2cos os os 1 2cos . os .cosc B c C A c B C+ + = − b) Tam giác ABC vuông khi chỉ khi 2 2 2cos os os 1A c B c C+ + = Baì 126:Chứng minh rằng 3 cạnh AB =c ; BC = a ; AB =c của tam giác ABC lập thành cấp số cộng khi chỉ khi cot .cot 32 2A C= Bài 127: Chứng minh rằng : Nếu tam giác ABC thỏa 5tan .tan 12 2A B= thì 3c =2(a +b)12 Bài 128: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có cotA ; cotB ; cotC theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì 2 2 2; ;a b c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Bài 129: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng sin sin sintan .tan .cotcos ó cos 1 2 2 2A B C A B CA c B C+ −=+ − + Bài 130: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng : a) tan .tan tan .tan tan .tan 12 2 2 2 2 2A B B C C A+ + = b) 2 2 2tan tan tan 12 2 2A B C+ + ≥ c) Tìm giá trị lớn nhất của P = tan .tan .tan2 2 2A B C d) 1tan .tan .tan2 2 23 3A B C≤ Bài 131: Cho A ; B ;C là 3 góc của một tam giác . Chứng minh rằng : tan tan tan cot cot cot 4 32 2 2 2 2 2A B C A B C+ + + + + ≥ Bài 132: Cho tam giác ABC không vuông a) Chứng minh rằng tan A+tan B+tan C= tan A. tan B . tanC b) Cho thêm góc B nhọn và tan A ; tan B ; tan C theo thứ tự lập thành một cáp số cộng . Chứng minh rằng A ;C nhọn và 060B ≥ Bài 133: Cho tam giác ABC a) Chứng minh rằng 2 2 2sin sin sin 1 2sin .sin .sin2 2 2 2 2 2A B C A B C+ + = − b) 1sin .sin .sin2 2 2 8A B C≤ c) 2 2 23sin sin sin 14 2 2 2A B C≤ + + < d) 2 2 292 os os os2 2 2 4A B Cc c c< + + ≤ e) 3cos cos cos2A B C+ + ≤ f) 1cos .cos .cos8A B C ≤ Bài 134: Xác định dáng điệu của tam giác ABC để T =cosA+cosB+cosC đạt giá trị lớn nhất Đáp số tam giác ABC đều thì Max T = 32 P. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính các yếu tố trong tam giác Bài 135: Tính các góc của tam giác ABC biết 3cos sin sin2A B C= + −. ĐS: µ µµ0 0120 ; 30A B C= = = Bài 136: Tính các góc của tam giác ABC thỏa ( )5cos2 3 os2 os2 02A c B c C+ + + = ĐS:µ µµ0 030 ; 75A B C= = = Bài 137: Giả sử a ; b;c lần lượt là 3 cạnh đối diện với 3 góc A; B;C của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: 12cos . os sin2 2 2 2B C b c Aca+= +. Tính góc A . ĐS: µ060A = Bài 138: Tìm các góc A ;B;C của tam giác ABC thỏa ( )3sin .sin sin cos2B A C A B− + + =. ĐS: µ µµ0 0 030 ; 60 ; 90A B C= = = Bài 139:Cho tam giác ABC thỏa ( ) ( )1 cot 1 cot 2A B+ + = . Tính góc C. ĐS : µ045C = Bài 140: Tính các góc của tam giác ABC thỏa sin sin sin1 23A B C= =. ĐS: µ µµ0 0 030 ; 60 ; 90A B C= = = Bài 141: Tìm dáng điệu của tam giác ABC để 2 2 2sin sin sinT A B C= + − đạt giá trị nhỏ nhất và tìm min T ĐS: µ µµ0 030 ; 120A B C= = = và min T = - 1413 Bài 142: Cho tam giác ABC có tanA ; tan B ; tan C theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. định dáng điệu của tam giác ABC để góc B đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS: min µ060B = khi tam giác ABC đều Bài 143: Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn điều kiện :cos 2 2 2 cos 2 2 cos 3A B C+ + =. Tính 3 góc của tam giác ABC. ĐS: Tam giác ABC vuông cân tại A Bài 144: Tính các góc của tam giác ABC thỏa 2 2 2sin sin sin 1 2b c aA B C+ ≤+ + = + ĐS: ∆ABC vuông cân tại A Bài 145: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông khi 1 trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn: a) 2 2 2cos os os 1A c B c C+ + = b) cos cosb cB Ca++ = c) cot2B a cb+= d) sin 2A+sin2B=4sin Asin B e) ( )( )( )( )2 2 2 2sin sina b A B a b A B+ − = − + f) ( ) ( )3 cos 2sin 4 sin 2cos 15B C B C+ + + = g) sin2 2B a ca−= h) cos 2 os2 os2 1A c B c C+ + = − i) sincot cotcos cosAB CB C+ = j) sin sinsincos cosB CAB C+=+ Bài 146 : Chứng minh rằng tam giác ABC cân khi 1 trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn a) sin2sincosACB= b) sin22A abc= c)tan tan 2cot2CA B+ = d) 2 21 cos 2sin4B a cBa c+ +=− e) 1 cos2 tan tansinCA BC+= + f) tan2b c B Cb c− −=+ g) 3 3sin . os sin . os2 2 2 2A B B Ac c= h) ( )( )2 22 2sinsinA Ba ba b A B−−=+ + i) ( )a tan tan tan2A BA b B a b++ = + j) ( )2 22 22 2os os 1cot cotsin sin 2c A c BA BA B+= ++ Bài 147: Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi 1 trong các điều kiện sau được thỏa: a) cosA+cosB+cosC=sin sin sin2 2 2A B C+ + b) cot cot cot tan tan tan2 2 2A B CA B C+ + = + + c) 3 3 321cos .cos4B Ca b caa b c=− −=− − d) sin sin 2sintan 2 tanB C AtanB C A+ =+ = e) 2sin 3 sin 3 sin 3 0cos .cos sin2A B CCA B+ + == f) sin .sin2 2 4A B abc= g) 3 3 323sin .sin4a b caa b cB C− −=− −≥ h) 1sin .sin .sin2 2 2 8A B C= 14 |
