Lý thuyết giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 độ đến 180 độ: Bài 3. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 độ đến 180 độ. 1. Định nghĩa với mỗi góc α(0 độ ≤ α ≤ 180 độ)ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn… Show
1. Định nghĩa Với mỗi góc \(α\) \(({0^0} \le \alpha \le {180^0})\) ta xác định một điểm \(M\) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc \(\widehat{xOM} = α\) và giả sử điểm \(M\) có tọa độ \(M({x_0};{y_0})\). Khi đó ta có định nghĩa: \(Sin\) của góc \(α\) là \({y_0}\), kí hiệu là \(\sin α = {y_0}\) \(cosin\) của góc \(α\) là \(x_0\), kí hiệu là \(\cos α =x_0\) \(tang\) của góc \(α\) là \(( x_0≠ 0)\), ký hiệu \(\tan α =\frac{x_{0}}{y_{0}}\) \(cotang\) cuả góc \(α\) là \((y_0≠ 0)\), ký hiệu \(\cot α = \frac{y_{0}}{x_{0}}\) Các số \(\sin α\), \(\cos α\), \(\tan α\), \(\cot α\) được gọi là các giá trị lượng giác của góc \( α\) 2.Tính chất Sự liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc bù nhau \(\sin α = \sin(180^0– α)\) \(\cos α = -\cos((180^0– α)\) \(\tan α = \tan(180^0– α)\) \(\cot α = – \cot(180^0– α)\) Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau còn cos, tan, cot thì đối nhau 3. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
4. Góc giữa hai vectơ Định nghĩa : Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) đều khác vectơ \(0\). Từ một điểm \(0\) bât kỳ ta vẽ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) đều khác vec tơ \(0\). Từ một điểm \(O\) bất kỳ ta vẽ \(\vec{OA}\) = \(\vec{a}\) và \(\vec{OB}\) = \(\vec{b}\). góc \(\widehat{AOB}\) với số đo từ \(0^0\) đến \(180^0\) độ được gọi là góc giữa hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\). Người ta ký hiệu góc giữa hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là (\(\vec{a}\);\(\vec{b}\)) Nếu \((\vec{a};\vec{b})= 90^0\) thì ta nói rằng \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) vuông góc với nhau. Ký hiệu là \(\vec{a}\) ⊥ \(\vec{b}\) hoặc \(\vec{b}\) ⊥ \(\vec{a}\) Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 độ đến 180 độGiá trị lượng giác của một góc bất kỳ, định nghĩa, tính chất, bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt, góc giữa hai vectơ.1. Định nghĩa góc lượng giác và các giá trị lượng giác 2. Tính chất của các góc lượng giácSự liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc bù nhau 3. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt4. Góc giữa hai vectơ
BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM1. Tính chấtsin α = sin(180o – α) cos α = –cos(180o – α) tan α = –tan(180o – α) cot α = –cot(180o – α) 2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt3. Góc giữa hai vectơa) Định nghĩa Cho hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] đều khác vectơ 0 .Từ một điểm O bất kì ta vẽ \[ \overrightarrow{OA}=\vec{a}\,\,va\,\,\overrightarrow{OB}=\vec{b} \] Góc \[ \widehat{AOB} \] với số đo từ 0o đến 180o được gọi là góc giữa hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] là \[ (\vec{a},\vec{b}) \] . Nếu \[ (\vec{a},\vec{b}) \] = 90o thì ta nói rằng \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] vuông góc với nhau, kí hiệu là \[ \vec{a}\bot \vec{b} \] hoặc \[ \vec{b}\bot \vec{a} \] b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có \[ (\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a}) \] . II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬPDạng 1. Tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độĐộ dài vecto - Định nghĩa: Mỗi vecto đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó. Độ dài của vecto \[ \overrightarrow{a} \] được ký hiệu là \[ |\overrightarrow{a}| \] Do đó đối với các vectơ \[ \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{PQ}},\ldots \] ta có: \[ |\overrightarrow{\text{AB}}|=\text{AB}=\text{BA};|\overrightarrow{\text{PQ}}|=\text{PQ}=\text{QP} \] - Phương pháp: muốn tính độ dài vectơ, ta tính độ dài cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ. - Trong hệ tọa độ: Cho \[ \overrightarrow{\text{a}}=\left( {{\text{a}}_{1}};{{\text{a}}_{2}} \right) \] Độ dài vectơ \[ \overrightarrow{a} \] là \[ |\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \] . Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ Áp dụng công thức sau Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm M(xM;yM) và N(xN;yN) là \[ \text{MN}=|\overrightarrow{\text{MN}}|=\sqrt{{{\left( {{\text{x}}_{\text{N}}}-{{\text{x}}_{\text{M}}} \right)}^{2}}+{{\left( {{\text{y}}_{\text{N}}}-{{\text{y}}_{\text{M}}} \right)}^{2}}} \] Dạng 2. Tính góc giữa hai vectoPhương pháp giải Cách 1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ Cách 2. (Áp dụng trong hệ tọa độ) Tính cos góc giữa hai vectơ, từ đó suy ra góc giữa 2 vectơ. Sử dụng công thức sau: Cho hai vectơ \[ \vec{a}=(x;y)\,;\vec{b}=\left( x';y' \right) \] . Khi đó \[ \cos (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}}}(\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}) \] Dạng 3. Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trướcPhương pháp giải Bước 1. Xác định vecto (nếu chưa có) theo tham số m. Bước 2. Tính độ dài các vecto theo tham số m. Bước 3. Áp dụng công thức tính cos góc giữa hai vecto Cho hai vectơ \[ \vec{a}=(x;y)\,;\vec{b}=\left( x';y' \right) \] . Khi đó \[ \cos (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}}}(\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}) \] Bước 4. Đưa r phương trình chưa ẩn m. Góc giữa hai vecto bằng \[ \alpha \Leftrightarrow \cos (\vec{a};\vec{b})=\cos \alpha \] Bước 5. Giải phương trình, đưa ra giá trị của m. III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOABài 1 (trang 40 SGK Hình học 10):Lời giải: A, B , C là ba góc của ΔABC nên ta có: A + B + C = 180º a) sin A = sin (180º – A) = sin (B + C) b) cos A = – cos (180º – A) = –cos (B + C) Bài 2 (trang 40 SGK Hình học 10):Lời giải: ΔAOB cân tại O nên OH là đường cao đồng thời là đường phân giác \[ \Rightarrow \widehat{\text{AOB}}=2\widehat{\text{AOH}}=2\cdot \alpha \] Xét ΔOAK vuông tại K có: \[ \text{sin}\widehat{\text{AOK}}=\frac{\text{AK}}{\text{OA}} \] \[ \Rightarrow \text{AK}=\text{OA}\cdot \text{sin}\widehat{\text{AOK}} \] \[ =\text{a}\cdot \text{sin}2\alpha \] \[ \text{cos}\widehat{\text{AOK}}=\frac{\text{OK}}{\text{OA}} \] \[ \Rightarrow \text{OK}=\text{OA}\cdot \text{cos}\widehat{\text{AOK}} \] \[ =\text{a}\cdot \text{cos}2\alpha \] Bài 3 (trang 40 SGK Hình học 10):Lời giải: a) sin 105º = sin (180º – 105º) = sin 75º ; b) cos 170º = –cos (180º – 170º) = –cos 10º; c) cos 122º = –cos (180º – 122º) = –cos 58º. Bài 4 (trang 40 SGK Hình học 10):Lời giải: Vẽ đường tròn lượng giác (O; 1). Với mọi α (0º ≤ α ≤ 180º) ta đều có điểm M(x0; y0) thuộc nửa đường tròn sao cho \[ \overrightarrow{\text{MOx}}=\alpha \] Khi đó ta có: sin α = y0 ; cos α = x0. Mà M thuộc đường tròn lượng giác nên x02 + y02 = OM2 = 1⇒ sin2 α + cos2 α = 1. Bài 5 (trang 40 SGK Hình học 10):Lời giải: Ta có : sin2 x + cos2 x = 1 ⇒ sin2 x = 1 – cos2 x. ⇒ P = 3.sin2 x + cos2 x = 3.(1 – cos2x) + cos2 x = 3 – 3.cos2x + cos2x = 3 – 2.cos2x = 3 – 2.(1/3)2 = 3 – 2/9 = 25/9. Bài 6 (trang 40 SGK Hình học 10):Lời giải: Vẽ \[ \overrightarrow{\text{AE}}=\overrightarrow{\text{BA}} \] Khi đó \[ \left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BA}} \right)=\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AE}} \right) \] \[ =\widehat{\text{CAE}}={{180}^{\circ }}-\overline{\text{CAB}} \] \[ ={{180}^{\circ }}-{{45}^{\circ }}={{135}^{\circ }} \] Do đó: \[ \text{cos}\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BA}} \right)=\text{cos}{{135}^{\circ }}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \] Vẽ \[ \overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{BD}} \] như hình vẽ Khi đó: \[ \left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BD}} \right)=\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AF}} \right)=\widehat{\text{FAC}}={{90}^{\circ }} \] Vậy \[ \text{sin}\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BD}} \right)=\text{sin}{{90}^{\circ }}=1 \] \[ \overrightarrow{\text{AB}} \] và \[ \overrightarrow{\text{CD}} \] là hai vector ngược hướng \[ \left( \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}} \right)={{180}^{\circ }} \] Vậy \[ \text{cos}\left( \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}} \right)=\text{cos}{{180}^{\circ }}=-1 \] Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giá trị lượng giác của một góc bất kì toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất |
