ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) Show
Chú ý : – Phương trình bậc lẻ luôn luôn có nghiệm thực – Định lý Viete : Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì : x1 + x2 + x3 = -b/2a x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a x1x2x3 = -d/a
1. Nếu x = x0 là một nghiệm, ta có thể phân tích thành dạng : (x – x0)(ax2 + bx + c) = 0 Đặc biệt : – Nếu a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghiệm – Nếu (d/a) = (c/b)3 → x = -c/b là nghiệm 2. Phương trình dạng A3 + B3 = (A + B)3 pt ↔ A3 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0 II. Những dạng tổng quát 1. Phương trình 4x3 – 3x = q * Với │q│ ≤ 1 – Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q – Gọi α là góc thỏa cosα = q, như vậy : cos3t = cosα – Ta chọn t1 = α/3 ; t2,3 = (α ± 2π)/3 – Kết luận phương trình có 3 nghiệm x1,2,3 = cos t1,2,3 Chú ý rằng bước đặt x = cost là một cách đặt “ép” ẩn phụ, ta không cần chứng minh rằng pt trên luôn có nghiệm nhỏ hơn 1, khi tìm được đủ 3 nghiệm thì ta có thể kết luận ngay * Với │q│ > 1 : – Ta dễ dàng CM được pt không có nghiệm thuộc [-1;1] và nếu phương trình có nghiệm x0 không thuộc [-1;1] thì x0 là nghiệm duy nhất – Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 – 3x = ½ (a3 + 1/a3) bằng cách : q = ½ (a3 + 1/a3) ↔ a6 – 2qa3 + 1 = 0 (→ tìm được a) – CM x0 = ½ (a + 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình 2. Phương trình 4x3 + 3x = q – Giả sử phương trình có nghiệm x0, dùng đạo hàm ta CM được x0 là nghiệm duy nhất – Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 + 3x = ½ (a3 – 1/a3) rồi CM x0 = ½ (a – 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình (phương pháp tương tự như trên) 3. Phương trình x3 + px + q = 0 (Công thức Cardan – Tartaglia) – Đặt x = u – v sao cho uv = p/3 – Từ pt, ta có : (u – v)3 + 3uv(u – v) = u3 – v3 = q – Hệ phương trình uv = p/3 và u3 – v3 = q cho ta một phương trình trùng phương theo u (hoặc v), từ đó suy ra u,v và tìm được một nghiệm x = u + v Chú ý rằng trong lúc giải phương trình trùng phương có thể ta gặp nghiệm phức (u hoặc v) nên từ đó phương trình bậc ba còn cho thêm 2 nghiệm phức nữa (đó mới là dạng đầy đủ của công thức trên) Ngoài ra, các phương trình 4x3 ± 3x = q như trên cũng có thể giải được bằng PP này 4. Phương trình bậc ba tổng quát X3 + AX2 + BX + C = 0 Đặt X = x – A/3, pt trở thành x3 + px + q = 0 (#) Cách 1 : Giải trực tiếp theo công thức Cardan – Tartaglia Cách 2 : – Đặt x = kt (k > 0) , (#) trở thành : k3t3 + pkx + q = 0 (chọn k sao cho k3/4 = pk/3 nếu p > 0 hoặc k3/4 = -pk/3 nếu p < 0) – Phương trình được đưa về dạng 4t3 ± 3t = Q 1. Thông thường, để xét nghiệm của hàm số hữu tỉ, ta dựa vào phương trình hoành độ giao điểm của hàm số với trục hoành. Tức $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ hay $f\left( x \right) = 0$ với $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$. Do đề bài đã cho là hàm bậc 3 nên $a \ne 0$. 2. Điều kiện để $f\left( x \right) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt. Dựa vào dạng đồ thị của hàm số bậc 3, ta dễ dàng có: $f\left( x \right) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt khi hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có hai điểm cực trị trái dấu. 
<=>$2x^3+3x^2-12x-1=-2m$ f(x)=$2x^3+3x^2-12x-1$ f'(x)=$6x^2+6x-12$ f'(x)=0 <=>x=1 hoặc x=-2 Vẽ BBT => PT có 3 nghiệm PB khi -8<-2m<19 <=>4>m>-9,5 Chủ đề điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm: Có rất nhiều điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, và việc tìm ra các điều kiện này là một thách thức trong toán học. Tuy nhiên, khi một phương trình bậc 3 có ba nghiệm phân biệt, đó là một điều rất đặc biệt và thú vị. Tìm hiểu về các điều kiện này không chỉ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về toán học mà còn mở ra cánh cửa cho việc giải quyết các bài toán phức tạp khác. Mục lục Điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt là gì?Để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, cần tồn tại các điều kiện sau: 1. Hệ số a khác 0: Phép chia phải được thực hiện trên phương trình bậc 3, nên hệ số a (hệ số của thành viên có bậc cao nhất) không thể bằng 0. 2. Định thức delta lớn hơn 0: Delta (Δ) được tính bằng b^2 - 3ac, với b, a và c lần lượt là hệ số của thành viên có bậc thứ nhất, thứ hai và thứ ba trong phương trình. Đối với phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, delta cần lớn hơn 0. 3. a^2b^2c^2 - 4b^3d - 4a^3c + 18abc - 27a^2d khác 0: Đây cũng là một công thức tính delta đặc biệt dành cho phương trình bậc 3. Trong trường hợp phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, biểu thức này cần khác 0. Tóm lại, để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, cần đảm bảo ba điều kiện trên đều thỏa mãn. Phương trình bậc 3 là gì?Phương trình bậc 3 là một phương trình đa thức có số lớn nhất của biến là 3. Phương trình bậc 3 thường có dạng ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, trong đó a, b, c và d là các hệ số của phương trình và a khác 0. Để tìm nghiệm của phương trình bậc 3, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp như: 1. Sử dụng công thức biểu diễn nghiệm rõ ràng: Trong trường hợp đặc biệt khi phương trình được viết dưới dạng đơn giản, chúng ta có thể dùng các công thức đã được tìm ra để tính nghiệm của phương trình bậc 3. Công thức nghiệm rõ ràng được áp dụng khi các hệ số của phương trình đáp ứng các điều kiện cụ thể. 2. Sử dụng thuật toán số học: Trong trường hợp phức tạp hơn, chúng ta có thể sử dụng các thuật toán số học như phương pháp Newton-Raphson hoặc phương pháp chia đôi để tìm nghiệm gần đúng của phương trình bậc 3. Tuy nhiên, việc tìm nghiệm của phương trình bậc 3 không phải lúc nào cũng dễ dàng và đòi hỏi sự kiên nhẫn và kỹ năng trong giải toán. Đối với một phương trình bậc 3 tổng quát, chúng ta có thể không tìm được các nghiệm rõ ràng và cần sử dụng các phương pháp số học để xấp xỉ giá trị của nghiệm. Tóm lại, phương trình bậc 3 là một phương trình đa thức có số lớn nhất của biến là 3. Việc tìm nghiệm của phương trình bậc 3 đòi hỏi sự áp dụng các công thức nghiệm rõ ràng hoặc các thuật toán số học tùy thuộc vào đặc điểm của phương trình cụ thể. XEM THÊM:
Vì sao việc xác định điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm là quan trọng?Việc xác định điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm là rất quan trọng vì nó giúp chúng ta biết được đâu là trường hợp mà phương trình có 3 nghiệm phân biệt và đâu là trường hợp mà phương trình không có 3 nghiệm. Điều này đồng nghĩa với việc chúng ta có thể xác định được phạm vi và tính chất của các hệ số trong phương trình. Khi chúng ta biết được điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp giải phương trình để tìm ra nghiệm một cách chính xác. Điều này giúp tiết kiệm thời gian và công sức và tránh sai sót trong quá trình giải. Ngoài ra, việc xác định được điều kiện giúp ta hiểu rõ hơn các đặc điểm và tính chất của phương trình bậc 3. Điều này giúp chúng ta xây dựng mô hình toán học cho các vấn đề thực tế và áp dụng phương trình trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, kinh tế, và nhiều lĩnh vực khác. Tóm lại, việc xác định điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm là một bước quan trọng trong việc giải và ứng dụng phương trình này. Nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất và ứng dụng của phương trình bậc 3 trong thực tế.  Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc 3 có 1, 2, 3 nghiệm\"Bạn đang gặp khó khăn trong việc tìm nghiệm của phương trình bậc 3? Đừng lo lắng! Video này sẽ hướng dẫn bạn cách tìm nghiệm một cách dễ dàng và nhanh chóng.\" XEM THÊM:
Điều kiện a khác 0 làm thế nào để đảm bảo phương trình bậc 3 có 3 nghiệm?Để đảm bảo rằng một phương trình bậc 3 có 3 nghiệm, chúng ta cần kiểm tra điều kiện sau: 1. Điều kiện đầu tiên là a khác 0. Điều này ngụ ý rằng hệ số của thành viên bậc ba trong phương trình không được bằng 0. Nếu a = 0, phương trình sẽ không còn là phương trình bậc 3 nữa. 2. Điều kiện thứ hai là delta lớn hơn 0 (Δ > 0). Delta (Δ) là biểu thức trong dấu căn bậc hai trong công thức tính nghiệm của phương trình bậc 3. Nếu delta không lớn hơn 0, tức là delta bằng 0 hoặc delta nhỏ hơn 0, phương trình sẽ không có nghiệm phân biệt. 3. Điều kiện cuối cùng là a^2 b^2 c^2 - 4ac^3 - 4b^3 < 0. Điều này đảm bảo rằng công thức tính nghiệm của phương trình bậc 3 sẽ cho ta 3 nghiệm phân biệt. Tóm lại, để đảm bảo rằng phương trình bậc 3 có 3 nghiệm, chúng ta cần kiểm tra và đảm bảo cùng lúc cả ba điều kiện: a khác 0, delta lớn hơn 0 và a^2 b^2 c^2 - 4ac^3 - 4b^3 < 0. Phương trình bậc 3 có thể có bao nhiêu nghiệm phân biệt?Phương trình bậc 3 có thể có tối đa 3 nghiệm phân biệt. Để xác định có bao nhiêu nghiệm phân biệt, ta phải kiểm tra các điều kiện của phương trình bậc 3. Để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, ta cần kiểm tra các điều kiện sau: 1. Hệ số của biến số bậc hai (a) phải khác 0. 2. Delta (Δ), được tính theo công thức Δ = b^2 - 3ac, phải lớn hơn 0. 3. a^2b^2c^2 - 3abc^2 - 4b^3c + 4ab^3 - 27a^2d + 18bcd - 4ac^3d phải khác 0. Nếu tất cả các điều kiện trên được thỏa mãn, thì phương trình bậc 3 sẽ có tối đa 3 nghiệm phân biệt.  _HOOK_ XEM THÊM:
Tìm m để phương trình bậc 3 có ba nghiệm phân biệt\"Gerolamo Cardano, một nhà toán học vĩ đại từ thời Trung cổ, đã đóng góp không nhỏ cho việc giải quyết phương trình bậc Điều kiện delta > 0 trong phương trình bậc 3 là gì và tại sao nó quan trọng?Điều kiện \"delta > 0\" trong phương trình bậc 3 là một trong những điều kiện quan trọng để phương trình đó có 3 nghiệm phân biệt. \"Delta\" trong trường hợp này đại diện cho delta của phương trình, là biểu thức bao gồm hệ số của các thành phần của phương trình. Điều kiện \"delta > 0\" được áp dụng để đảm bảo rằng phương trình bậc 3 sẽ có ba nghiệm phân biệt. Nếu \"delta\" âm hoặc bằng 0, phương trình sẽ có ít hơn ba nghiệm, hoặc có cả nghiệm kép. Điều này quan trọng vì khi một phương trình bậc 3 có ba nghiệm phân biệt, nó cung cấp cho chúng ta thông tin chi tiết về biểu đồ của phương trình. Chúng ta có thể xác định các điểm cực trị, điểm uốn, và hình dạng tổng quát của đồ thị phương trình. Vì vậy, điều kiện \"delta > 0\" giúp chúng ta kiểm tra và đảm bảo rằng phương trình bậc 3 sẽ có đủ nghiệm phân biệt để chúng ta có thể phân tích một cách chi tiết và đúng đắn. 0 trong phương trình bậc 3 là gì và tại sao nó quan trọng? " style="object-fit:cover; margin-right: 20px;" width="760px" height="auto"> XEM THÊM:
Phương trình bậc 3 có nghiệm phân biệt khi nào?Phương trình bậc 3 có nghiệm phân biệt khi thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Hệ số góc a phải khác 0. 2. Delta (đại diện cho biểu thức b^2 - 4ac) phải lớn hơn 0. 3. Tích của ba hệ số, tức là abc, phải khác 0. Điều kiện thứ nhất đảm bảo rằng phương trình bậc 3 thực sự là phương trình bậc 3, vì nếu a bằng 0, phương trình sẽ trở thành phương trình bậc 2. Điều kiện thứ hai đảm bảo rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm khép kín (delta > 0). Nếu delta bằng 0, phương trình sẽ có hai nghiệm phân biệt và trùng nhau. Điều kiện thứ ba đảm bảo rằng phương trình không phải là một phương trình tuyến tính (a, b và c không đồng thời bằng 0). Nếu abc bằng 0, phương trình sẽ trở thành một phương trình bậc 2. Vì vậy, để phương trình bậc 3 có nghiệm phân biệt, cần phải đảm bảo cả ba điều kiện trên đều được thỏa mãn. Tại sao a^2 b^2 c^2 - 4ac^3 - 4b^3 d + 18abcd - 27a^2 d^2 < 0 là một điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt?Để chứng minh rằng đẳng thức a^2 b^2 c^2 - 4ac^3 - 4b^3 d + 18abcd - 27a^2 d^2 < 0 là một điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, ta cần sử dụng một số bước rẽ nhánh và lý thuyết về phương trình bậc 3. Bước 1: Giả sử phương trình bậc 3 có dạng ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, với a, b, c và d là các hệ số thực và a khác 0. Bước 2: Để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, ta có một số điều kiện cần thỏa mãn: - Điều kiện 1: a khác 0. Điều này là điều kiện vì nếu a bằng 0, phương trình không còn là phương trình bậc 3 nữa. - Điều kiện 2: Discriminant (delta) của phương trình bậc 3 phải lớn hơn 0. Discriminant của phương trình bậc 3 được tính theo công thức: delta = b^2 c^2 - 4ac^3 - 4b^3 d + 18abcd - 27a^2 d^2. Nếu delta nhỏ hơn 0, phương trình chỉ có 1 nghiệm thực hoặc không có nghiệm thực nào. Bước 3: Với điều kiện delta > 0, ta cần kiểm tra điều kiện a^2 b^2 c^2 - 4ac^3 - 4b^3 d + 18abcd - 27a^2 d^2 < 0. Nếu điều kiện này thỏa mãn, phương trình bậc 3 sẽ có 3 nghiệm phân biệt. Tóm lại, để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, điều kiện a^2 b^2 c^2 - 4ac^3 - 4b^3 d + 18abcd - 27a^2 d^2 < 0 phải được thỏa mãn. Việc chứng minh điều kiện này cần sử dụng các công thức và phương pháp trong lý thuyết về phương trình bậc 3. XEM THÊM:
Gerolamo Cardano - Người Đưa Ra Lời Giải Phương Trình Bậc 3Hãy xem video này để tìm hiểu thêm về cuộc đời và công trình của ông!\" Làm thế nào để tìm các giá trị m để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt?Để tìm các giá trị m để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, ta cần kiểm tra và thực hiện các bước sau: Bước 1: Gọi phương trình bậc 3 dưới dạng tổng quát là ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Bước 2: Áp dụng định lý Vi-ét, ta biết rằng tổng các nghiệm của phương trình bậc 3 là 0. Vì vậy, nếu phương trình có 3 nghiệm phân biệt, thì tổng của các nghiệm đó cũng phải bằng 0. Bước 3: Gọi các nghiệm của phương trình là x1, x2, và x3. Ta có x1 + x2 + x3 = 0. Bước 4: Giả sử nghiệm x1 có đơn vị ảo, thì x2 và x3 sẽ là số phức phục hợp lưỡng, và ngược lại, nếu x1 không có đơn vị ảo, thì x2 và x3 sẽ là số thực. Bước 5: Xét từng trường hợp: - Trường hợp 1: Nếu x1 = a + bi là một nghiệm có đơn vị ảo, thì ta biết được rằng x2 và x3 cũng phải là các số phức phục hợp lưỡng khác nhau. Vì vậy, x2 = a - bi và x3 = -2a. Ta có thể thay các giá trị này vào công thức x1 + x2 + x3 = 0 và giải phương trình theo a và b để tìm các giá trị phù hợp của m. - Trường hợp 2: Nếu x1 là số thực, thì x2 và x3 cũng phải là các số thực khác nhau. Vì vậy, ta có thể đặt x2 = p và x3 = q. Ta có thể thay các giá trị này vào công thức x1 + x2 + x3 = 0 và giải phương trình theo p, q để tìm các giá trị phù hợp của m. Bước 6: Với mỗi giá trị phù hợp của m tìm được từ các trường hợp trên, ta có thể đặt vào phương trình ban đầu và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn yêu cầu có 3 nghiệm phân biệt hay không. Lưu ý: Các bước trên chỉ là một phương pháp tổng quát để tìm các giá trị m để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, và còn tùy thuộc vào điều kiện cụ thể của từng phương trình. XEM THÊM:
Phương trình đa thức bậc lẻ là gì và làm thế nào để tìm điều kiện để nó có 3 nghiệm phân biệt?Phương trình đa thức bậc 3 là một phương trình trong đó biến số được nâng lên bậc 3. Để phương trình này có 3 nghiệm phân biệt, ta cần xác định điều kiện chính xác. Dưới đây là cách tìm điều kiện cho phương trình đa thức bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt: 1. Giả sử phương trình có dạng: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, trong đó a, b, c và d là các hệ số của phương trình. 2. Điều kiện đầu tiên là a khác 0. Nếu a = 0, phương trình sẽ trở thành một phương trình bậc 2 hoặc nhỏ hơn, không thể có 3 nghiệm phân biệt. 3. Điều kiện thứ hai là delta (Δ) của phương trình lớn hơn 0. Delta được tính bằng công thức Δ = b^2 - 3ac. Nếu Δ < 0, phương trình chỉ có 1 nghiệm hoặc không có nghiệm phân biệt. 4. Điều kiện cuối cùng là a^2b^2c^2 - 4a^3c^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd khác 0. Đây là một điều kiện phức tạp dựa trên các hệ số a, b, c và d của phương trình. Nếu điều kiện này không được thoả mãn, phương trình sẽ không có 3 nghiệm phân biệt. Tổng kết lại, để phương trình đa thức bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, ta cần kiểm tra các điều kiện sau: a khác 0, delta lớn hơn 0 và điều kiện cuối cùng (a^2b^2c^2 - 4a^3c^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd khác 0) được thoả mãn. _HOOK_ Đại 10 - Chương 2 - Tim m để pt có 3 nghiệm phân biệt\"Chương 2 trong cuốn sách \'Đại 10\' là một nguồn kiến thức hữu ích về toán học. Cùng tìm hiểu những nội dung thú vị trong chương này thông qua video dưới đây!\" |
