Cách giải bài toán đếm số sử dụng Hoán vị cực hay có lời giải
Trang trước
Trang sau
Quảng cáo
Cho tập hợp X gồm n phần tử . Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử, ta có công thức: Pn = n! Với những bài toán cấu tạo số ta cần chú ý: • Số chẵn là số chia hết cho 2 và chữ số hàng đơn vị là: 0; 2; 4; 6; 8. • Số lẻ là số có chữ số hàng đơn vị là: 1; 3; 5; 7; 9. • Một số chia hết cho 5 nếu chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5. • Một số chia hết cho 10 nếu chữ số hàng đơn vị là 0. • Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3. • Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9. • Một số chia hết cho 4 nếu hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4. Ví dụ 1 : Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các số 1,4, 5; 8; 9? A.20 B.120 C.60 D.15 Đáp án : B Mỗi cách lập số có 5 chữ số thỏa mãn đầu bài là một hoán vị của tập {1; 4; 5; 8; 9}. ⇒ Số có 5 chữ số khác nhau tạo thành từ tập trên là: P5 = 5!= 120 cách . Ví dụ 2 : Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 6; 7. Từ 5 chữ số này, ta lập các số chẵn có 5 chữ số khác nhau. Số các số có thể lập được là: A.96 B.36 C.32 D.48 Đáp án : Giả sử thỏa mãn đầu bài là a1a2a3a4a5. + Chọn a5 có 2 cách: a5∈ {2; 6}. + Mỗi cách chọn a1a2a3a4 là một hoán vị của tập {1;2;3; 6; 7}\ {a5}có 4 phần tử. ⇒ Số cách chọn a1a2a3a4 là 4!. + Theo quy tắc nhân có 2. 4!= 48 số thỏa mãn. Quảng cáo
Ví dụ 3 : Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 7, 8 . Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số trên? A.120 B.96 C.24 D.28 Đáp án : B Gọi số cần tìm có dạng abcde, khi đó + Có 4 cách chọn chữ số a (trừ chữ số 0). + Số cách chọn bcde là 4! ( sau khi chọn a ta còn 4 số còn lại) Vậy có tất cả 4.4! = 96 số cần tìm. Ví dụ 4 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9? A.16 B.18 C.20 D.14 Đáp án : A Gọi số cần tìm có dạng (abc) ̅ với a;b;c∈{0;1;2;3;4;5}. Vì số cần tìm chia hết cho 9 nên suy ra tổng các chữ số: ( a+b+c)⋮9. Khi đó a; b; c∈{ ( 0;4;5);( 2;3;4);( 1;3;5)}. Trường hợp 1 : Với a; b; c∈(0;4;5) Ta có 2 cách chọn a ( vì a khác 0) . Khi đó ta có 2 cách chọn b và 1 cách chọn c. suy ra có 2.2.1 = 4 số thỏa mãn yêu cầu. Trường hợp 2 : Với a;b;c∈(2;3;4) suy ra có 3! = 6 số thỏa mãn yêu cầu. Trường hợp 3 : Với a; b; c∈( 1;3; 5) suy ra có 3! = 6 số thỏa mãn yêu cầu. Vậy có thể lập được: 4+ 6+6= 16 số tự nhiên thỏa mãn bài toán. Ví dụ 5 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau. A.410 B.480 C.500 D.512 Đáp án : B Từ 6 số đã cho ta lập được: 6!= 720 số có 6 chữ số khác nhau. Giả sử hai số 1 và 2 đứng cạnh nhau. Ta coi hai số này là một phần tử X. + Hoán đổi vị trí của hai số này ta có: 2!= 2 cách. + Xếp phần tử X và 4 số còn lại vào 5 vị trí ta có: 5!= 120 cách. ⇒ có 2. 120 = 240 cách sao cho hai số 1 và 2 đứng cạnh nhau. Suy ra: có 720- 240 = 480 số thỏa mãn đầu bài. Quảng cáo
Ví dụ 6 : Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3. A.96 B.98 C.196 D.192 Đáp án : D + Ta coi hai chữ số 2 và 3 là phần tử x. Xét các số: abcde trong đó a; b; c; d; e đôi một khác nhau và thuộc tập {0; 1; x; 4; 5}. + Vì a khác 0 nên có 4 cách chọn a. Với mỗi cách chọn a; ta có: 4! Cách chọn bcde ⇒ Có 4. 4!= 96 số thỏa mãn điều kiện trên . + Khi ta hoán đổi vị trí của 2; 3 trong x ta được hai số khác nhau. Suy ra: có 96. 2= 192 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 7 : Từ các chữ số {0, 2, 3,8,9} lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? A.168 B.184 C.214 D.254 Đáp án : A Gọi số có 5 chữ số thỏa mãn là abcde. + vì a≠0 nên có 7 cách chọn a. + Số cách chọn bcde là số các hoán vị của 4 phần tử còn lại. Nên số cách chọn bcde là 4!. ⇒ số các số thỏa mãn là: 7. 4!= 168 số Ví dụ 8 : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,7,8 lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 luôn đứng chính giữa. A.5040 B.2520 C.720 D.1440 Đáp án : C + Gọi số có 7 chữ số thỏa mãn là abc1def + Số cách chọn (a,b,c,d,e,f) là số các hoán vị của tập có 6 phần tử ⇒ số các số có 7 chữ số thỏa mãn đầu bài là: 6!= 720 Câu 1 : Cho tập x = {1;2;3;4;5;6;7;8} .Từ tập X ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau. A.50480 B.36060 C.20840 D.40320 Đáp án : D Số các số tự nhiên được lập từ tập X đôi một khác nhau là một hoán vị của 8 phần tử. Do đó số các số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là 8!=40320 số.Câu 2 : Cho tập X= { 1; 2; 3; 4;6; 7; 8; 9}. Từ tập X ta có thể lập được bao nhiêu số chẵn và có 8 chữ số khác nhau? A.2016 B.10860 C.20160 D.Đáp án khác Đáp án : C Gọi số cần lập là n=a1a2a3...a8 Do n chẵn nên a8 ≠ {2;4;6;8} có 4 cách chọn a8. Khi đó số cách chọn a1a2a3...a7 là một hoán vị của 7 phần tử còn lại. Do đó; số cách chọn a1a2a3...a7 là 7!. Theo quy tắc nhân có 4.7!=20160 số thỏa mãn. Câu 3 : Cho tập A= {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Hỏi từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 8 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5? A.12980 B.15120 C.21980 D.16820 Đáp án : B Gọi số cần lập là n=a1a2a3...a8 Do n lẻ và không chia hết cho 5 nên a8≠{3;7;9} có 3 cách chọn a8. Khi đó số cách chọn a1a2a3...a7 là một hoán vị của 7 phần tử còn lại. Do đó; số cách chọn a1a2a3...a7 là 7!. Theo quy tắc nhân có 3.7!=15120 số thỏa mãn. Câu 4 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số 1 ? A.720 B.120 C.600 D.144 Đáp án : C Số các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt lập được từ các chữ số đã cho là 6!. Số các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt mà bắt đầu bằng chữ số 1 bằng số cách sắp xếp 5 chữ số 2, 3, 4, 5, 6 vào 5 vị trí sau là 5!. Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 6! – 5!= 600 Câu 5 : Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau? A.600 B.720 C.480 D.360 Đáp án : A Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn là: n=a1a2...a6 + Có 5 cách chọn a1. + Số cách chọn n=a2a3...a6 là số hoán vị của tập 5 phần tử. Nên số cách chọn : n=a2a3...a6 là 5!. Theo quy tắc nhân; có 5.5!= 600 số thỏa mãn. Câu 6 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 6, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2? A.240 B.480 C.960 D.1440 Đáp án : B Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn đầu bài là: : n=a1a2...a6. + Do số này chia hết cho 2 nên a6≠ {2;4;6;8} có 4 cách chọn. + Sau khi chọn a6; số cách chọn : n=a1a2...a5 là số các hoán vị của tập 5 phần tử . Nên số cách chọn : n=a1a2...a5 là 5! ⇒ Số các số có 6 chữ số khác nhau thỏa mãn đầu bài là: 4.5! = 480 Câu 7 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5? A.98 B.114 C.208 D.216 Đáp án : D Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn đầu bài là: : n=a1a2...a6. Trường hợp 1. Nếu a6 = 0. Khi đó số cách chọn : n=a1a2...a5 là số các hoán vị của tập có 5 phần tử ⇒ số các số có 5 chữ số thỏa mãn trường hợp này là: 5!= 120 Trường hợp 2. Nếu a6 = 5. Khi đó có 4 cách chọn a1 và có 4! Cách chọn n=a2a3a4a5 ⇒ trường hợp 2 có 4.4!= 96 số thỏa mãn. Kết hợp hai trường hợp có tất cả: 120+ 96= 216 số thỏa mãn. Câu 8 : Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập bằng cách dùng 7 chữ số 1;2;3;4;5;7;9 sao cho hai chữ số chẵn không liền nhau? A.3600 B.1440 C.2880 D.5040 Đáp án : A - Từ 7 số đã cho ta lập được: 7!= 5040 số có 7 chữ số đôi một khác nhau . - Ta tính số các số có 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số đã cho sao cho hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau.. + Coi hai số chẵn 2 và 4 là một phần tử X. + Từ phần tử X và 5 số còn lại ta lập được 6! Số có 6 chữ số. + Hoán đổi vị trí của hai số 2 và 4 ta có: 2! Cách ⇒ có 6! .2!= 1440 số có 7 chữ số khác nhau đôi một sao cho hai chữ số 2; 4 liền nhau. Suy ra: có 5040 – 1440= 3600 số thỏa mãn đầu bài. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước
Trang sau
|
