Định nghĩa 1 Cho hàm f(x) xác định trên [a,+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] , với b > a_. Ta gọi_ Show giới hạn I= lim b→+∞ ∫b a f(x)dx là tích phân suy rộng loại 1 của f(x) trên [a,+∞) và kí hiệu là ∫+∞ a f(x)dx:= lim b→+∞ ∫b a f(x)dx=I. Nếu I hữu hạn ta nói tích phân suy rộng ∫+∞a f(x)dx hội tụ, còn trong trường hợp ngược lại (hoặc không tồn tại lim b→+∞ ∫b a f(x)dx hoặc lim b→+∞ ∫b a f(x)dx=∞ ) thì ta nói tích phân suy rộng ∫+∞a f(x)dx là phân kỳ. Nhận xét 1 Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng [a,+∞) và khả tích trên mọi đoạn [a, b] với b > a_. Khi đó_ với mọi số thực a ′ > a , ta có ∫ b a f(x)dx= ∫a ′ a f(x)dx+ ∫b a′ f(x)dx. Do đó lim b→+∞ ∫b a f(x)dx tồn tại (hữu hạn hoặc vô cùng) khi và chỉ khi lim b→+∞ ∫b a′ f(x)dx tồn tại và ta có ∫+∞a f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi ∫+∞a′ f(x)dx hội tụ. Nếu một trong hai tích phân suy rộng nói trên tồn tại thì ∫+∞ a f(x)dx= ∫a ′ a f(x)dx+ ∫+∞ a′ f(x)dx. Ý nghĩa: Khi nghiên cứu sự hội tụ của ∫+∞a f(x)dx ta có thể cắt bỏ đi một đoạn [a, a ′ ] tùy ý của [a,+∞) mà chỉ cần xét ∫+∞ a′ f(x)dx là đủ. Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau. Định lý 1 a) Nếu các tích phân suy rộng ∫+∞ a f(x)dx và ∫+∞ a g(x)dx hội tụ thì tích phân suy rộng ∫+∞ a [f(x)+ g(x)]dx và ∫ +∞ a [f(x) +g(x)]dx= ∫+∞ a f(x)dx+ ∫+∞ a g(x)dx.
∫+∞ a f(x)dx và k là một hằng số thực thì tích phân ∫+∞ a kf(x)dx hội tụ và ∫+∞ a kf(x)dx= k ∫+∞a f(x)dx_._ 2 TIÊU ĐỒNGVĨNH HỌC
∫b a f(x)dx=F(x) ∣∣b a \=F(b)−F(a) và tồn tại lim b→+∞ F(b) =F(+∞) thì ∫+∞ a f(x)dx=F(+∞)−F(a). (d) (Công thức tích phân từng phần) Nếu u(x) , v(x) là những hàm khả vi liên tục trên [a,+∞) và giới hạn lim x→+∞ u(x)v(x) tồn tại hữu hạn thì ∫+∞ a udv=uv ∣∣+∞ a −∫+∞ a vdu trong đó uv ∣∣+∞ a \= lim x→+∞ [u(x)v(x)−u(a)v(a)]. Tương tự, ta định nghĩa tích phân trên các khoảng (−∞, b] và (−∞,+∞). Định nghĩa 1 Cho hàm f: (−∞, b]→R là hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b] , với a < b_. Tích phân suy rộng của_ f trên (−∞, b] là giới hạn ∫b −∞ f(x)dx dn = lim a→−∞ ∫b a f(x)dx. Nếu giới hạn là hữu hạn thì ta nói rằng ∫b −∞ f(x)dx hội tụ. Tích phân không hội tụ gọi là phân kỳ. Định nghĩa 1 Cho hàm f: (−∞,+∞)→R là hàm khả tích trên mọi đoạn hữu hạn. Nếu với một số thực a nào đó, hai tích phân suy rộng ∫a −∞ f(x)dx và ∫+∞ a f(x)dx tồn tại và tổng ∫a −∞ f(x)dx+ ∫+∞ a f(x)dx có nghĩa (tức là không có dạng ∞−∞ ) thì ta gọi tổng này là tích phân của f trên (−∞,+∞) và ký hiệu là ∫ +∞ −∞ f(x)dx_. Như vậy_ ∫+∞−∞ f(x)dx dn ∫a −∞ f(x)dx+ ∫+∞a f(x)dx. Tích phân ∫+∞−∞ f(x)dx được gọi là hội tụ nếu tổng ở vế phải hữu hạn. Nhận xét 1 (i) Dễ thấy rằng sự phân kỳ hay hội tụ của +∫∞−∞ f(x)dx và giá trị của nó không phụ thuộc vào a_._ (ii) Với cách xác định như trên ta có ngay +∫∞−∞ f(x)dx= lim b→+∞ a→−∞ ∫b a f(x)dx. Ví dụ 1 Tính ∫+∞0 e −x dx_._ 4 TIÊU ĐỒNGVĨNH HỌCVí dụ 1 Xét sự hội tụ của tích phân ∫+∞a dx x α , a > 0_._ Nếu α= 1 thì ∫+∞ a dx x \= lim b→+∞ ∫b a dx x \= lim b→+∞ lnx| b a= lim b→+∞ (lnb−lna) = +∞. Vậy trong trường hợp này tích phân phân kỳ. Nếu α 6 = 1 thì ∫+∞ a dx x α \= lim b→+∞ ∫b a x −α dx \= lim b→+∞ x 1 −α 1 −α ∣∣∣∣b a \=11 −α lim b→+∞ (b 1 −α −a 1 −α ) \=+∞ nếu α < 1 , a 1 −α α− 1 nếu α > 1. Các kết quả được phát biểu trong định lý sau: Định lý 1 Tích phân suy rộng ∫+∞ a dx x α , a > 0 hội tụ nếu α > 1 , phân kỳ nếu α 61_._ 1 Tích phân suy rộng của các hàm số không âmKhi nói đến tích phân suy rộng, trước hết ta quan tâm xem nó có hội tụ hay không? Vì nhiều khi hàm dưới dấu tích phân không có nguyên hàm biểu diễn qua các hàm sơ cấp hoặc ta không cần tính giá trị của tích phân suy rộng. Vậy ta chỉ cần quan tâm tích phân suy rộng đã cho hội tụ hay phân kỳ. Ta đưa ra một số tiêu chuẩn sau đây: Định lý 1 Giả sử f(x) là hàm số xác định trên [a,+∞) , khả tích trên mọi đoạn [a, b] với b > a_. Nếu_ f(x)≥ 0 với mọi x∈[a,+∞) thì tích phân ∫+∞ a f(x)dx luôn luôn tồn tại (hữu hạn hoặc bằng +∞ ). Định lý 1 (Tiêu chuẩn so sánh) Cho hai hàm f(x), g(x) xác định trên khoảng [a,+∞) , khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] với b > a_. Nếu_ 06 f(x) 6 g(x),∀x∈[a,+∞) Khi đó + Nếu ∫+∞ a g(x)dx hội tụ thì ∫+∞ a f(x)dx cũng hội tụ, + Nếu ∫+∞a f(x)dx phân kỳ thì ∫+∞a g(x)dx cũng phân kỳ. Ta thường dùng tiêu chuẩn so sánh dưới dạng sau: TÍCH PHÂN SUY RỘNG: KIẾN THỨC CƠ BẢN,CÔNG THỨC,VÍ DỤ MẪU 5Hệ quả 1 Cho f(x), g(x) là những hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b] , với b > a và là những hàm không âm trên [a,+∞). Giả sử tồn tại giới hạn lim x→+∞ f(x) g(x) \=k. Khi đó (a) Nếu 0 < k <+∞ thì hai tích phân ∫+∞ a f(x)dx và ∫+∞ a g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ, (b) k= 0 : Nếu ∫+∞a g(x)dx hội tụ thì ∫+∞a f(x)dx cũng hội tụ, (c) k= +∞ : Nếu ∫+∞a g(x)dx phân kỳ thì ∫+∞a f(x)dx cũng phân kỳ. Nhận xét 1 (i) Từ hệ quả trên ta thấy ngay rằng nếu f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi x→+∞ , tức là nếu f(x)∼g(x) khi x→+∞ thì các tích phân ∫+∞a f(x)dx và ∫+∞a g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Có lẽ vì vậy mà một số tài liệu gọi hệ quả trên là tiêu chuẩn tương đương. (ii) Hàm so sánh đơn giản thường được chọn là hàm dạng g(x) = 1x α , α > 0 và kết hợp sử dụng kết quả của Định lý 1. (iii) Nếu f(x) 60 thì chỉ việc khảo sát tích phân −∫+∞a f(x)dx= ∫+∞a −f(x)dx. Nếu f(x) đổi dấu một số lần trong [a, a ′ ] và trong [a ′ ,+∞) giữ nguyên một dấu thì để khảo sát sự hội tụ hay phân kỳ của tích phân ∫+∞a f(x)dx , ta chỉ việc cắt bỏ đi đoạn [a, a ′ ] và khảo sát tích phân trong khoảng còn lại ∫+∞ a′ f(x)dx_._ Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của tích phân 1)∫+∞ 0 e −x 2 dx 2) ∫+∞ 1 ln(1 +x) x dx.
−x 2 6 e −x với mọi x≥ 1_. Ta biết rằng_ ∫+∞ 0 e −x dx hội tụ. Do đó theo tiêu chuẩn so sánh ta suy ra tích phân ∫+∞0 e −x 2 dx hội tụ.
ln(1 +x) x \>1x với mọi x≥ 2. Ta biết rằng ∫+∞ 1 dx x phân kỳ ( α= 1 ). Do đó theo tiêu chuẩn so sánh ta suy ra tích phân đã cho phân kỳ. Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng loại 1 sau: 1)∫+∞1 √x 3 + 2 2 x 2 +x− 1 dx 2) ∫+∞1 (1 −cos 2x )dx 3)∫+∞1 2 x √ x 5 +x+ 1 dx 4) ∫+∞1 2 cos 1x x dx TÍCH PHÂN SUY RỘNG: KIẾN THỨC CƠ BẢN,CÔNG THỨC,VÍ DỤ MẪU 71 Tích phân suy rộng của hàm có dấu bất kỳĐịnh nghĩa 1 Ta nói rằng tích phân ∫+∞a f(x)dx hội tụ tuyệt đối nếu tích phân ∫+∞a |f(x)|dx hội tụ. Định lý 1 Tích phân hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Proof. Vì ∫+∞ a |f(x)|dxhội tụ nên theo tiêu chuẩn Côsi, với mọiǫ > 0 tuỳ ý, tồn tạiB=B(ǫ)≥asao cho với mọib, b ′ ≥B(ǫ)ta có ∫ b′ b |f(x)|dx < ǫ. Nhưng ta lại có bất đẳng thức ∣ ∣ ∣ ∣ ∫b′ b f(x)dx ∣∣∣∣6∫b′ b |f(x)|dx < ǫ. Vậy tích phân ∫+∞a |f(x)|dxhội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy ở trên. Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của tích phân ∫+∞0 coskx a 2 +x 2 dx , a , k∈R , a 6 = 0_._ Giải: Với mọia 6 = 0, hàm số dưới dấu tích phân xác định và liên tục trên[0,+∞). Với mọix≥ 1 , ta có ∣ ∣ ∣ ∣ coskx a 2 +x 2 ∣∣∣∣61x 2 .Vì tích phân ∫+∞1 dx x 2 dxhội tụ (α= 2> 1 ) nên tích phân ∫+∞0 ∣∣∣∣coskx a 2 +x 2 ∣∣∣∣dxhội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh), tức là tích phân được xét hội tụ tuyệt đối (do đó hội tụ). Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của tích phân ∫+∞0 e −x cosαxdx , α∈R_._ Giải: Vì|e −x cosαx| 6 e −x với mọix∈Rvà ∫+∞0 e −x dxhội tụ nên tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối. Nhận xét 1 Chiều ngược lại của Định lý 1 không đúng. Ví dụ sau đây chứng tỏ điều đó. Ví dụ 1 Chứng minh rằng tích phân I= ∫+∞1 sinx x dx hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. Chứng minh: Trước hết ta chỉ ra tích phân đã cho hội tụ. Thật vậy, tích phân từng phần ta có I=−cosx x ∣∣∣∣+∞ 1 −∫+∞1 cosx x 2 dx \= cos 1− ∫+∞1 cosx x 2 dx (vì|cosb| 61 nên lim b→+∞ cosb b \= 0)Mặt khác vì ∣∣∣∣cosx x 2 ∣∣∣∣61x 2 với mọix≥ 1 và ∫+∞1 1x 2 dxhội tụ nên tích phân ∫+∞1 cosx x 2 dxhội tụ tuyệt đối. Do đó tích phân đã cho hội tụ. Hơn nữa, nếu ∫+∞1 ∣∣∣∣sinx x ∣∣∣∣dxhội tụ thì vì sin 2 x x 6∣∣∣∣sinx x ∣∣∣∣với mọix≥ 1 8 TIÊU ĐỒNGVĨNH HỌCnên ∫+∞ 1 sin 2 x x dx= ∫+∞1 1 −cos 2x 2 x dx hội tụ. Bằng cách tương tự nhưI= ∫+∞ 1 sinx x dxta cũng chỉ ra được tích phân ∫+∞ 1 cos 2x 2 x dxhội tụ. Do vậy ∫+∞1 [1 −cos 2x 2 x dx+ cos 2x 2 x ]dx= ∫+∞1 dx 2 x hội tụ. Đây là điều mâu thuẫn. Vậy tích phân đã cho không hội tụ tuyệt đối. Định nghĩa 1 Một tích phân suy rộng hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối ta gọi nó là bán hội tụ (hay còn gọi là hội tụ tương đối). Khi xét sự hội tụ của các tích phân không hội tụ tuyệt đối ta thường cần tới hai tiêu chuẩn hội tụ: Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel. Định lý 1 (Tiêu chuẩn Dirichlet) Cho f, g: [a,+∞)→R là các hàm khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] , b≥a_. Nếu các điều kiện sau đây được_ thỏa mãn:
′ (x) liên tục trên [a,+∞) ;
thì tích phân ∫+∞a g(x)f(x)dx hội tụ. Định lý 1 (Tiêu chuẩn Abel) Cho f, g: [a,+∞)→R là các hàm khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] , b≥a_. Nếu các điều kiện sau đây được_ thỏa mãn:
∫+∞ a f(x)dx hội tụ;
thì tích phân ∫+∞a g(x)f(x)dx hội tụ. Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của các tích phân (với a > 0 ) ∫+∞ a sinαx x p dx, và ∫ +∞ a cosβx x p dx, trong đó α, β, p là các hằng số, α, β 6 = 0_._ Ta chỉ xét tích phân ∫+∞a sinαx x p dx, tích phân còn lại làm tương tự.
10 TIÊU ĐỒNGVĨNH HỌCNhận xét 1 Trong hai tích phân Fresnel nói trên, hàm số dưới dấu tích phân không dần về 0 khi x→+∞_._ 2 Tích phân suy rộng loại 2 (tích phân suy rộng của hàm không bị chặn)Bây giờ ta xét việc suy rộng tích phân ∫b a f(x)dxtrong đó hàmfkhông bị chặn trên[a, b]. Tích phân suy rộng loại này gọi là tích phân suy rộng loại 2. 2 Các định nghĩaĐịnh nghĩa 2 Cho hàm số y=f(x) xác định trên [a, b) với x=b là điểm bất thường, khả tích trên mọi đoạn [a, c] , với a 6 c < b_._ |
