CÁC DẠNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 11 CÓ LỜI GIẢIDạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bảnTrắc nghiệm giải phương trình lượng giác cơ bảnDạng 2: Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giácTrắc nghiệm hương trình bậc hai với một hàm số lượng giácDạng 3: Phương trình bậc nhất theo sinx và cosxTrắc nghiệm phương trình bậc nhất theo sinx và cosxDạng 4: Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giácTrắc nghiệm phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giácDạng 5: Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứngTrắc nghiệm phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứngDạng 6: Cách giải các phương trình lượng giác đặc biệtTrắc nghiệm giải các phương trình lượng giác đặc biệtDạng 7: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác thỏa mãn điều kiệnTrắc nghiệm tìm nghiệm của phương trình lượng giác thỏa mãn điều kiệnDạng 8: Phương pháp loại nghiệm, hợp nghiệm trong phương trình lượng giácTrắc nghiệm phương pháp loại nghiệm, hợp nghiệm trong phương trình lượnggiácGiải phương trình lượng giác cơ bảnTìm nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên khoảng (đoạn)Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bảnPhương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giácPhương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giácPhương trình bậc hai đối với hàm số lượng giácPhương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giácTìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạnTìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệmĐiều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệmGiải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosxPhương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosxPhương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosxPhương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosxPhương trình lượng giác đưa về dạng tíchPhương trình lượng giác không mẫu mựcTìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạnChủ đề: Phương trình lượng giácDạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bảnCách giải phương trình lượng giác cơ bảnA. Phương pháp giải & Ví dụ- Phương trình sinx = a(1)♦ |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.Khi đó phương trình (1) có các nghiệm làx = α + k2π, k ∈ Zvà x = π-α + k2π, k ∈ Z.Nếu α thỏa mãn điều kiệnvà sinα = a thì ta viết α = arcsin a.Khi đó các nghiệm của phương trình (1) làx = arcsina + k2π, k ∈ Zvà x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.Các trường hợp đặc biệt:- Phương trình cosx = a(2)♦ |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm.♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.Khi đó phương trình (2) có các nghiệm làx = α + k2π, k ∈ Zvà x = -α + k2π, k ∈ Z.Nếu α thỏa mãn điều kiệnvà cosα = a thì ta viết α = arccos a.Khi đó các nghiệm của phương trình (2) làx = arccosa + k2π, k ∈ Zvà x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.Các trường hợp đặc biệt:- Phương trình tanx = a(3)Điều kiện:Nếu α thỏa mãn điều kiệnvà tanα = a thì ta viết α = arctan a.Khi đó các nghiệm của phương trình (3) làx = arctana + kπ,k ∈ Z- Phương trình cotx = a(4)Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.Nếu α thỏa mãn điều kiệnKhi đó các nghiệm của phương trình (4) làx = arccota + kπ, k ∈ Zvà cotα = a thì ta viết α = arccot a.Ví dụ minh họaBài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:a) sinx = sin(π/6)b) 2cosx = 1.c) tanx – 1 = 0d) cotx = tan2x.Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:a) cos2 x - sin2x =0.b) 2sin(2x – 40º) = √3Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:Đáp án và hướng dẫn giảiBài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:a) sinx = sinπ/6b)c) tanx=1⇔cosx= π/4+kπ (k ∈ Z)d) cotx=tan2xBài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:a) cos2x-sin2x=0 ⇔cos2x-2 sinx cosx=0⇔ cosx (cosx - 2 sinx )=0b) 2 sin(2x-40º )=√3⇔ sin(2x-40º )=√3/2Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:a) sin(2x+1)=cos(3x+2)b)⇔ sinx+1=1+4k⇔ sinx=4k (k ∈ Z)Nếu |4k| > 1⇔|k| > 1/4; phương trình vô nghiệmNếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0 .Khi đó:⇔sinx = 0 ⇔ x = mπ (m ∈ Z)B. Bài tập vận dụngBài 1: Giải các phương trình saua) cos(3x + π) = 0b) cos (π/2 - x) = sin2xLời giải:Bài 2: Giải các phương trình saua) sinx.cosx = 1b) cos2 x - sin2 x + 1 = 0Lời giải:Bài 3: Giải các phương trình saua) cos2 x - 3cosx + 2 = 0b) 1/(cos2 x) - 2 = 0.Lời giải:Bài 4: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x.Lời giải:Bài 5: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx + (√3+1)cosx = 2√2 sin2xLời giải:Trắc nghiệm giải phương trình lượng giác cơ bảnBài 1: Giải phương trình sau:.Hiểnthị đáp ánĐáp án: DVậy chọn DBài 2: Giải phương trình: cos2x.tanx = 0.Hiểnthị đáp ánĐáp án: DBài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sinx = m có nghiệm.A. m ≠ 1B. m ≠ -1C. -1 ≤ m ≤ 1D. m > 1Hiển thị đáp ánĐáp án: Csinx = m có nghiệm ⇔ |m| ≤ 1. Chọn CBài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của m đế phương trình cosx - m = 0 có nghiệm.A. m ∈ (-∞,-1]C. m ∈ [-1,1]B. m ∈ (1,+∞]D. m ≠ -1Hiển thị đáp ánĐáp án: Ccosx - m = 0 có nghiệm ⇔ cosx = m có nghiệm ⇔ |m| ≤ 1. Chọn CBài 5: Số nghiệm của phương trình sin(2x – 40º) = 1 với -180º < x < 180º là:A.1B.2C.3D.4Hiển thị đáp ánĐáp án: Bsin(2x-40º) = 1 ⇔ 2x-40º = 90º + k360º ⇔ x = 65º + k180º-180º < x < 180º ⇒ x=65º (k=0),x= -115º (k= -1) .Chọn B.Bài 6: Gọi a là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trìnhđề nào sau đây đúng:. MệnhHiển thị đáp ánĐáp án: Ck = 0 ⇒ x= π/4 (không thoả mãn)k = 1 ⇒ x= 3π/4→Chọn CBài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx = m +1 cónghiệm:A.1B.2Hiển thị đáp ánC.3D. vô số.Đáp án: Ccosx = m + 1 có nghiệm ⇔ |m+1| ≤ 1 ⇔ -2 ≤ m ≤ 0Vì m nguyên ⇒ m ∈ {-2;-1;0}→Chọn CBài 8: Phương trình nào sau đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phươngtrình tanx = 1:A.sinx = √2/2B. cosx = √2/2C.cotx = 1D. cot2x = 1Hiển thị đáp ánĐáp án: Ctanx = 1 ⇒ cotx = 1 ⇒ Chọn CBài 9: Giá trị nào là nghiệm của phương trình tan3x.cot2x = 0Hiểnthị đáp ánĐáp án: DKết hợp với điều kiện ta chọn D.Bài 10: Số nghiệm của phương trình tanx = tan(3π/11) trên khoảng [π/4,2 π] là:A.1B.2C.3D. vô số.Hiển thị đáp ánĐáp án: BBài 11: Tổng các nghiệm của phương trình tan5x – tanx = 0 trên nửa khoảng [o,π) bằng:A. πB.2 πC. 3π/2D. 5π/2.Hiển thị đáp ánĐáp án: Ctan5x = tanx ⇔ x = kπ/4. x ∈ [0; π) ⇒ x=0; π/4; π/2; 3π/4⇒ Tổng các nghiệm: 3π/2 .Chọn CBài 12: Nghiệm nhỏ nhất của phương trình cosx = 1 trên [0,10 π] là:A. πB.2 πC. 3π/2D. 5π/2.Hiển thị đáp ánĐáp án: Acosx=1 ⇔ x = k2π ⇒ nghiệm nhỏ nhất là 0 . Chọn ABài 13: Số nghiệm của phương trình cosx = 0.566 trên đoạn [π/2,2 π] là:A.1B.2Hiển thị đáp ánĐáp án: Acosx = 0,566C.3D. 4.⇔ x ≈ ± 0,3π + k2π ⇒ Số nghiệm trên [π/2;2π] là 1 → Chọn ABài 14: Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos(x/2 + 15º)=sinx. Mệnh đề nàosau đây đúng:A.290º ∈ XB. 20º ∈ XC. 220º ∈ XD. 240º ∈ X.Hiển thị đáp ánĐáp án: ABài 15: Phương trình sin2 x=0.5 tương đương với phương trình nào sau đây.A.cosx = 1B. cos2x = 1C. sin2x = 0D. sin(0.5x) = 1Hiển thị đáp ánĐáp án: BDạng 2: Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giácPhương trình bậc hai với một hàm số lượng giácA. Phương pháp giải & Ví dụĐịnh nghĩa:Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Là phương trình có dạng :a.f2(x) + b.f(x) + c = 0với f(x) = sinu(x) hoặc f(x) = cosu(x), tanu(x), cotu(x).Cách giải:Đặt t = f(x) ta có phương trình : at2 + bt +c = 0Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được xKhi đặt t = sinu(x) hoặc t = cosu(x), ta có điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1Ví dụ minh họaBài 1: sin2x +2sinx - 3 = 0Bài 2: cos2x – sinx + 2 = 0B. Bài tập vận dụngBài 1: 1/(sin2 x)+tanx-1=0Lời giải:Bài 2: cosx – sin2x = 0Lời giải:Bài 3: cos2x + cosx – 2 = 0Lời giải:Bài 4: 1 + sin2x + cosx + sinx = 0Lời giải:⇔ 1 + 2 sinx cosx + 2(cosx+sinx ) = 0⇔ cos2x + sin2x + 2 sinxcosx + 2 (cosx+sinx )=0⇔ (sinx + cosx)2 + 2 (cosx+sinx )=0Bài 5: cos23xcos2x – cos2x = 0Lời giải:Trắc nghiệm hương trình bậc hai với một hàm số lượng giácBài 1: Giá trị x ∈ (0,π) thoả mãn điều kiện cos2x + sinx – 1 = 0 là:A.x = π/2B.x = π/4Hiển thị đáp ánC.x = -π/2D.x = 2π/3Đáp án: Acos2x + sinx-1=0 ⇔ -sin2x + sinx = 0x ∈ (0,π) nên x = π/2 (k=0). Chọn ABài 2: Tập nghiệm của phương trình tanx + cotx -2 = 0 là:Hiển thị đáp ánĐáp án: BĐK: x ≠ kπ/2 (k ∈ Z)tanx + cotx - 2 = 0Chọn B.Bài 3: Tập nghiệm của phương trình 2sin2x – sin2x = 0 là:Hiển thị đáp ánĐáp án: A2sin2x- sin2x = 0 ⇔ 2sin2x - 2sinxcosx = 0Chọn ABài 4: Tập nghiệm của phương trình 2cos 25x + 3cos5x – 5 = 0 thuộc khoảng (0;π)là:Hiển thị đáp ánĐáp án: B2cos25x + 3 cos5x - 5 = 0Bài 5: Tập nghiệm của phương trình sin4x – 13sin2x + 36 = 0 là:Hiển thị đáp ánĐáp án: Dsin4x - 13 sin2x + 36 = 0Bài 6: Tập nghiệm của phương trình sin2x – 3sinx + 2 = 0 là:Hiển thị đáp ánĐáp án: Asin2x-3 sinx + 2 = 0Bài 7: Số phần tử thuộc tập nghiệm của phương trình 4sinx = 1/sinx trong khoảng[0;2π}A. 2B.4Hiển thị đáp ánĐáp án: BC.6D.8ĐK: sinx ≠ 0Bài 8: Trong khoảng (0;2π) phương trình cot2 x - tan2 x=0 có tổng các nghiệm là:A. πB.2πC. 3πD. 4πHiển thị đáp ánĐáp án: DTrong (0,2 π) có các nghiệm: π/4,5π/4,3π/4,7π/4 và tổng các nghiệm là 4π. ChọnDBài 9: Trong các nghiệm của phương trình cos 2 xcos2x- cos2 x=0, nghiệm nằmtrong khoảng (0;π) là:A. π/2B. 3π/2C. πD. 2πHiển thị đáp ánĐáp án: Acos2xcos2x - cos2x = 00 < x < π nên x = π/2 (k=0). Chọn ABài 10: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2cos 2x + 5cosx + 3 = 0trên đường tròn lượng giác là?A. 1B. 2C. 3D. 4Hiển thị đáp ánĐáp án: A2cos2x + 5cosx + 3 = 0Bài 11: Cho phương trình cot23x - 3cot3x + 2 = 0 Đặt t = cot3x , ta được phươngtrình nào sau đây?A. t2 – 3t + 2 = 0B. 3t2 – 9t + 2 = 0C. t2 – 9t + 2 = 0D. t2 – 6t + 2 = 0Hiển thị đáp ánĐáp án: Acos2x + 3cosx + 4 = 0⇔ 1 - 2 cos2x + 3 sinx + 4 = 0Bài 12: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos2x + 3sinx +4 = 0 trênđường tròn lượng giác là?A. 1B. 2C. 3D. 4Hiển thị đáp ánĐáp án: Acos2x + 3sinx +4 = 0 ⇔ -2sin2x + 3sinx + 5 = 0Vậy x = -π/2 + k2π. Vậy chỉ có một điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.Chọn ABài 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tanx + mcotx =8 có nghiệm.A. m > 16B.m < 16C. m = 16D. m ≤ 16Hiển thị đáp ánĐáp án: Dtanx + m cotx = 8⇔ tan2x + 8 tanx + m = 0Δ' = 16-m. Để pt có nghiệm thì Δ' ≥ 0 ⇔ m ≤ 16. Chọn DBài 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos2x – (2m +1)cosx + m + 1 = 0 có nghiệm trên khoảng (π/2,3π/2).A. -1 < m < 1. B. -1 ≤ m <0. |
