1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa :
vectơ \(\vec{u}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) nếu \(\vec{u}\) ≠ \(\vec{0}\) và giá của \(\vec{u}\) song song hoặc trùng với \(∆\)
Nhận xét :
- Nếu \(\vec{u}\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) thì \(k\vec{u} ( k≠ 0)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(∆\) , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và nhận vectơ \(\vec{u} = (u_1; u_2)\) làm vectơ chỉ phương là :
\(∆\) : \(\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.\)
-Khi \(u_1≠ 0\) thì tỉ số \(k= \dfrac{u_{2}}{u_{1}}\) được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và có hệ số góc k là:
\(y – y_0 = k(x – x_0)\)
Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \(k = \tan α\) với góc \(α\) là góc của đường thẳng \(∆\) hợp với chiều dương của trục \(Ox\)
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ \(\vec{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) nếu \(\vec{n}\) ≠ \(\vec{0}\) và \(\vec{n}\) vuông góc với vectơ chỉ phương của \(∆\)
Nhận xét:
- Nếu \(\vec{n}\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) thì k\(\vec{n}\) \((k ≠ 0)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(∆\), do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình \(ax + by + c = 0\) với \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\), được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Trường hợp đặc biết:
+ Nếu \(a = 0 => y = \dfrac{-c}{b}; ∆ // Ox\) hoặc trùng Ox (khi c=0)
+ Nếu \(b = 0 => x = \dfrac{-c}{a}; ∆ // Oy\) hoặc trùng Oy (khi c=0)
+ Nếu \(c = 0 => ax + by = 0 => ∆\) đi qua gốc tọa độ
+ Nếu \(∆\) cắt \(Ox\) tại \(A(a; 0)\) và \(Oy\) tại \(B (0; b)\) thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng \(∆\) :
\(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\)
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2
có phương trình tổng quát lần lượt là :
a1x+b1y + c1 = 0 và a2x+b2y +c2 = 0
Điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\)) là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi \((x_0 ;y_0)\) là nghiệm của hệ hai phương trình:
(1) \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\)
Ta có các trường hợp sau:
a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2
b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆1 // ∆2
c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1 \( \equiv \)∆2
6.Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc.
Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 900.
Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00.
Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là \(\widehat{(\Delta _{1},\Delta _{2})}\)
Cho hai đường thẳng:
∆1: a1x+b1y + c1 = 0
∆2: a2x+b2y + c2 = 0
Đặt \(\varphi\) = \(\widehat{(\Delta _{1},\Delta _{2})}\)
\(\cos \varphi\) = \(\dfrac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\)
Chú ý:
+ \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2}\) \( \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0\)
+ Nếu \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì
\({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} = - 1\)
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(∆\) có phương trình \(ax+by+c=0\) và điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\)).
Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến đường thẳng \(∆\) kí hiệu là \(d(M_0,∆)\), được tính bởi công thức
\(d(M_0,∆)=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
Loigiaihay.com
Tham số (parameter) là phần hằng số hay giá trị không đổi trong một phương trình, có tá dụng cụ thể hóa mối quan hệ chính xác giữa các biến số.
Ví dụ trong phương trình tiêu dùng: C = C* + cY, trong đó C* và c là các tham số tham gia quyết định mối liên hệ giữa biến độc lập C và biến phụ thuộc Y. Phương trình chỉ được xác định khi chúng ta biết hết các tham số của nó
(Tài liệu tham khảo: Nguyễn Văn Ngọc, Từ điển Kinh tế học, Đại học Kinh tế Quốc dân)
Phương trình tham số của đường thẳng
* có dạng:
* Chú ý: – Khi thay mỗi t ∈ R vào PT tham số ta được 1 điểm M(x;y) ∈ (d).
– Nếu điểm M(x;y) ∈ (d) thì sẽ có một t sao cho x, y thoả mãn PT tham số.
– 1 đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số (vì ứng với mỗi t ∈ R ta có 1 phương trình tham số).
Tag: tìm tất cả thực m giải biện luận theo bất logarit chứa lượng giác dòng lệnh ước để nghiệm bậc 2 pháp bộ điều khiển pid bài tập lời tích phân chuyển sang tổng quát bao nhiêu nguyên lớp 9 kiểm phi cách nhẩm 3
1. Vecto chỉ phương
*) Phương trình tham số là gì?
2. Phương trình tham số của đường thẳng
3. Các dạng phương trình tham số thường gặp
4. Bài tập có lời giải
Ví dụ 1:Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
Hướng dẫn giải
Ví dụ 2:Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a. Đường thẳng d đi qua 2 điểm A(-1;1), B(2; -1).
b. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng
Hướng dẫn giải
Ví dụ 3:Cho 3 điểm A(-2; 1), B(-1; 5), C(-2; -3)
a. Viết phương trình tham số AB, AC.
b. Viết phương trình tham số đường trung trực cạnh BC.
c. Viết phương trình đường thẳng song song với AB và đi qua trung điểm của BC.
Hướng dẫn giải
Ví dụ 4:Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết
a) Đi qua 2 điểm A(-3,2), B (5,-4). Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.
b) Đi qua A (3,1) song song với đường thẳng y = -2x + m -1
Hướng dẫn giải
4. Bài tập tự luyện
Bài 1:Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(-1; 5), C(2; 3)
a. Viết phương trình tham số các cạnh AB, BC, AC.
b. Viết phương trình đường trung tuyến AM, CP với M, P lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB.
c. Viết phương trình tham số đường cao AH.
d. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với BC.
e. Đường thẳng đi qua B và vuông góc với y = 2x - 3.
Bài 2:Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) trong các trường hợp sau:
a. Đường thẳng đi qua 2 điểm A(-2; 0), B(1; 3).
b. Đường thẳng đi qua M(3; -2) song song với đường thẳng 2x + 5y - 4 = 0.
c. Đường thẳng có hệ số góc k = 1 đi qua điểm D(-1; -1).
d. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng x - y - 1 = 0.
Bài 3:
1. Cho 3 điểm A(-4;1), B(0;2), C(3;-1).
a) Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB, BC, CA.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Viết phương trình tham số của đường thẳng AM.
2. Cho tam giác ABC có A(1;4); B(-9;0); C(7;1)
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB, BC, CA.
b) Viết phương trình tham số đường trung tuyến của tam giác ABC.
Bài 4:Cho 2 đường thẳng
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d1và d2
b) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của:
+ Đường thẳng đi qua A và vuông góc với d1
+ Đường thẳng đi qua A và song song với d2