Tiểu luận một số phương pháp chứng minh toán học

Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.

Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.

Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.

Khóa luận tốt nghiệpA.MỞ ĐẦU1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀITrong các môn học thì Toán học có vị trí nổi bật, nó có nguồn gốc từthực tiễn, có mặt ở khắp mọi nơi và là chìa khoá trong hầu hết hoạt độngcủa con người, môn học này giúp chúng ta mở rộng kiến thức để bướcvào cuộc sống. Đặc biệt trong chương trình phổ thông, Toán là môn khoahọc công cụ giúp học sinh rèn luyện trí thông minh. Và để giúp học sinhnắm vững “chìa khoá” là tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo để ứng dụngToán học vào cuộc sống thì các bài toán trong trường phổ thông chính làmột phương tiện hiệu quả và không thể thay thế. Việc giải quyết các bàitoán có thể coi là mục tiêu ban đầu của cấu trúc Toán học và là phầnkhông thể chia tách được của các hoạt động Toán học. Giải toán giúp họcsinh rèn luyện kĩ năng suy luận tư duy logic, khả năng sáng tạo, rèn luyệntính kiên trì đồng thời giúp học sinh củng cố, tổng hợp được các kiếnthức.Trong chương trình phổ thông học sinh gặp rất nhiều bài toán chứngminh và cũng có nhiều phương pháp chứng minh để giải quyết các bàitoán này. Mỗi phương pháp đều có cái hay và thế mạnh riêng với mỗidạng bài. Trong khoá luận này tôi xin đề cập đến hai phương pháp chứngminh rất hữu ích hay dùng trong lập luận Toán học với những bài toánmà việc sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp đôi khi khó giảiquyết.Với mong muốn giúp cho bản thân cũng như các bạn sinh viên cóđược hệ thống một cách khoa học về hai phương pháp chứng minh hayBùi Thị Thu Hiền1Khóa luận tốt nghiệpBùi Thị Thu Hiền2sử dụng của chứng minh gián tiếp qua đó giúp cho việc đào sâu, mở rộngkiến thức có ích. Từ đó có thể vận dụng hai phương pháp chứng minhnày phổ biến hơn khi giảng dạy các bài toán trong trường phổ thông. Đólà lí do tôi chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢNCHỨNG VÀ CHỨNG MINH LOẠI DẦN TRONG TOÁN PHỔTHÔNG”.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨUTìm hiểu phương pháp chứng minh phản chứng và chứng minh loạidần trong toán phổ thông thông qua một số bài toán. Nhận dạng một sốbài toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng và bài toán sửdụng phương pháp chứng minh loại dần, từ đó góp phần nâng cao kỹnăng giải toán và phát triển năng lực chứng minh toán học, nâng cao chấtlượng dạy và học.3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU- Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương pháp chứng minh phản chứng vàchứng minh loại dần.- Nghiên cứu một số bài toán sử dụng phương pháp chứng minh phảnchứng và phương pháp chứng minh loại dần.- Vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng và loại dần vào giảiquyết một số bài toán.4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU- Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán sử dụng phương pháp chứng minhphản chứng và phương pháp chứng minh loại dần.- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sử dụng phương pháp chứng minhphản chứng và loại dần trong chương trình toán phổ thông.5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU- Phương pháp nghiên cứu lý luận.- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.6. CẤU TRÚC KHOÁ LUẬNNgoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khoáluận còn có hai chương:Chương 1: Cơ sở lí luậnChương 2: Phương pháp chứng minh phản chứng và phương phápchứng minh loại dần trong toán phổ thôngB.NỘI DUNGChương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN1.1. CHỨNG MINH TOÁN HỌC VÀ CÁC YÊU CẦU CỦA CHỨNGMINH TOÁN HỌC1.1.1. Thế nào là chứng minhĐịnh nghĩa: Giả sử G là tập hợp những mệnh đề toán học và  là mộtmệnh đề toán học nào đó. Ta nói rằng  được chứng minh từ giả thiết G,nếu tồn tại một dãy hữu hạn các mệnh đề toán học A1, A2,…, An (1) saocho các yêu cầu sau được thoả mãn.a) An là .b) Với mọi i, i=1, 2,…, n, A hoặc là một tiên đề hoặc là một định nghĩahoặc là một định lý hoặc là một phần tử của tập G được suy ra từ mộtmệnh đề đứng trước nó trong dãy (1) nhờ vào một quy tắc hay một suyluận logic.Nói cách khác, quá trình suy diễn xác nhận tính chất thực hoặc bác bỏmệnh đề nào đó nhờ vào các mệnh đề đúng đã biết gọi là chứng minh.1.1.2. Cấu trúc của một chứng minhMỗi chứng minh gồm 3 thành phần:1) Luận đề là mệnh đề cần chứng minh.2) Luận cứ là các mệnh đề mà dựa vào nó để suy ra mệnh đề phải chứngminh.3) Luận chứng là các quy tắc suy luận logic được dùng trong chứngminh.1.1.3. Yêu cầu của chứng minha) Yêu cầu logic của luận đềMệnh đề đứng sau của một chứng minh nhất thiết là mệnh đề cần chứngminh An ≡ . Nghĩa là luận đề không được tráo đổi, không được thay thếbằng mệnh đề không tương đương logic.b) Yêu cầu logic của luận chứngViệc rút ra một mệnh đề mới từ các mệnh đề trước đó trong quá trìnhchứng minh phải theo các quy tắc suy diễn logic.c) Yêu cầu logic của luận cứMỗi mệnh đề trong chứng minh đều phải là một tiên đề, hoặc một địnhnghĩa, hoặc một định lý, hoặc một mệnh đề trong giả thiết, hoặc một hệquả logic của mệnh đề đứng trước nó trong quá trình chứng minh đượcrút ra nhờ một quy tắc suy luận logic, nghĩa là luận cứ phải là một mệnhđề đúng.1.2. CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG1.2.1. Định nghĩaPhép chứng minh mệnh đề nào đó thông qua bác bỏ mệnh đề phủ địnhcủa nó được gọi là phép chứng minh phản chứng. Nghĩa là để chứngminh mệnh đề A ⇒ B, người ta bác bỏ mệnh đề A¯ ¯⇒¯ ¯ B¯ được gọilà phép chứng minh mệnh đề A ⇒ B.Mục tiêuMục tiêu của phép chứng minh phản chứng là bác bỏ mệnh đề phủ địnhcủa mệnh đề cần chứng minh.1.2.2. Sơ đồ của phép chứng minh phản chứng((A¯ ¯ ⇒¯ ¯ ¯B¯)⇒ X ) ¯X A ⇒ BVới X là A¯, B¯, CC¯ , D¯ .Trong đó C là một mệnh đề nào đó, D là một mệnh đề đúng đã biết.1.2.3. Cơ sở của phép chứng minh phản chứngCơ sở của phép chứng minh phản chứng là luật bài trung: hai mệnh đềX và X¯ không cùng sai. Khi bác bỏ mệnh đề X¯ nghĩa là tính chânthực của X vì mệnh đề X chỉ có thể xảy ra hai khả năng hoặc đúnghoặc sai còn X¯ tương ứng là hoặc sai hoặc đúng.Các hình thức của chứng minh phản chứngViệc bác bỏ mệnh đề phủ định của mệnh đề cần chứng minh A ⇒ B sauđó dựa vào luật bài trung khẳng định A ⇒ B là đúng dựa vào chứng minhmệnh đề sau đó coi là các hình thức của chứng minh phản chứng, đó làcác dạng của chứng minh phản chứng.Dạng 1: AB¯ ⇒ A¯.Dạng 2: AB¯ ⇒CC¯. Dạng 3:AB¯ ⇒ D¯ . Dạng4: AB¯ ⇒ B.Với C là mệnh đề nào đó.D là mệnh đề đúng đã biết.4 mệnh đề trên tương đương logic với nhau và tương đương với mệnhđề A ⇒ B. Do đó để chứng minh mệnh đề ta chỉ cần chứng minh xảy ra 1trong 4 mệnh đề trên.Các bước của phép chứng minh phản chứng mệnh đề A ⇒ B- Bước 1: (Giả sử) Phủ định mệnh đề A ⇒ B hay AB¯.- Bước 2: (Tìm mâu thuẫn) Xuất phát từ giả thiết có: AB¯ qua quátrình suy luận chứng minh rút ra điều mâu thuẫn (tìm mâu thuẫn):Hoặc là trái với giả thiết A (dạng 1).Hoặc là suy ra 2 điều trái ngược nhau (dạng 2).Hoặc là suy ra điều mâu thuẫn với điều đúng đã biết (dạng 3)Hoặc là suy ra chính kết luận (dạng 4).- Bước 3: (Kết luận) Tìm mâu thuẫn khẳng định giả thiết AB¯khôngchính xác, sử dụng luật bài trung khẳng định tính chân thực của A ⇒ B.Ví dụ 1: Chứng minh rằng a  b  2 ab với  a ,  0 .bChứng minh:+ Bước 1: Giả sử  a ,b 0 ta có a  b  2 ab .+ Bước 2: Tìm mâu thuẫn:a,b 0 ta có: a  b  2 ab  (a  b)2  4ab222 a  2ab  b  0  (a  b)  0 (vô lí).+ Bước 3: Do đó điều giả sử là sai.Vậy ta có a  b  2 ab với  a ,  0 .bVí dụ trên áp dụng dạng 3: AB¯ ⇒ D¯.Trong đó A:  a ,  0 .bB: a  b  2 ab .B¯: a  b  2 ab .2D: (a  b)  0.2D¯: (a  b)  0.Ví dụ 2: Cho d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau. Trên d1 lấy hai điểmphân biệt A, B. Trên d2 lấy hai điểm phân biệt C và D. Chứng minh rằngAC và BD chéo nhau.Chứng minh:+Bước 1:Giả sử AC và BD không chéo nhau.d1AB+Bước 2: Tìm mâu thuẫn:Như vậy có một mặt phẳng (P)chứa cả d1 và d2. Khi đó ta cód2PCDd1 và d2 cùng nằm trên (P).Điều này mâu thuẫn với giả thiết d1 và d2 chéo nhau.+Bước 3: Kết luận:Vậy AC và BD chéo nhau.Ví dụ 2 này thuộc dạng 1: AB¯ ⇒ A¯.Với A: Cho d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau. Trên d1 lấy hai điểmphân biệt A, B. Trên d2 lấy hai điểm phân biệt C và D.A¯: hai đường thẳng d1 , d2 đồng phẳng.B: AC và BD chéo nhau.B¯: AC và BD không chéo nhau.1.3. CHỨNG MINH LOẠI DẦN1.3.1. Định nghĩaNếu mệnh đề X chỉ có k khả năng xảy ra, phép chứng minh mệnh đề Xxảy ra với k khả năng thứ i thông qua bác bỏ k-1 khả năng còn lại đượcgọi là phép chứng minh loại dần.1.3.2. Sơ đồ của phép chứng minh loại dầnNếu mệnh đề X có k khả năng xảy ra là: X1, X2,…, Xk.Mệnh đề X không xảy ra với khả năng thứ j: X¯j.Sơ đồ của phép chứng minh loại dần:(X1 ⊻ X2 ⊻ … ⊻ Xk ) X¯1 ¯X2 … X¯i–1X¯i+1 … X¯k XiNhư vậy có 3 bước tiến hành chứng minh loại dần.- Bước 1: Khẳng định chỉ có k khả năng xảy ra.- Bước 2: Bác bỏ k-1 khả năng còn lại.- Bước 3: Khẳng định X xảy ra ở khả năng thứ k.1.3.3. Cơ sở logic của phép chứng minh loại dầnCơ sở logic của phép chứng minh loại dần là tam đoạn luận lựa chọn,tuân theo quy tắc ba bước phù hợp với các bước của phép chứng minhloại dần và có sơ đồ:(A ⊻B)A¯Bbước thực hiện tương ứng là:- Bước 1: Chỉ có A hoặc B.- Bước 2: Có A¯ (A).hoặc(A ⊻B)AB. Với sơ đồ này thì các- Bước 3: Kết luận có B (B¯).Như vậy khi sử dụng phương pháp chứng minh loại dần phải chỉ ra mệnhđề đó có đúng k khả năng xảy ra.Ví dụ 1: Cho x  2  4 . Chứng minh rằng x là số vô tỉ.33Chứngminh:+ Bước 1: Cóx hữu tỉ hoặc vô tỉ.+ Bước 2: Bác bỏ khả năng x là số hữu tỉ:x  R , do đóTừ x  3 2  4 suy ra x là nghiệm của phương trình x 3  6 x  6  0 .3Nếu x là số hữu tỉ thì x phải nguyên là là ước của 6, khi đó x có thể là±1, ±2, ±3, ±6. Nhưng ±1, ±2, ±3, ±6 không là nghiệm của phươngtrìnhx  6x  6  0 . Vậy x không phải là số hữu tỉ.3+Bước 3: Kết luận:Vậy x là số vô tỉ.Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì nó phải làhình bình hành.Chứng minh:+ Bước 1:Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng I.Qua phép đối xứng tâm I, tứ giác ABCDchỉ có thể biến thành A, B, C hay D.Bùi Thị Thu HiềnBIbiến thành chính nó nên đỉnh A+ Bước 2:ACD10 Nếu đỉnh A biến thành chính nó thì A ≡ I. Khi đó tứ giác có haiđỉnh đối xứng qua A. Điều này vô lí.Bùi Thị Thu Hiền11 Nếu A biến thành B hoặc D thì tâm đối xứng thuộc cạnh AB hoặcAD của tứ giác nên cũng suy ra điều vô lí.+ Bước 3: Vậy A chỉ có thể biến thành đỉnh C.Lí luận tương tự đỉnh B chỉ có thể biến thành đỉnh D. Khi đó tâm đốixứng I là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên tứ giác ABCDphải là hình bình hành.KẾT LUẬN CHƯƠNGỞ chương 1 tôi đã trình bày về cơ sở lí luận của hai phương phápchứng minh trong các phương pháp thuộc hệ thống các phương pháp chứngminh gián tiếp là phương pháp chứng minh phản chứng và phương phápchứng minh loại dần. Đồng thời trong chương này để tiện cho việc giải mộtbài toán có sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng, phương phápchứng minh loại dần tôi cũng đã trình bày các bước tiến hành từ đó nângcao hiệu quả giải toán.Có thể nhận thấy trong phương pháp chứng minh loại dần, ở bước 2 làbác bỏ k – 1 khả năng có thể xảy ra, nghĩa là ta giả sử có thể xảy ra k – 1khả năng rồi dùng suy luận để chứng minh không thể xảy ra k – 1 khả năngđó. Trong bước này có sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng, dođó cần kéo léo lựa chọn và kết hợp hai phương pháp trên để có cách giải tốiưu.Chương 2PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG VÀPHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH LOẠI DẦN TRONGTOÁN PHỔ THÔNG2.1. MỘT SỐ BÀI TẬP SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINHPHẢN CHỨNGChứng minh phản chứng có thể nói là một trong những vũ khí quan trọngcủa toán học. Nó cho phép chúng ta chứng minh sự có thể và không cóthể của một tính chất nào đó, nó cho phép chúng ta biến thuận thành đảo,biến đảo thành thuận, nó cho phép chúng ta lý luận trên những đối tượngmà không rõ là có tồn tại hay không.Những bài toán về khẳng định một hệ thức đúng, khẳng định nghiệm củaphương trình, hệ phương trình hoặc chứng minh một bất đẳng thức …trong các phân môn đại số, hình học, số học người ta hay dùng phươngpháp chứng minh phản chứng.* Tìm mệnh đề phủ định của điều cần chứng minh:Trong các bài toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng ở bướcmột là muốn phủ định lại kết luận như vậy phải tạo ra mệnh đề phủ địnhcủa điều cần chứng minh. Đây cũng là vấn đề mang tính logic của cácmệnh đề. Trong các phát biểu toán học thường tồn tại những dạng mệnhđề sau: