\(\begin{array}{l}N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}\\ = {\overrightarrow {NA} ^2} + {\overrightarrow {NB} ^2} + {\overrightarrow {NC} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {NO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {NO} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} \\+ {\left( {\overrightarrow {NO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2}\\ = {\overrightarrow {NO} ^2} + 2\overrightarrow {NO} .\overrightarrow {OA} + {\overrightarrow {OA} ^2}\\ + {\overrightarrow {NO} ^2} + 2\overrightarrow {NO} .\overrightarrow {OB} + {\overrightarrow {OB} ^2}\\ + {\overrightarrow {NO} ^2} + 2\overrightarrow {NO} .\overrightarrow {OC} + {\overrightarrow {OC} ^2}\\ = 3N{O^2} + 2\overrightarrow {NO} \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\\ + \left( {O{A^2} + O{B^2} + O{C^2}} \right)\\ = 3N{O^2} + 3{R^2}\end{array}\) Video hướng dẫn giải
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). LG a Cho \(M\) là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Tính \(MA^2+ MB^2+ MC^2\) theo \(a\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\eqalign{ Tương tự ta có: \(\eqalign{ Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\)\( = 6{R^2} - 2\overrightarrow {OM} (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} )\) \(O\) cũng là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} =\overrightarrow 0\) Suy ra \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 6{R^2} \) Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = 2R \) \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{{\sin {{60}^0}}} = 2R \) \(\Leftrightarrow R = \dfrac{a}{{2\sin {{60}^0}}} = \dfrac{a}{{2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) Vậy \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} \)\(= 6.{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}= 2a^2\) LG b Cho đường thẳng \(d\) tùy ý, tìm điểm \(N\) trên đường thẳng \(d\) sao cho \(NA^2+ NB^2+ NC^2\) nhỏ nhất. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l} (vì\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \) và\(OA = OB = OC = R\)) Vì \(R\) không đổi nên để\(N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}\) nhỏ nhất thì \(NO\) nhỏ nhất hay N là hình chiếu của O trên d. VậyN là hình chiếu của O trên d thì\(N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}\) nhỏ nhất.
|