Bài tập khó chương 5 toán cao cấp 2

Bước 3: tìm các y’, y” của nghiệm vế phải rồi thế vào phương trình (1) để tìm A,B,C... Bước 4: Suy ra nghiệm tổng quát: Nghiệm tổng quát y = nghiệm vế trái + nghiệm vế phải VD 1 : y” – 2y’ – 3y = -xex (1) B 1 : PT đặc trưng k 2 – 2k – 3 = 0  k = -1 hay k = 3 => y(x) = C 1 e-x + C 2 e3x B 2 : Xét: -xex trùng với trường hợp 1→ α = 1 → không trùng nghiệm nào là x 0 -x là đa thức bậc 1 → tổng quát là Ax + B → y* = ex(Ax + B) B 3 : y* = ex(Ax + B) y’ = ex(Ax + A + B) y” = ex(Ax + 2A + B) thế vào (1) → ex(Ax + 2A + B) – 2ex(Ax + A + B) – 3ex(Ax + B) = -xex [lược bỏ ex]  -4Ax + 4B = -x  A = ; B = 0 → y* = ex B 4 : Nghiệm tổng quát của phương trình là y = C 1 e-x + C 2 e3x + ex

Đề phân bổ đều ở các chương, mặt bằng đề nhiều kiến thức nhưng không khó nên phải học đều ở các chương. Ôn lại kiến thức lý thuyết, phương pháp giải và các công thức trọng tâm mỗi chương .

Gồm các chương : CHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN . Hiểu rõ các khái niệm cơ bản về giới bạn, tích chất của hàm. Bài tập vận dụng tính giới hạn. Biết xem xét tính liên tục của hàm số theo định nghĩa và vận dụng. CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN. Nắm vững khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm, tính chất của hàm số bằng định nghĩa và theo các công thức. Có thêm bài tập về đaọ hàm cấp cao, vi phân cấp cao, công thức Taylor, Maclaurin của hàm số. Hiểu được định nghĩa vi phân, công thức liên hệ vi phân và đạo hàm. Còn có các bài xác định tăng, giảm cực trị. Ứng dụng trong kinh tế về các bài tập xác định mức sản lượng tối ưu cho lợi nhuận tối da dựa theo doanh thu, chi phí; tính hệ số co giãn của cung vầ cầu theo giá, quan hệ hàm bình quân và hàm cận biên CHƯƠNG 3. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN Nắm được cách tính đạo hàm riêng, vi phân toàn phần của hàm nhiều biến. Một số hàm trong phân tích kinh tế : Hàm lợi ích, hàm sản xuất, hàm chi phí, hàm lợi nhuận

Đề thi không khó nhưng phải tính toán kĩ, không sẽ dễ nhầm.

Nên soát lại đề cũng như đáp án vì có một số câu sai đề và lỗi đáp án (mặc dù báo rồi nhưng khả năng được cộng điểm rất thấp nên chọn câu nào hợp lí mà khoanh không nên để trống).

10/11/2019 1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5 10/10/2019 1 KHÁI NIỆM Một ánh xạ được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn: : n mf R R ( ) ( ) ( ), , ( ) ( ), , n n f x y f x f y x y R f x f x x R R      10/10/2019 2 VÍ DỤ 10/10/2019 3 VÍ DỤ 1 Kiểm tra điều kiện đầu tiên. Đối với điều kiện thứ 2 ta cũng kiểm tra tương tự Kết luận: f là ánh xạ tuyến tính 10/10/2019 4 VÍ DỤ 2 Các ánh xạ sau đây có phải là ánh xạ tuyến tính hay không? 2 2 2 2 ) : , ( , ) ( 2 3 ;6 5 ) ) : , ( , ) ( 2 3 ;6 5 5) a f R R f x y x y x y b f R R f x y x y x y 10/10/2019 5 MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH : n mf R R , 1 2 ... nA f f f     10/10/2019 6 10/11/2019 2 XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA F  ,f x A x   10/10/2019 7 VÍ DỤ 3 3 2 1 2 3 1 2 3 1 3: , ( , , ) ( 2 3 ,2 )f R R f x x x x x x x x   (1,1,1);(1,0,1);(1,1,0) (1,1);(1,2) E F 10/10/2019 8 GIẢI Ma trận cần tìm: 10/10/2019 9 VÍ DỤ 4 3 3 1 2 3 1 3 1 2 2 3: , ( , , ) ( , , )f R R f x x x x x x x x x   1 2 3 1 2 3 ( ) (1,1,1); ( 1,1,2); (1,2,3) ( ) (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0)     10/10/2019 10 VÍ DỤ 5 1 2 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , , ) n n n n n m m mn n f x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x : ,n mf R R 10/10/2019 11 VÍ DỤ 6 Cho ánh xạ tuyến tính: Biết ma trận của f trong cặp cơ sở: Là:

1. Tìm f(3,1,5)
2. Tìm f(x) với x=(x1,x2,x3) 3 2:f R R  1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0 1,1 , 2,1E F , 2 1 3 0 3 4 E FA 10/10/2019 12 10/11/2019 3 VÍ DỤ 6 10/10/2019 13 VÍ DỤ 6 Câu b) Đầu tiên ta biểu diễn vectơ x qua cơ sở (E) 10/10/2019 14 VÍ DỤ 6 10/10/2019 15 VÍ DỤ 7 Cho ánh xạ tuyến tính:
3. Tìm f(2,1,5)
4. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở:
5. Tính f(2,1,5) theo công thức và so sánh với a) 3 3:f R R 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ,2 ,3 4f x f x x x x x x x x x x x x 1,1,1 , 1,2,1 , 1,1,2E 10/10/2019 16 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a . .A x x 10/10/2019 17 VÍ DỤ 8 10/10/2019 18 10/11/2019 4 VÍ DỤ 9 10/10/2019 19 GIÁ TRỊ RIÊNG – VEC TƠ RIÊNG 10/10/2019 20 ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n A n n nn a a a a a a P a a a     ( ) 0AP  10/10/2019 21 TÌM TRỊ RIÊNG, VEC TƠ RIÊNG 10/10/2019 22 KHÔNG GIAN CON RIÊNG 10/10/2019 23 BỘI ĐẠI SỐ - BỘI HÌNH HỌC CỦA TRỊ RIÊNG 10/10/2019 24 10/11/2019 5 VÍ DỤ 10 Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận 3 1 1 2 4 2 1 1 3 A 10/10/2019 25 VÍ DỤ 10 10/10/2019 26 VÍ DỤ 11 Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận 2 1 0 0 1 1 0 2 4 A 10/10/2019 27 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH CỦA CÁC VECTƠ RIÊNG Định lý. Các vec tơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính. 10/10/2019 28 CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN VUÔNG 1T AT D 10/10/2019 29 CHÉO HÓA MA TRẬN
6. Tìm các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A.
7. Nếu số véc tơ riêng độc lập tuyến tính nhỏ hơn n ma trận A không chéo hóa được
8. Nếu A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa được. Ma trận T cần tìm là ma trận mà các cột của T là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính. Định lý. Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình học của mọi giá trị riêng luôn bằng bội đại số của chúng. 10/10/2019 30 10/11/2019 6 VÍ DỤ 12 Ma trận nào sau đây chéo hóa được? 5 4 6 3 1 1 4 5 6 7 5 1 4 4 5 6 6 2 A B 10/10/2019 31 VÍ DỤ 13 Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được. 1 3 3 3 5 3 3 3 1 A 10/10/2019 32 VÍ DỤ 13 10/10/2019 33 VÍ DỤ 13 10/10/2019 34 VÍ DỤ 14 Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được. 2 4 3 4 6 3 3 3 1 A 10/10/2019 35 VÍ DỤ 15
9. Hãy chéo hóa ma trận A nếu được:
10. Tính A100 Giải. 5 0 0 0 0 5 0 0 1 4 3 0 1 2 0 3 A 10/10/2019 36 10/11/2019 7 VÍ DỤ 15 10/10/2019 37 VÍ DỤ 15
11. Ta có: Sinh viên tự tính kết quả sau cùng. 10/10/2019 38 VÍ DỤ 16 10/10/2019 39 MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO 10/10/2019 40 MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO 10/10/2019 41 ĐỊNH LÝ Chú ý.
12. Ma trận vuông tùy ý chưa chắc chéo hóa được.
13. Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được bởi ma trận trực giao P.
14. Ma trận chéo hóa trực giao được thì đối xứng. 10/10/2019 42 10/11/2019 8 CÁC BƯỚC CHÉO HÓA TRỰC GIAO Chú ý. Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được nên không cần kiểm tra. Để tìm cơ sở trực chuẩn ta chọn một cơ sở tùy ý rồi dùng quá trình Gram-Schmidt. 10/10/2019 43 VÍ DỤ 10/10/2019 44 VÍ DỤ 10/10/2019 45 10/10/2019 46 10/10/2019 47 DẠNG TOÀN PHƯƠNG Định nghĩa. Dạng toàn phương trong không gian Rn là một hàm số thực: Được xác định bởi: Với A là ma trận đối xứng (thực) và được gọi là ma trận của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc) 1 2 , ... T n n x x f x x Ax x x : nf 10/10/2019 48 10/11/2019 9 VÍ DỤ Cho: Ta có dạng toàn phương trong R2 Nhận xét các phần tử của A và các hệ số của dạng toàn phương. 1 2 2 3 3 4 x x A x 1 1 1 2 1 2 1 21 2 2 22 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 3 2 3 3 4 3 4 2 3 3 4 2 6 4 T T x x x Ax x x x x x x x x x Ax x x x x x x x x x x 10/10/2019 49 DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG R3 Thường được ghi dưới dạng sau: Ma tận dạng toàn phương: Dễ thấy: 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1, , 2 2 2f x f x x x Ax Bx Cx Dx x Ex x Fx x A D F M D B E F E C 1 1 2 3 2 3 T xA D F f x x x x D B E x x Mx F E C x 10/10/2019 50 VÍ DỤ Cho dạng toàn phương trong R3 Tìm ma trận A của q(x). Đáp án 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 1 3( ) 2 3 4 6 .q x x x x x x x x x x 1 2 3 2 1 3 2 . 2 3 2 1 A 10/10/2019 51 DẠNG CHÍNH TẮC 10/10/2019 52 DẠNG CHÍNH TẮC Trong dạng chính tắc, các số hạng có dạng bình phương. Ma trận A của dạng toàn phương ban đầu là ma trận xét trong cơ sở chính tắc. Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương nhưng xét trong cơ sở khác (cơ sở trực giao) 10/10/2019 53 ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Bằng phép biến đổi trực giao. 10/10/2019 54 10/11/2019 10 VÍ DỤ. 10/10/2019 55 VÍ DỤ Ma trận của dạng toàn phương: Chéo hóa bằng ma trận trực giao: 10/10/2019 56 VÍ DỤ Dạng chính tắc cần tìm: Phép biến đổi cần tìm: 2 2 21 2 3 1 2 3, , 7 7 2f y y y y y y 1 1 2 2 3 3 x y x Py x P y x y 10/10/2019 57 ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Phép biến đổi Lagrange
15. Sử dụng các phép biến đổi không suy biến đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
16. Dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp, không cần tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận.
17. Cơ sở không phải là trực chuẩn nên sẽ khó khăn. Chú ý. Phép biến đổi x=Py gọi là không suy biến nếu ma trận P không suy biến. 10/10/2019 58 PP LAGRANGE , , i i j k k j i jx y y x y y x x k i j  10/10/2019 59 VÍ DỤ 10/10/2019 60 10/11/2019 11 VÍ DỤ Bước 3. Lập thành dạng tổng bình phương ở nhóm 1 Ta có: Bước 4. Lặp lại cho dạng toàn phương sau: 10/10/2019 61 VÍ DỤ Một cách tương tự:
18. Chọn số hạng:
19. Tạo 2 nhóm:
20. Lập dạng tổng bình phương: 2 2 14 3 x 10/10/2019 62 VÍ DỤ Ta có dạng: Phép biến đổi cần tìm: Dạng chính tắc cần tìm: 10/10/2019 63 VÍ DỤ Dạng toàn phương này không có số hạng bình phương. Ta đổi biến trước (chọn 4x1x2): 10/10/2019 64 VÍ DỤ Ta có: 10/10/2019 65 DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG 0, 0f x x  0, 0f x x  1 10, : 0f x x x f x   1 10, : 0f x x x f x   1 2 1 1, : 0, 0x x f x f x 10/10/2019 66 10/11/2019 12 DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG 10/10/2019 67 LUẬT QUÁN TÍNH 10/10/2019 68 ĐỊNH THỨC CON CHÍNH Ký hiệu các định thức con chính: 10/10/2019 69 TIÊU CHUẨN SYLVESTER. 10/10/2019 70 VÍ DỤ 10/10/2019 71 VÍ DỤ 10/10/2019 72 10/11/2019 13 ỨNG DỤNG TRONG ĐƯỜNG BẬC 2 10/10/2019 73 VÍ DỤ 10/10/2019 74 VÍ DỤ 10/10/2019 75 KIỂM TRA 45PH Hãy chéo hóa các ma trận sau đây (nếu được) 3 4 2 1 3 3 1 7 7 3 5 3 1 4 4 1 1 1 A B 10/10/2019 76