14:41:0907/01/2020 Trong bài viết này chúng ta sẽ hệ thống lại một số dạng bài tập và cách giải đối với phương trình bậc 2 một ẩn như: Giải và biện luận phương trình bậc 2 (Giải phương trình bậc 2 chứa tham số m); Xác định tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa điều kiện cho trước; Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai; Phương trình quy về phương trình bậc hai; Giải hệ phương trinh bậc 2 hai ẩn. » Đừng bỏ lỡ: Bài tập xét dấu của tam thức bậc 2 bất phương trình bậc 2 cực hay I. Lý thuyết về Phương trình bậc 2 (tóm tắt) 1. Giải và biện luận phương trình bậc 2 • Phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (*) Δ = b2 - 4ac ♦ Nếu Δ < 0 ⇔ Tập nghiệm: S = Ø ♦ Nếu Δ = 0 ⇔ Tập nghiệm:  ♦ Nếu Δ > 0 ⇔ Tập nghiệm: 2. Định lý Vi-ét • Nếu (*) có 2 nghiệm x1 và x2 thì:
• Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2: - Nếu a + b + c = 0 - Nếu a - b + c = 0 • Nếu hai số x và y có S = x + y và P = x.y thì x, y là nghiệm của phương trình bậc 2: t2 - St + P = 0. II. Các dạng Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn ° Dạng 1: Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc 2 (PT bậc 2 chứa tham số) * Phương pháp: Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0. ♦ Cách giải: Xét các trường hợp đặc biệt: ◊ a + b + c = 0 ◊ a - b + c = 0 ◊ b = 2b' (hệ số b chẵn) ◊ Phương trình dạng x2 - Sx + P = 0 (nhẩm nghiệm) ♦ Biện luận: ◊ Xét trường hợp a = 0. ◊ Khi a ≠ 0, xét dấu tích ac và tính Δ = b2 - 4ac. * Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) b) c) ° Lời giải ví dụ 1: a) Vì a + b + c = b) Ta có: ⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm c) Xét trường hợp m = 1: Phương trình đã cho có nghiệm x = -1; Trường hợp m ≠ 1: Ta có a - b + c = 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm:
* Ví dụ 2: Giải biện luận các phương trình sau: a) (m+1)x2 + (3m+1)x + 2(m-1) = 0. b) ° Lời giải ví dụ 2: a) (m+1)x2 + (3m+1)x + 2(m-1) = 0. (*) • Trường hợp m = -1: Phương trình (*) trở thành: -2x - 4 = 0 ⇒ x = -2 là nghiệm của phương trình. • Trường hợp m ≠ -1: Δ = m2 + 6m + 9 = (m+3)2 ◊ m = - 3 thì Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:
◊ m ≠ - 3 thì Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
b) - Điều kiện x≠2 và x≠0. - Quy đồng khử mẫu ta được: (*) ⇔ mx2 - 3x + 2m = 0 • Trường hợp m = 0: Phương trình trở thành: -3x = 0 ⇔ x = 0 (loại). • Trường hợp m ≠ 0: Δ = 9 - 8m2 ◊ Δ < 0 ⇔ ◊ Δ = 0 ⇔ Với Với ◊ Δ > 0 ⇔
Hai nghiệm này nhận được (thỏa điều kiện) khi và chỉ khi:
- Như vậy ta có kết luận:
m = 1: PT có nghiệp đơn x = 2
» Đừng bỏ lỡ: Một số Bài tập giải phương trình bậc 2 chứa tham số m hay ° Dạng 2: Xác định tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa điều kiện cho trước * Ví dụ 1 (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x2 - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0 Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó. ° Lời giải ví dụ 1 (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): - Ta có : 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (*) - Để PT (*) có hai nghiệm phân biệt thì Δ’ = b'2 - ac > 0 ⇔ (m + 1)2 – 3.(3m – 5) > 0 ⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0 ⇔ m2 – 7m + 16 > 0 ⇔ (m – 7/2)2 + 15/4 > 0 - Ta thấy, Δ’ > 0 với mọi m ∈ R nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt. - Gọi hai nghiệm của (*) là x1; x2 khi đó theo Vi-ét ta có: - Theo bài ra, Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, nên không mất tính tổng quát khi giả sử x2 = 3.x1, khi thay vào (1) suy ra: ⇔ m2 + 2m + 1 = 4(3m-5) ⇔ m2 - 10m + 21 = 0 ⇔ m = 3 hoặc m = 7 ◊ TH1: m = 3, PT (*) trở thành 3x2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện. ◊ TH2: m = 7, PT (*) trở thành 3x2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện. - Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4. * Ví dụ 2: Cho phương trình: (m+1)x2 - 4m(m+1)x - m = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó. ° Lời giải ví dụ 2: - Để phương trình có nghiệm kép thì: a = m+1 ≠ 0 và Δ' = 4m2(m+1)2 + m(m+1)=0 ⇔ m≠-1 và m(m+1)(2m+1)2 = 0 Giải PT: m(m+1)(2m+1)2 = 0 ta được m = 0; m = -1; m = -1/2; Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm m = -1; nhận 2 nghiệm m = 0 và m =-1/2; - Với m = 0, ta có nghiệm kép là: - Với m = -1, ta có nghiệm kép là: x = -1. * Ví dụ 3: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (*) Xác định m để PT trên có hai nghiệm phân biệt mà nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia. ° Lời giải ví dụ 2: - Để PT có hai nghiệm phân biệt thì: Δ' = 1-m>0 ⇔ m < 1 - Khi đó x1, x2 là nghiệm của PT không mất tính tổng quát khi giả sử - Mà theo Vi-ét ta có: - Giải PT (**) này ta được 2 nghiệm x2 = 1 và x2 = -2 - Thay x2 = 1 vào PT (*) ta được m = 1 (loại, do không thỏa điều kiện m<1) - Thay x2 = -2 vào PT (*) ta được m = -8 (nhận) - Kết luận: m = -8 thì PT x2 - 2x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia. ° Dạng 3: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai * Phương pháp: Phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) - Có 2 nghiệm x1 và x2 nếu: • x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0. • x1 ≤ x2 < 0 ⇔ • x1 ≥ x2 > 0 ⇔ * Ví dụ: Cho phương trình: (m2+1)x2 + 2(m2-1)x - (m2-1) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương. ° Lời giải - Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi:
- Như vậy không có giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương. ° Dạng 4: Các phương trình quy về phương trình bậc hai * Phương pháp: Các phương trình dạng sau có thể đưa về được pt bậc 2 1) ax4 + bx2 + c = 0; Đặt t = x2 ≥ 0. 2) a(P(x))2 + b(P(x)) + c = 0; Đặt t = P(x). 3) P(x)[P(x) + b] + c = 0; Đặt t = P(x). 4) (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e; Đặt t = (x+a)(x+d), điều kiện a + d = b + c. 5) ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0; Chia 2 vế cho x2 rồi đặt 6) (x+a)4 + (x+b)4 + c = 0; đặt 7) Phương trình chưa dấu giá trị tuyệt đối 8) Phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức * Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) (x - 1)(x + 5)(x2 + 4x + 8) + 40 = 0 (*) b) x4 - 3x2 + 4x2 - 3x + 1 = 0 (**) ° Lời giải: a) (x - 1)(x + 5)(x2 + 4x + 8) + 40 = 0 (*) - Đặt t = (x - 1)(x + 5) = x2 + 4x - 5 ⇒ x2 + 4x + 8 = x2 + 4x - 5 + 13 = t + 13 - Vậy (*) ⇔ t(t + 13) + 40 = 0 ⇔ t2 + 13t + 40 = 0 ⇔ t = -5 hoặc t = -8; • Với t = -5 ⇒ x2 + 4x - 5 = -5 ⇔ x2 + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -4. • Với t = -8 ⇒ x2 + 4x - 5 = -8 ⇔ x2 + 4x +3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -3. - Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-4; -3; -1; 0}. b) x4 - 3x2 + 4x2 - 3x + 1 = 0 (**) - Vì x = 0 không phải là nghiệm nên chia 2 vế cho x2≠0 ta được: (**) Đặt - Giải PT theo t (nhẩm nghiệm a + b + c = 0) ta được: t = 1 (loại, do không thỏa điều kiện |t|≥2) và t = 2(nhận). - Với t = 2 ⇒ ° Dạng 5: Giải hệ phương trình bậc 2 chứa hai ẩn * Phương pháp: • Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai: Rút một ẩn ở pt bậc nhất, thay vào pt bậc 2 ta được pt bậc 2 chứa 1 ẩn • Hệ đối xứng (là hệ khi đổi vai trò giữa x và y ta thấy các pt không đổi): Đặt hai ẩn phụ S = x + y và P = x.y. Tính S, P suy ra x và y. * Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: ° Lời giải ví dụ 1: - Ta có: (*) - Với y = 1 ta được x = 4; - Với y=-7/4 ta được x = -17/4 - Kết luận: Vậy hệ có 2 cặp nghiệm là: (4;1) và (-17/4; -7/4). * Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
° Lời giải ví dụ 2: - Ta đặt: S = x + y và P = x.y khi đó: (*) • Từ P + S = 5 ⇒ P = 5 - S; thay P vào P.S = 6 ta được: (5 - S)S = 6 ⇔ 5S - S2 = 6 ⇔ S2 - 5S + 6 = 0 ⇔ S = 2 hoặc S = 3 - Với S = 2 ⇒ P = 3, x và y là nghiệm của phương trình: t2 - 2t + 3 = 0; Ta có - Với S = 3 ⇒ P = 2, x và y là nghiệm của phương trình: t2 - 3t + 2 = 0; có nghiệm t = 1 hoặc t = 2. ⇒ Vậy hệ (*) có 2 cặp nghiệm là: (1;2) và (2;1) ° Dạng 6: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm trong khoảng cho trước * Phương pháp: Dùng mô hình tam thức bậc 2. - Xét phương trình f(x,m) có 2 nghiệm x1, x2 (trường hợp có 1 nghiệm tương tự), a là hệ số đi với mũ cao nhất của hàm f. Khi đó để nghiệm của phương trình thuộc khoảng [α; β] ta có các trường hợp sau: • Cả 2 nghiệm của f(x,m) đều thuộc [α; β] tức là: • Chỉ có 1 nghiệm của f(x,m) thuộc [α; β] tức là: • Cả 2 nghiệm của f(x,m) không thuộc (α; β) tức là:
* Ví dụ: Cho phương trình: x2 - 4x + 3 + 4m = 0, (*) - Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thuộc [-1,1] ° Lời giải: - Ta có: + Với + Với - Để (*) có nghiệm thuộc [-1,1] thì một trong các trường hợp sau xảy ra: • TH1: cả 2 nghiệm thuộc [-1,1] • TH2: có 1 nghiệm thuộc [-1,1] - Kết luận: Vậy với -2 ≤ m ≤ 0 tì pt (*) có nghiệm thuộc khoảng [-1,1]. Ngoài cách dùng tam thức bậc 2 bài toán tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm trong khoảng cho trước có thể giải bằng phương pháp sử dụng bảng biến thiên. Khi đó chuyển hàm f(x,m) về dạng hàm g(x) = h(m). Đặt y = g(x) (có đồ thị (C) là đường thẳng hoặc đường cong); và y = h(m) (có đồ thị (Δ) là đường thẳng nằm ngang). Như vậy, bài toán trên được đưa về dạng toán " Tìm m để (Δ) cắt (C) tại n điểm phân biệt". Lập bảng biến thiên của hàm y = g(x) và từ BBT sẽ đưa ra kết luận giá trị m cần tìm. * Ví dụ: Cho phương trình: x2 - 4x + 3 + 4m = 0, (*) - Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thuộc [-1,1] ° Lời giải: - Ta có: (*) ⇔ x2 - 4x + 3 = -4m - Đặt y = x2 - 4x + 3 (C) và y = -4m (Δ). - Lập bảng biến thiên của hàm y = x2 - 4x + 3 - Từ bảng biến thiên ta thấy để pt (*) có nghiệm trong khoảng [-1;1] thì: 0 ≤ -4m ≤ 8 ⇔ -2 ≤ m ≤ 0. - Vậy -2 ≤ m ≤ 0 thì pt (*) có nghiệm nằm trong khoảng [-1;1]. → Đối với chương trình lớp 10 chúng ta thường sử dụng các giải vận dụng tam thức bậc 2, cách giải bằng bảng biến thiên (hoặc đồ thị) thường ở lớp 12 các em mới sử dụng. |
