Bài tập về vectơ ngẫu nhiên liên tục

cho học sinh lớp 9. Trường THCS Đôn Xuân – Trà Cú – Trà Vinh. 2. Nội dung sáng kiến: Lựa chọn và ứng dụng một số bài tập thể lực nhằm nâng cao thành tích 60m cho học sinh lớp 9 Trường THCS Đôn Xuân.

Chạy bước nhỏ 20m, chạy đạp sau 30m, chạy nâng cao đùi 30m, chạy 30m tốc độ cao, chạy 30m[r]

Full PDF PackageDownload Full PDF Package

This Paper

A short summary of this paper

37 Full PDFs related to this paper

Download

PDF Pack

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HỒ CHÍ MINH

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Chương III: VECTƠ NGẪU NHIÊN ( ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU)

III.1. Khái niệm.
Nếu các biến ngẫu nhiên X 1 ,X 2 ,…, X n cùng xác định trên các kết quả của một phép thử thì ta nói Z = (X 1 ,X 2 ,…, X n ) là một vectơ ngẫu nhiên n chiều.III.2. Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều (X,Y).III.2.1 Bảng phân phối XS đồng thời.III.2.2 Phân phối XS theo các BNN thành phần X, Y (PP lề).III.2.3 PP XS có điều kiện.III.2.4 Điều kiện độc lập của X và Y.

III.2.5 Hàm phân phối XS của (X,Y).

III.3 Một số tham số đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên.* Kỳ vọng toán* Kỳ vọng có điều kiện* Covarian ( Hiệp phương sai)* Hệ số tương quan & ý nghĩa.* Ma trận tương quan* Sử dụng máy tính bỏ túi để tính một số tham số đặc trưng.

III.4. Hàm của vectơ ngẫu nhiên (X,Y).

III.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT của VTNN RỜI RẠC 2 CHIỀU
III.2.1 Bảng phân phối XS đồng thời:

Cho X = {x 1 , x 2 , ..., x m }; Y = {y 1 , y 2 , ..., y n }. Đặt p ij = P(X = x i , Y= y j ); i = 1, m , j = 1 , n

Dưới đây là bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y):

Khi đó

III.2.2 Phân phối XS theo các BNN thành phần X, Y (PP lề).

Đặt:

Ta được bảng phân phối xác suất của X:

Đặt

Ta được bảng phân phối xác suất của Y:

III.2.3 Phân phối xác suất có điều kiện:
Bảng PPXS cuûa X với điều kiện

là

III.2.4 Điều kiện độc lập của X và Y.Hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập với nhau nếu quy luật phân phối xác suất của X không phụ thuộc vào việc biến Y nhận giá trị nào, và ngược lại.Các tính chất: X và Y độc lập

⇔ P(X=x i ,Y=y j ) = P(X=x i ).P(Y=y j ) ∀ i,j hay p ij = p i q j ∀i, j.

⇔ F(x,y) = F X (x).F Y (y);

III.2.5 Hàm phân phối xác suất đồng thời của (X,Y) .

F(x,y) = P(X < x, Y < y)

Lưu ý: F(x,y) chính là xác suất để điểm ngẫu nhiên M(X,Y) rơi vào hình chữ nhật vô hạn có đỉnh phía trên, bên phải là (x,y).

III.3 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG của BNN hai chiều rời rạc:* Kz vọng toán: E(X,Y) = (E(X),E(Y))

* Hiệp phương sai (Covarian, mômen tương quan): cov(X,Y) = E[(X-E(X)).(Y-E(Y))] = E(XY) - E(X).E(Y) ở đây:

Nhận xét:

* Ma trận tương quan ( ma trận hiệp phương sai) của (X,Y):

* Hệ số tương quan của X và Y:

Hệ số tương quan và covarian dùng để đặc trưng cho mức độ chặt chẽ của mối liên hệ phụ thuộc giữa các BNN X và Y.
Hệ số tương quan không có đơn vị đo và |R XY |≤ 1.

Nếu R XY = 0 thì ta nói X, Y không tương quan, ngược lại khi R XY ≠ 0 ta nói X, Y có tương quan.
Nếu X, Y độc lập thì cov(X,Y)= R XY = 0.
Điều ngược lại không đúng, tức là nếu cov(X,Y)= 0 thì hoặc X, Y độc lập, hoặc X, Y phụ thuộc ở một dạng thức nào đó.

Nếu R XY = +1 thì X, Y có tương quan tuyến tính (thuận /nghịch).
Khi R XY ≈ +1 thì X, Y có tương quan “gần” tuyến tính.

III.4 HÀM CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2 CHIỀUNếu ứng với mỗi cặp giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y) có một gía trị có thể có của Z thì ta nói Z là hàm của 2 biến ngẫu nhiên , ký hiệu Z = φ(X,Y).

Khi biến ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y) có bảng phân phối xác suất đồng thời trong III.2.1, ta có thể tìm phân phối xác suất của Z theo công thức:

Một số tính chất:

* Khi X, Y độc lập :

* Giả sử X 1 ,X 2 ,…,X n là các BNN độc lập, có cùng phân phối xác suất.

⇒ Khi đo một đại lượng vật l{, người ta thường đo nhiều lần rồi lấy trung bình cộng các kết quả làm giá trị của đại lượng đó.

Ví dụ 1Một hộp đựng 5 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm mà không kiểm tra thì không biết. Các sản phẩm được lấy ra kiểm tra cho đến khi phát hiện thấy 2 phế phẩm thì dừng lại. Kí hiệu X là BNN chỉ số lần kiểm tra cho tới khi phế phẩm đầu tiên được phát hiện. Y là BNN chỉ số lần kiểm tra tiếp theo cho tới khi phế phẩm thứ hai được phát hiện.Hãy :a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y).b) Tính cov(X,Y) và hệ số tương quan của X, Y.c) X,Y có độc lập hay không ?

d) Tìm phân phối XS và kz vọng có điều kiện của X khi Y=2.

Hướng dẫn:

Ví dụ 2
Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y độc lập có các bảng phân phối xác suất:

a) Lập bảng phân phối xác suất của Z= 3X 2 +2Y;Tính E(Z),D(Z).b) Tính E(U),D(U) với U = 5X - 3Y + 10 .Hướng dẫn: X,Y độc lập nên P(X=a ,Y=b) = P(X=a )xP(Y=b), ∀a,b.⇒ P(X= -1; Y= 0) = P(X= -1)x P(Y= 0) = ¼ x ½ = 1/8.

Lập bảng PPXS đồng thời của (X,Y) rồi tính giá trị hàm Z=3X 2 +2Y.

Ví dụ 3
Dưới đây là bảng PPXS đồng thời của 2 biến ngẫu nhiên X,Y. Tìm hàm phân phối XS của (X,Y).

Hướng dẫn :

Ví dụ:+ F(x,y) = P( X<x; Y<y).+ F(6; 14)=P( X< 6; Y< 14) = 0,3+ F(3; 20)=P(X<3,Y<20)= 0,1.

+F(4;25)=P(X<4; Y<25) =0,4.

Đáp số:

Ví dụ 4
Biến ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y ) có bảng phân phối xác suất đồng thời như sau:

a) Chứng minh X ,Y là độc lập.b) Tìm hệ số tương quan Rxy.c) Tìm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Z = X 2 Y + 5

d) Tính E(Z) bằng 2 cách khác nhau.

Cách 1: Dùng trực tiếp bảng trong câu c): E(Z) = 6,89Cách 2: Dùng tính chất kz vọng của các biến ngẫu nhiên độc lập, với E(X) = 0,7; E(X 2 ) = 0,7; E(Y) = 0,41.

E(Z) = E(X 2 Y) + E(5) = E(X 2 ) x E(Y) + 5 = 6,89.

Ví dụ 5Một sinh viên có xác suất nghỉ một buổi học bất kz là 5%; xác suất đi học trễ một buổi là 20%. Giả thiết trong 1 tuần, sinh viên đó có 5 buổi học trên trường.a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời giữa biến X là số buổi sinh viên đó nghỉ trong 1 tuần và Y là số buổi sinh viên đó đi học trễ trong cùng tuần đó.

b) Lập bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện trong tuần có 1 buổi sinh viên nghỉ học.

Hướng dẫn: