Với cách giải các dạng toán về Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải môn Toán lớp 12 Hình học gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải lớp 12. Mời các bạn đón xem: Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải - Toán lớp 12
1. Tích vô hướng của hai vectơ
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a→=a1; a2; a3 và b→=b1; b2; b3 được xác định bởi công thức: a→.b→=a1b1+a2b2+a3b3
+ Cho vectơ a→=a1; a2; a3, khi đó độ dài của vectơ a→ được tính theo công thức: a→= a12+a22+a22 + Cho hai điểm AxA; yA; zA và BxB; yB; zB. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ AB→. Do đó ta có 
cos(a→, b→) = a→.b→a→.b→ = a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32.b12+b22+b32 (với a→, b→≠0→) + Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ a→=a1; a2; a3 và b→=b1; b2; b3. Khi đó: a→⊥b→ ⇔ a→.b→=0 ⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 2. Tích có hướng của hai vectơ
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a→=(a1;a2;a3), b→=(b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vectơ a→ và b→, kí hiệu là a→,b→, được xác định bởi a→,b→ = a2a3b2b3 ; a3a1b3b1 ; a1a2b1b2=a2b3−a3b2;a3b1−a1b3;a1b2−a2b1 Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơ AB→; AC→; AD→ không đồng phẳng hay AB→,AC→.AD→≠0 và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi AB→,AC→.AD→=0. 3. Ứng dụng của tích có hướng II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA 1. Tích vô hướng của hai vectơ Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vô hướng Phương pháp giải: Cho hai vectơ a→=a1; a2; a3 và b→=b1; b2; b3, khi đó: a→.b→=a1b1+a2b2+a3b3 Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho u→=−1;3;2, v→=−3;−1;2. Khi đó u→.v→ bằng
Hướng dẫn giải u→.v→=−1.−3+3.−1+2.2=3−3+4=4 Chọn D. Dạng 2: Tính độ dài của một vectơ Phương pháp giải: Cho vectơ a→=a1; a2; a3, khi đó độ dài của vectơ a→ được tính theo công thức: a→= a12+a22+a22 Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho vectơ a→=2; 4; 1. Độ dài vectơ a→ là
Hướng dẫn giải: Độ dài vectơ a→ là: a→= 22+42+12=21 Chọn A. Dạng 3: Khoảng cách giữa hai điểm Phương pháp giải: Cho hai điểm AxA; yA; zA và BxB; yB; zB. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ AB→. Do đó ta có Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho AM=5. Tọa độ của điểm M là
Hướng dẫn giải Do M∈Oz⇒M (0; 0; m) AM=0−12+0−22+m−32=(m−3)2+5 Mặt khác AM=5 nên (m−3)2+5=5⇔m−32+5=5 ⇔m – 3 = 0 ⇔m = 3 Suy ra M (0; 0; 3). Chọn A. Dạng 4: Góc giữa hai vectơ Phương pháp giải: Cho vectơ a→=a1; a2; a3 và b→=b1; b2; b3. Khi đó góc giữa hai vectơ a→ và b→ được tính theo công thức: cos(a→, b→) = a→.b→a→.b→ = a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32.b12+b22+b32 (với a→, b→≠0→) Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1) và D (-2; 1; -1). Tính góc giữa hai vectơ AB→ và CD→.
Hướng dẫn giải Gọi φ là góc tạo bởi hai vectơ AB→ và CD→. Ta có: AB→=−1;1;0, CD→=−2;1;−2 Khi đó: cosφ=cosAB→,CD→=−1.−2+1.1+0.−2−12+12+02.−22+12+−22=12⇒φ=450 Chọn A. Dạng 5: Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc Phương pháp giải: Cho vectơ a→=a1; a2; a3 và b→=b1; b2; b3. Khi đó: a→⊥b→ ⇔ a→.b→=0 ⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vec tơa→=−1;1;0,b→=1;1;0 và c→=1;1;1. Mệnh đề nào dưới đây sai?
Hướng dẫn giải Chọn A. 2. Tích có hướng của hai vectơ Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương. |
