Công thức tính số ước nguyên dương

Để tìm số ước của một số cho trước, ta chỉ việc phân tích ước của một số. Sau đó lấy số mũ của các thừa số nguyên tố đó cộng với 1 rồi nhân với nhau.

Cụ thể về cách tìm số ước của một số a cho trước ta thực hiện các bước dưới đây:

– Bước 1: Phân tích số a ra thừa số nguyên tố:

• 11 dạng toán về phân số – Số học 6
• Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật – Số học 6
• Tập hợp và bài tập áp dụng – Số học 6
• Luyện tập về tính chất chia hết của một tổng – Bồi dưỡng Toán 6
• Các dạng toán về tính chất chia hết của một tổng – Bồi dưỡng Toán 6

a = bn x cm (a là số nguyên) trong đó (b và c là các số nguyên tố)

– Bước 2: Lấy số mũ của các thừa số nguyên tố a, b cộng 1 rồi nhân với nhau

Vậy số ước của a là : (m + 1)(n + 1) trong đó (m, n là các số tự nhiên).

Để rõ hơn các em đọc các ví dụ dưới đây.

Ví dụ 1: Tìm số ước của số 135

Ta có:

135=33 x 5 (với 3; 5 là các số nguyên tố lần lượt có mũ là 3 và 1)

Số ước 135 là: (3 + 1) x (1 + 1) = 4 x 2=8 (ước).

Ví dụ 2: Tìm số ước của số 180

Ta có:

180=22 x 32 x 5 (với 2; 3; 5 là các số nguyên tố lần lượt có mũ là 2; 2; và 1)

Số ước 180 là: (2 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 3 x 2=18 (ước).

(6+1).(3+1) = 28 (ước). 

Kết quả cuối cùng cho câu hỏi số các ước nguyên dương của 2^6.3^3 là 28 ước. 

Đây là câu hỏi phổ biến trong môn học Đại số lớp 6. Ngoài ra, việc tính số ước cũng cần được luyện tập nhiều. Sau đây là công thức tính số ước nguyên dương của một số tự nhiên, các bạn có thể tham khảo cách tính sau đây để áp dụng cho tất cả các bài tập sau này. Kết hợp với các công thức này sẽ là những bài tập ví dụ đi kèm.

Công thức tính số các ước nguyên dương của một số tự nhiên: 

Phân tích số nguyên dương thành thừa số nguyên tố (bằng thủ công hoặc máy tính đều được). Ví dụ tìm các ước nguyên dương của số tự nhiên 234. Nếu thao tác trên máy tính chúng ta thực hiện như sau: 2 3 4 = SHIFT rồi chọn * ’ ”.

Hoặc các bạn có thể phân tích thủ cộng, ta được: 234 = 2.3^2.13.

Từ đó chúng ta có kết luận một ước nguyên dương của số 234 phải có dạng 2^a.3^b.13^c. Trong đó a ∈ {0;1},b ∈ {0;1;2},c ∈ {0;1}.

Theo quy tắc nhân trong tổ hợp, tổng số ước nguyên dương của 234 là: 2.3.2 = 12.

Tương tự như vậy với các số tự nhiên khác chúng ta có thể sử dụng cách này để tìm ước nguyên dương. Tổng kết lại, chúng ta sử dụng định lí như sau:

Giả sử số tự nhiên n được phân tích thành thừa số nguyên tố:

n=p1^m1.p2^m2…pk^mk.

Khi đó số ước số nguyên dương của n là (m1+1)(m2+1)…(mk+1).

Một số ví dụ về số các ước nguyên dương của số tự nhiên

Ví dụ: Tìm số ước nguyên dương của số tự nhiên 70560.

Phân tích 70560 thành thừa số nguyên tố:

70560 = 2^5 . 3^2 . 5 .7^2.

Một ước nguyên dương của 70560 phải có dạng 2^a. 3^b. 5^c. 7^d.

Trong đó a có 6 cách chọn (a ∈ {0;1;2;3;4;5}). Tương tự b có 3 cách chọn; c có 2 cách chọn; d có 3 cách chọn.

Vậy 70560 có tất cả: 6.3.2.3=108 ước số nguyên dương.

Để làm rõ hơn vấn đề, cùng xem ví dụ tiếp theo như sau: Tìm số ước nguyên dương của số tự nhiên 202000.

Ta có: 202000 = 2^4 . 5^3 .101

Do đó 202000 có tất cả (4+1)(3+1)(1+1) = 40 ước số tự nhiên.

Cuối cùng là bài toán được lấy từ đề thi thử trường chuyên Bắc Ninh. Bài toán như sau: Tìm các số ước nguyên dương của số tự nhiên 9465779232.

Trước khi đi đến lời giải, các bạn hãy làm bài tập này theo công thức tính và các ví dụ trên.

Lời giải: Ta có 9465779232=2^5.3^6.7^4.13^2.

Số ước số nguyên dương của 9465779232 là: (5+1)(6+1)(4+1)(2+1)=630.

Mở rộng hơn một chút, nếu đề bài yêu cầu chúng ta tính tổng các ước nguyên dương của một số cho trước, chúng ta có thể thực hiện theo công thức sau: Nếu số nguyên dương n được phân tích thành thừa số nguyên tố:

n=p1m^1.p2^m2…pk^mk. Thì tổng các ước nguyên dương của n là:

σ(n)=(p01+p11+…+pm11)(p02+p12+…+pm22)(p0k+p1k+…+pmkk) (∗) hay σ(n)=∏i=1k(pmi+1i−1pi−1) (∗∗).

Hãy thử ví dụ sau đây để làm quen với công thức này: Tính tổng số ước nguyên dương của số tự nhiên 200.

Lời giải: Ta có 200 = 2^3.5^2.

Nếu áp dụng công thức (*), tổng các ước nguyên dương của 200 là: σ(200) = (20+21+22+23)(50+51+52) = 465.

Nếu áp dụng công thức (**) thì σ(200)=24−12−1.53−15−1=465.

Hãy làm theo các công thức trên cùng với sự luyện tập chăm chỉ các bạn sẽ rèn luyện được kỹ năng tính toán này.

Bài này sẽ hình thành công thức tính số ước số nguyên dương của một số tự nhiên cho trước. Ta xét các ví dụ sau rồi tổng quát hóa.

1. Ví dụ mở đầu

Ví dụ 1. Tìm số ước số nguyên dương của số $234.$

Giải: Phân tích $234$ thành thừa số nguyên tố (bằng thủ công hoặc bằng máy tính cầm tay như hướng dẫn trong ảnh dưới).

Ta được: $234=2.3^2.13.$Do vậy một ước nguyên dương của $234$ phải có dạng $2^a. \ 3^b. \ 13^c.$Trong đó $a \in \{0;1\}, b \in \{0;1;2\}, c \in \{0;1\}.$Theo quy tắc nhân trong tổ hợp, tổng số ước nguyên dương của $234$ là: $2.3.2=12.$

Ví dụ 2. Tìm số ước số nguyên dương của số $70560.$

Giải: Phân tích $70560$ thành thừa số nguyên tố:

$$70560=2^5.3^2.5.7^2.$$Một ước nguyên dương của $70560$ phải có dạng $2^a. \ 3^b. \ 5^c. \ 7^d.$Trong đó $a$ có $6$ cách chọn ($a \in \{0;1;2;3;4;5\}$). Tương tự $b$ có $3$ cách chọn; $c$ có $2$ cách chọn; $d$ có $3$ cách chọn.Vậy $70560$ có tất cả: $6.3.2.3=108$ ước số nguyên dương.

2. Tổng quát hóa

Định lí. Giả sử số tự nhiên $n$ được phân tích thành thừa số nguyên tố: $$n=p_1^{m_1}.p_2^{m_2}...p_k^{m_k}.$$Khi đó số ước số nguyên dương của $n$ là $(m_1+1)(m_2+1)...(m_k+1).$Việc chứng minh định lí này được trình bày tương tự như các ví dụ trên.

3. Ví dụ áp dụng

Ví dụ 3. Tìm số ước tự nhiên của số $202000.$

Giải: Ta có: $202000 = 2^4.5^3.101$

Do đó $202000$ có tất cả $(4+1)(3+1)(1+1)=40$ ước số tự nhiên.

Ví dụ 4. Số $9465779232$ có bao nhiêu ước số nguyên dương? (Đề thi thử trường chuyên Bắc Ninh)

Giải: Ta có $9465779232=2^5.3^6.7^4.13^2.$

Vậy số ước số nguyên dương của $9465779232$ là: $(5+1)(6+1)(4+1)(2+1)=630.$

Theo Math Vn. Người đăng: Tố Uyên.

Xem thêm: Công thức tính tổng các ước nguyên dương của một số.

Công thức tính số ước số nguyên dương của một số tự nhiên

4/ 5 stars - "Công thức tính số ước số nguyên dương của một số tự nhiên"

Công thức tính số ước số nguyên dương của một số tự nhiên 5 of 5