\( = \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}\) Đề bài Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết \(M = \left( {\dfrac{1}{{a - \sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}\) với \(a > 0\) và \(a \ne 1\) Phương pháp giải - Xem chi tiết - Áp dụng các phép tính và các phép biến đổi để thu gọn M. + Sử dụng hằng đẳng thức số \(2\): \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). + Sử dụng phép biến đổi đặt nhân tử chung. - So sánh giá trị của M với 1. Lời giải chi tiết Với điều kiện \(a > 0\) và \(a \ne 1\), ta rút gọn M như sau : \(M = \left( {\dfrac{1}{{a - \sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}\) \( = \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}\) \( = \dfrac{{1 + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} \cdot \dfrac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a + 1}}\) \( = \dfrac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a }} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt a }}\) Vậy \(M = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt a }}\) Ta có : \(\dfrac{1}{{\sqrt a }} > 0\) (vì \(a > 0\) ) nên \(1 - \dfrac{1}{{\sqrt a }} < 1\) Vậy \(M < 1\) .
|
