Trong mp(P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần luợt là trung điểm của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P) vẽ nửa đường tròn đường kính (EF). Gọi S là điểm bất kì trên nửa đường tròn đó. Đề bài Trong mp(P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần luợt là trung điểm của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P) vẽ nửa đường tròn đường kính (EF). Gọi S là điểm bất kì trên nửa đường tròn đó. a) Chứng minh rằng mp(SEF) vuông góc với hai mặt phẳng (SAD), (SBC) và mp(SAD) vuông góc với mp(SBC). b) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của các trực tâm H và K của các tam giác SAD và SBC xuống (P). Chứng minh rằng HH.KK không phụ thuộc vào vị trí điểm S. Lời giải chi tiết  a) Vì \(\left( {SEF} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(A{\rm{D}} \bot {\rm{EF}}\) nên \(AD \bot \left( {SEF} \right)\) Từ đó \(\left( {SEF} \right) \bot \left( {SAD} \right)\). Tương tự \(\left( {SEF} \right) \bot \left( {SBC} \right)\) Dễ thấy \(\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right) = St,St//A{\rm{D}}.\) Do \(AD \bot \left( {SEF} \right)\), từ đó \(St \bot \left( {SEF} \right)\), tức là \(\widehat {ESF}\) hoặc \({180^0} - \widehat {ESF}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Vì S thuộc đường tròn đường kính EF nên \(\widehat {ESF} = {90^0}\) Vậy \(\left( {SA{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SBC} \right)\) b) Kẻ \(DD' \bot SA\) Do \(\eqalign{ & SF \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow SF \bot DD' \cr & \Rightarrow DD' \bot \left( {SAF} \right) \Rightarrow DD' \bot AF \cr} \) Mặt khác \(HH' \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) nên \(DH' \bot AF\) (định lí ba đường vuông góc). Ta lại có H thuộc EF. Vậy H là trực tâm tam giác ADF, từ đó H cố định. Tương tự K cũng là điểm cố định. Ta có HHE đồng dạng FKK, do đó \({{HH'} \over {K'F}} = {{H'E} \over {K'K}} \Rightarrow HH'.KK' = H'E.K'F\) Như vậy HH.KK không đổi Thật vậy, EDH đồng dạng EFA \( \Rightarrow {{EH'} \over {E{\rm{A}}}} = {{DE} \over {F{\rm{E}}}} \Rightarrow EH' = {{{a^2}} \over {4b}}\). Tương tự, ta cũng có \(FK' = {{{a^2}} \over {4b}}\) Vậy \(HH'.KK' = {{{a^4}} \over {16{b^2}}}\) không đổi.
|
