Định nghĩa - lý thuyết tích vô hướng của hai vectơ

b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu$\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$,$\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})$khác vectơ$\vec{0}$thì ta có:

1.Định nghĩa

Cho hai vectơ$\vec{a}$và$\vec{b}$ khác vectơ $\vec{0}$.Tích vô hướng của$\vec{a}$và$\vec{b}$là một số, được ký hiệu là$\vec{a}$.$\vec{b}$ và xác định bởi công thức sau :

$\vec{a} .\vec{b} = |\vec{a}|.|\vec{b}|\cos(\vec{a}, \vec{b})$

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$bất kì và mọi số thực $k$ ta có :

$\vec{a}$.$\vec{b}$=$\vec{b}$.$\vec{a}$(tính chất giao hoán)

$\vec{a}$.($\vec{b}$+$\vec{c}$) =$\vec{a}$.$\vec{b}$+$\vec{a}$.$\vec{c}$( tính chất phân phối)

$(k.\vec{a}$).$\vec{b}$= $k(\vec{a}$,$\vec{b}$) =$\vec{a}$$.(k\vec{b}$)

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ $(0; \vec{i}; \vec{j})$, cho hai vec tơ$\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$,$\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})$.Khi đó tích vô hướng$\vec{a}$và$\vec{b}$là:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$

Nhận xét: Hai vectơ$\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$,$\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})$khác vectơ$\vec{0}$vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$$

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ$\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$được tính theo công thức:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2}+ {a_{2}}^{2}}$

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|} = \dfrac{{a_{1}.b_{1}+ a_{2}.b_{2}}}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}.\sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}$

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm $A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B})$được tính theo công thức :

$AB=\sqrt{({x_{B}-x_{A}})^{2}+({y_{B}-y_{A})}^{2}}$\

Sơ đồ tư duy - Tích vô hướng của hai vecto - Hình học 10