Học mãi chia sẻ bộ tài liệu tóm tắt công thức và lý thuyết hình học 11. Tài liệu bao gồm các kiến thức cơ bản và nâng cao giúp các em học sinh có thể giải các dạng bài tập hình học một cách hiệu quả và nhanh chóng. Show
Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng- Phép biến hình - Phép tịnh tiến - Phép đối xứng trục - Phép đối xứng tâm - Phép đối xứng tâm - Phép quay - Phép vị tự - Phép đồng dạng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song- Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng - Hai đường thẳng song song - Đường thẳng song song với mặt phẳng - Hai đường thẳng song song - Phép chiếu song song Chương 3: Vectơ trong không gian - quan hệ vuông góc- Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vecto - Đường thẳng vuông góc - Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Hai mặt phẳng vuông góc - Khoảng cách Hy vọng với bộ tài liệu mà Học Mãi cung cấp, các em học sinh sẽ được tổng hợp kiến thức một cách cô đọng nhất, giúp các em dễ dàng giải các dạng bài tập hình học trong chương trình toán 11. Để được các thầy cô của Học Mãi trực tiếp hướng dẫn và chia sẻ các phương pháp học và làm bài tập, các em có thể đăng ký khóa học: Học tốt Toán 11 với rất nhiều chương trình ưu đãi hấp dẫn. 1.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng- Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\,.\) Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau: - Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không có điểm chung, tức là: \(a \cap \left( P \right) = \emptyset \,\, \Leftrightarrow \,\,a\parallel \left( P \right).\) - Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) chỉ có một điểm chung, tức là: \(a \cap \left( P \right) = A\,\, \Leftrightarrow \,\,a\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(A\,.\) - Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có hai điểm chung, tức là: \(a \cap \left( P \right) = \left\{ {A,\,\,B} \right\}\,\, \Leftrightarrow \,\,a \subset \left( P \right)\,.\) .JPG) 1.2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng- Định lí 1: Nếu đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng nào đó trong \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(\left( P \right)\,.\) - Tức là, \(a \not\subset \left( P \right)\) thì nếu: \(a\parallel d \subset \left( P \right) \Rightarrow a\parallel \left( P \right).\) .png) 1.3. Tính chất- Định lí 2: Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì mọi mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(a\) mà cắt \(\left( P \right)\) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với \(a\,.\) - Tức là, nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left( P \right)\\a \subset \left( Q \right)\,\,\,\,\left[ {\left( Q \right) \cap \left( P \right) = d} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel d.\) .png) - Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng. - Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó. - Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\\left( P \right)\parallel a\\\left( Q \right)\parallel a\end{array} \right. \Rightarrow \,\,d\parallel a.\) .png) - Hệ quả 3: Nếu \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau thì qua \(a\) có một và chỉ một mặt phẳng song song với \(b\,.\) Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG- Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng \(d\) songsong với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta chứng minh \(d\) song song với một đường thẳng \(d'\) nằm trong \(\left( \alpha \right)\). .png) Ví dụ 1:Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là \(O\) và \(O'\).
Hướng dẫn:.png)
\( \Rightarrow OO'\parallel \left( {ADF} \right)\). Tương tự, \(OO'\) là đường trung bình của tam giác \(ACE\) ứng với cạnh \(CE\) nên \(OO'\parallel CE\), \(CE \subset \left( {CBE} \right) \Rightarrow OO'\parallel \left( {BCE} \right)\).
Do \(AB\parallel CD\) nên \(\frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{BN}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{1}{3}\). Lại có \(\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AE}}\)\( \Rightarrow MN\parallel IE\). Mà \(I \in CD \Rightarrow IE \subset \left( {CDEF} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {CDEF} \right)\). Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG- Phương pháp: Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. - Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc \(\left( \alpha \right)\) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel d\\d \subset \left( \beta \right)\\M \in \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = d'\parallel d,M \in d'\) Ví dụ 2:Cho hình chóp \(S.ABCD\), \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc cạnh \(AB\) và \(CD\), \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(MN\) và song song với \(SA\).
Hướng dẫn:.png)
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(I = AC \cap MN\) \(\left\{ \begin{array}{l}I \in MN \subset \left( \alpha \right)\\I \in AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right)\) Vậy \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {SAC} \right) \cap \left( \alpha \right)\\\left( \alpha \right)\parallel SA\\SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( \alpha \right) = IP\parallel SA,P \in SC\end{array}\) Từ đó ta có \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ,\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP\). Thiết diện là tứ giác \(MNPQ\).
Trường hợp 1: Nếu \(MQ\parallel NP\) thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MQ\parallel NP\\MQ\parallel SA\end{array} \right. \Rightarrow SA\parallel NP\) Mà \(NP \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow SA\parallel \left( {SCD} \right)\) (vô lí). Trường hợp 2: Nếu \(MN\parallel PQ\)thì ta có các mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\left( \alpha \right),\left( {SBC} \right)\)đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là \(MN,BC,PQ\) nên \(MN\parallel BC\). Đảo lại nếu \(MN\parallel BC\)thì \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset \left( \alpha \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\) |
