Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm \(M\left(2;1\right)\) ? Các câu hỏi tương tự
Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm I của nó phải cách đều hai trục tọa độ. Đường tròn này lại đi qua điểm M(2 ; 1), mà điểm M này lại là góc phần tư thứ nhất nên tọa độ của tâm I phải là số dương. xI= yI > 0 gọi xI= yI = a. Như vậy phương trình đường tròn cần tìm là : (2 – a)2 + (1 – a)2 = a2 a2 – 6a + 5 = 0 => a = 1 hoặc a = 5 Từ đây ta được hai đường tròn thỏa mãn điều kiện + Với a = 1 => (C1) => (x – 1 )2 + (y – 1)2 = 1 x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 + Với a = 1 => (C2) => (x – 5 )2 + (y – 5)2 = 25 x2 + y2 – 10x – 10y + 25 = 0
a) Gọi đường tròn cần tìm có dạng (C): \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\) với tâm I(a;b) bán kính R \(d\left(I,Ox\right)=\frac{\left|b\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\left|b\right|\) \(d\left(I,Oy\right)=\frac{\left|a\right|}{\sqrt{1^2}}=\left|a\right|\) Do (C) tiếp xúc với Ox , Oy \(\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|=R\\ \Rightarrow a=\pm b\) Lại có : (C) đi qua điểm có tọa độ (2;1) \(\Rightarrow\left(2-a\right)^2+\left(1-b\right)^2=b^2\left(vìb^2=R^2\right)\\ \Rightarrow a^2-4a+4+b^2-2b+1=b^2\\ \Leftrightarrow a^2-4a-2b+5=0\left(1\right)\) TH1: a = b thay vào (1) ta được : \(\Rightarrow a^2-4a-2a+5=0\\ \Leftrightarrow a^2-6a+5=0\\ \Leftrightarrow a=1hoặca=5\) với a =1 \(\Rightarrow\) b =1 \(\Rightarrow\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=1\) với \(a=5\Rightarrow b=5\\ \Rightarrow\left(C\right):\left(x-5\right)^2+\left(y-5\right)^2=25\) TH2 : a = -b thay vào (1) ta được : \(a^2-4a+2b+5=0\\ \Leftrightarrow a^2-2a+5=0\left(VôNgiệm\right)\) Vậy có 2 đường tròn (C) cần tìm ở trên b) Gọi đường tròn cần tìm có dạng (C): \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\) với tâm I (a;b), bán kính R Do (C) đi qua 2 điểm (1;1) , (1;4) nên ta có : \(\begin{cases}\left(1-a\right)^2+\left(1-b\right)^2=R^2\left(1\right)\\\left(1-a\right)^2+\left(4-b\right)^2=R^2\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(1-b\right)^2=\left(4-b\right)^2\\ \Rightarrow b=\frac{5}{2}\) Lại có : (C) tiếp xúc với Ox \(d\left(I,Ox\right)=\left|b\right|=R\\ \Rightarrow R=\frac{5}{2}\) Thay \(b=R=\frac{5}{2}\) vào (1)ta được : \(\left(1-a\right)^2+\left(1-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\\ \Leftrightarrow a^2-2a-3=0\\ \Leftrightarrow a=-1hoặca=3\) với \(\begin{cases}a=-1\\b=R=\frac{5}{2}\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(C\right):\left(x+1\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\) với \(\begin{cases}a=3\\b=R=\frac{5}{2}\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(C\right):\left(x-3\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\) Với giải Bài 4 trang 84 sgk Toán lớp 10 Hình học được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải Toán 10 Bài 2: Phương trình đường tròn Bài 4 trang 84 Toán lớp 10 Hình học: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox, Oy và đi qua điểm M(2; 1). Lời giải:
+) Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm I(a; b) và bán kính bằng R. (C) tiếp xúc với Ox suy ra R = d(I; Ox) = |b| (C) tiếp xúc với Oy suy ra R = d(I; Oy) = |a| Suy ra |a| = |b| Suy ra a = b hoặc a = –b. Mà (C) đi qua M(2; 1) thuộc góc phần tư thứ nhất nên đường tròn nằm hoàn toàn ở góc phần tư thứ nhất hay a = b > 0. Do đó R = |a| = |b| = a, phương trình đường tròn cần tìm có dạng: (x − a)2 + (y − a)2 = a2. +) M(2; 1) thuộc đường tròn nên ta có: (2 − a)2 + (1 − a)2 = a2 ⇔a2 − 6a + 5 = 0 Suy ra a = 1 hoặc a = 5 (TM) +) Từ đây ta được hai đường tròn thỏa mãn điều kiện Với a = 1 suy ra (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1 (C1). Với a = 5 suy ra (x − 5)2 + (y − 5)2 = 25 (C2). Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài. Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác: Hoạt động 1 trang 82 Toán 10 Hình học: Cho hai điểm A(3; –4) và B(–3; 4). Viết phương trình đường tròn (C)... Hoạt động 2 trang 82 Toán 10 Hình học: Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn... Bài 1 trang 83 Toán 10 Hình học: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau: a) x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0... Bài 2 trang 83 Toán 10 Hình học: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: a) (C) có tâm I(–2; 3)... Bài 3 trang 84 Toán 10 Hình học: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm a) A(1; 2)... Bài 5 trang 84 Toán 10 Hình học: Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục toạ độ và có tâm ở trên đường thẳng... Bài 6 trang 84 Toán 10 Hình học: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0...
Bài toán: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm M(2;1) Để lập được phương trình đường tròn trong trường hợp này các em cần phân tích được hai yêu cầu:
Xem thêm bài giảng khác: Sau đây thầy sẽ trình bày chi tiết lời giải cho bài toán này: Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C) có dạng: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ với tâm đường tròn là $I(a;b)$ và bán kính là R. Khoảng cách từ điểm I tới trục Ox (y=0) là: $d(I;Ox)=|b|$ Khoảng cách từ điểm I tới trục Oy (x=0) là: $d(I;Oy)=|a|$ Vì đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy nên ta có: $d(I;Ox)=d(I;Oy)=R$ => $|a|=|b|=R$ => a=b hoặc a=-b Vì điểm $M(2;1)$ thuộc đường tròn nên ta có: $(2-a)^2+(1-b)^2=R^2$ => $(2-a)^2+(1-b)^2=a^2$ (1) Trường hợp 1: Với $a=b$ thì $I(a;a)$ ta có (1) <=> $(2-a)^2+(1-a)^2=a^2$ <=> $4-4a+a^2+1-2a+a^2=a^2$ <=> $a^2-6a+5=0$ <=> $a=1$ hoặc $a=5$ Với $a=1$ ta có $b=1, R=1$. vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ Với $a=5$ ta có $b=5, R=5$. vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $(x-5)^2+(y-5)^2=25$ Trường hợp 2: Với $a=-b$ hay $b=-a$ thì $I(a;-a)$ ta có (1) <=> $(2-a)^2+(1+a)^2=a^2$ <=> $4-4a+a^2+1+2a+a^2=a^2$ <=> $a^2-2a+5=0$ (phương trình này vô nghiệm) Vậy có hai đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm M(2;1) có phương trình là: $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ và $(x-5)^2+(y-5)^2=25$ Chú ý: Ngoài cách gọi phương trình đường tròn chính tắc như trong lời giải trên thì các em có thể gọi phương trình đường tròn dạng tổng quát là: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $c=a^2+b^2-R^2$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm I(a ; b) và bán kính bằng R. (C) tiếp xúc với Ox ⇒ R = d(I ; Ox) = |b| (C) tiếp xúc với Oy ⇒ R = d(I ; Oy) = |a| ⇒ |a| = |b| ⇒ a = b hoặc a = –b. + TH1: Xét a = b thì I(a; a), R = |a| Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2 ⇒ (2 – a)2 + (1 – a)2 = a2 ⇔ 4- 4a + a2 + 1 – 2a + a2 = a2 ⇔ 2a2 – 6a + 5- a2 =0 ⇔ a2 – 6a + 5 = 0 ⇔ a = 1 hoặc a = 5. * a = 1 ⇒ I(1; 1) và R = 1. Ta có phương trình đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1. * a = 5 ⇒ I(5; 5), R = 5. Ta có phương trình đường tròn (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25. + TH2: Xét a = –b thì I(a; –a), R = |a| Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2 ⇒ (2 – a)2 + (1 + a)2 = a2 ⇔ 4 – 4a + a2 + 1+ 2a + a2 - a2 = 0 ⇔ a2 – 2a + 5 = 0 (Phương trình vô nghiệm) Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là: (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1 hoặc (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25. CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho đường tròn C có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0 a, Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C) b, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1; 0) c, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng: 3x – 4y + 5 = 0. Xem đáp án » 30/03/2020 13,262
Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau: a, x2 + y2– 2x – 2y - 2 = 0 b, 16x2 + 16y2 + 16x – 8y -11 = 0 c, x2 + y2 - 4x + 6y – 3 = 0 Xem đáp án » 30/03/2020 8,499
Cho hai điểm A(3; -4) và B(-3; 4). Viết phương trình đường tròn (C) nhận AB là đường kính. Xem đáp án » 30/03/2020 7,803
Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: a, (C) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3); b, (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng x – 2y +7 =0 c, (C) có đường kính AB với A = (1; 1) và B = (7; 5). Xem đáp án » 30/03/2020 7,504
Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: a, A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3) b, M(-2; 4), N(5; 5), P(6; -2) Xem đáp án » 30/03/2020 5,774
Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0 Xem đáp án » 30/03/2020 5,007
|
