Trong hệ thống du lịch thông minh, lập lộ trình tự động là một trong những chức năng phức tạp nhưng rất quan trọng và cần thiết cho du khách trước và trong hành trình thăm quan của mình. Chức năng này không chỉ yêu cầu tạo ra phương án lộ trình phù hợp với điều kiện của du khách một cách nhanh chóng, mà còn phải tối ưu về thời gian thăm quan và hiệu quả kinh tế. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một thuật toán lập lộ trình tự động mới dựa trên ý tưởng của bài toán lập lịch TSP (Traveling Salesman Problem) và bổ sung tham số về thời gian du lịch hợp lý, được gọi là TPA (Travel Planning Algorithm). Thuật toán TPA được cài đặt trong hệ thống du lịch thông minh đa nền tảng của tỉnh Thái Nguyên. Dựa vào điểm du lịch được gợi ý trong quá trình lựa chọn điểm thăm quan của du khách, thuật toán TPA hoạt động ổn định và lập được lộ trình du lịch tốt hơn so với chức năng lập lộ trình trong hệ thống du lịch thông minh của TripHunter và Tập đoàn bưu chính viễn thông Việt Nam (VNPT). Se analiza como a traves de la aritmetica en diferentes sistemas de numeracion posicional, se fomenta, desarrolla y promueve el pensamiento numerico. Observando que cuando uno se ve enfrentando a situaciones de trato numerico, suele convertir la resolucion de un problema en la solucion de algoritmos; no se analiza, en cambio si se opera. Se busca que mediante bases numericas diferentes al decimal, se analicen y comprendan los principios posicionales implicitos al operar. La investigacion se centra en tres pilares que contribuyen a desarrollar el pensamiento numerico, tomados del Ministerio de Educacion Nacional y del investigador Luis Rico Romero y su grupo de investigacion, los cuales son: - Comprension de los numeros y de la numeracion. - Comprension del concepto de las operaciones. - Calculos con numeros y aplicaciones de numeros y operaciones. TÓM TẮT: Rút gọn thuộc tính là bài toán quan trọng trong bước tiền xử lý dữ liệu của quá trình khai phá dữ liệu và khám phá tri thức. Trong mấy năm gần đây, các nhà nghiên cứu đề xuất các phương pháp rút gọn thuộc tính trực tiếp trên bảng quyết định gốc theo tiếp cận tập thô mờ (Fuzzy Rough Set FRS) nhằm nâng cao độ chính xác mô hình phân lớp. Tuy nhiên, số lượng thuộc tính thu được theo tiếp cận FRS chưa tối ưu do ràng buộc giữa các đối tượng trong bảng quyết định chưa được xem xét đầy đủ. Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất phương pháp rút gọn thuộc tính trực tiếp trên bảng quyết định gốc theo tiếp cận tập thô mờ trực cảm (Intuitionistic Fuzzy Rough Set IFRS) dựa trên các đề xuất mới về hàm thành viên và không thành viên. Kết quả thử nghiệm trên các bộ dữ liệu mẫu cho thấy, số lượng thuộc tính của tập rút gọn theo phương pháp đề xuất giảm đáng kể so với các phương pháp FRS và một số phương pháp IFRS khác. Hasil analisis kebutuhan bahwa kemampuan penalaran matematika khususnya pokok bahasan limit fungsi belum mencapai Kriteria Ketuntasan Minimal (KKM), dikarenakan pengemasan materi pembelajaran yang kurang mengakomodasi dan membangun kemampuan penalaran matemtika peserta didik. Kurang aktif dan antusias peserta didik dalam mengerjakan soal latihan yang diberikan guru. Hal ini menunjukkan dibutuhkannya pengembangan bahan ajar. Penelitian ini bertujuan untuk membangun kemampuan penalaran matematika. Subjek penelitian ini adalah peserta didik kelas XI MA Ma’arif NU 05 Sekampung, Lampung Timur, tahun akademik 2018/219. Hasil studi pendahuluan menunjukkan adanya kebutuhan dikembangkannya LKPD berbasis problem based learning. Penyusunan LKPD diawali dengan menyusun rancangan dan semua komponennya berdasarkan panduan penyusunan. Hasil validasi menunjukkan bahwa LKPD telah memenuhi standar kelayakan isi dan desain. Hasil uji coba lapangan awal menunjukkan bahwa LKPD termasuk dalam kategori ba... - 1. phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng của x3 + 3x2 - 3 = 0 với độ chính xác 10-3, biết khoảng phân ly nghiệm (-3 ; -2). Lời giải : Ta có: f (x) = x3 + 3x2 - 3 f’ (x) = 3 x2 +6x <=> f’(x) = 0 => x1 = 0 x2 = -2 Bảng biến thiên: X -2 0 +∞ f (x) 0 0 +∞ f (x) -∞ 1 -3 Ta có : f (-3) = - 3 < 0 Khoảng phân ly nghiệm [ -3; -2] f (-2) = 1 > 0 Áp dụng phương pháp chia đôi ta có: C1 = a b = 2 (3) (2) = -2.5 => F1(C1) = 0.125 >0 2 => Khoảng phân ly nghiệm [ -3;-2.5 ] C2 = (3) (2.5) = -2.75 => F2(C2) = -1.109 < 0 2 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.75; -2.5 ] C3 = (2.75) (2.5) = -2.625 => F3(C3) = - 0.416 < 0 2 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.625; -2.5 ] C4 = (2.625) (2.5) = -2.5625 => F4(C4) = - 0.127 < 0 2 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.5 ] C5 = (2.5625) (2.5) = -2.53125 => F5(C5) = 0.004 >0 2
- 2. ly nghiệm [-2.5625; -2.53125 ] C6 = -2.546875 => F6(C6) = - 0.061 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.546875; -2.53125 ] C7 = -2.5390625=> F7(C7) = - 0.029 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5390625; -2.53125 ] C8 = -2.53515=> F8(C8) = - 0.012 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.53515; -2.5390625 ] C9 = -2.537106=> F9(C9) = - 0.020 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.537106; -2.5390625 ] C10 = -2.538084=> F10(C10) = - 0.024 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.538084; -2.5390625 ] Ta lấy nghiệm gần đúng: = - 2.538084 Đánh giá sai số: |α – bn| ≤ bn - an = |-2.5390625 – (-2.538084) | = 9,785.10- 4 < 10-3 Bài 3: Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm đúng với độ chính xác 10-3 a) x3 + 3x2 – 3 = 0 , biết khoảng cách ly nghiệm là ( -2.75; -2.5) 1 b) x 1 = x Lời giải : a) x3 + 3x2 – 3 = 0 , biết khoảng cách ly nghiệm là [ -2.75; -2.5] <=> x3 = 3 - 3x2 <=> (3 - 3x2 )1/3 Ta nhận thấy | f ’ (x) | ≤ 0.045< 1 nên ta chọn hàm lặp (x) = (3 - 3x2 )1/3 Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ -2.75; -2.5] Do f (- 2.5) < 0 nên ta chọn đầu b = - 2.5 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = - 2.5 Ta có quá trình lặp . Đặt (x) = (3 - 3x2 )1/3 <=> ’ (x) = 1 (3 – 3x)-2/3 = 3 1 . 3 3 (3 3 2 )2 1 x Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ -2.75; -2.5] xo = - 2.5 ; q = 1 . Vì € [ -2.75; -2.5] 3
- 3. ’ 1 x € [ -2.75; -2.5]; ’ (x) | 3 (x) < 0 x € [ -2.75; -2.5] xn + 1 = (3 - 3x2 )1/3 xo = - 2.5 x1 = (3 – 3.(-2.5)2 )1/3 = -2.5066 x2 = (3 – 3.( x1)2 )1/3 = -2.5119 x3 = (3 – 3.( x2)2 )1/3 = -2.5161 x4 = (3 – 3.( x3)2 )1/3 = -2.5194 x5 = (3 – 3.( x4)2 )1/3 = -2.5221 x6 = (3 – 3.( x5)2 )1/3 = -2.5242 x7 = (3 – 3.( x6)2 )1/3 = -2.5259 x8 = (3 – 3.( x7)2 )1/3 = -2.5272 x9 = (3 – 3.( x8)2 )1/3 = -2.5282 x10= (3 – 3.( x9)2 )1/3 = -2.590 x11 = (3 – 3.( x10)2 )1/3 = -2.5296 x12 = (3 – 3.( x11)2 )1/3 = -2.5301 Ta lấy nghiệm gần đúng: = - 2.5301 q 1 | x12 - x11 | = 2.5.10 - 4 < 10-3 Đánh giá sai số: | - x12 | = q 1 b) x 1 = x 1 Đặt f(x) = x 1 - x Từ đồ thị ta có : f (0.7) = - 0.12473 < 0 f (0.8) = 0.09164 > 0 f (0.7) . f (0.8) < 0 . Vậy ta có khoảng phân ly nghiệm là [ 0.7; 0.8] Ta có: <=> x = 1 1 x = (x + 1 ) - 1/2
- 4. = (x + 1 ) - 1/2 <=> ’ (x) = - 1 (x + 1) - 3/2 = - 2 2 1 x 1 . ( 1)3 Ta nhận thấy | f ’ (x) | ≤ 0.4141< 1 nên ta chọn hàm lặp (x) = (x + 1 ) - 1/2 Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ 0.7; 0.8] Do f (0.7) < 0 nên ta chọn đầu b = 0.8 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = 0.7. Ta có quá trình lặp q = 0.4141 . Vì € [ 0.7; 0.8] ta có: | ’ 1 x € [ 0.7; 0.8] ; ’ (x) | 2 (x) < 0 x € [ 0.7; 0.8] xn + 1 = (x + 1 ) -1/2 xo = 0.7 x1 = (0.7 + 1 ) -1/2 = 0.766964988 x2 = (x1+ 1 ) -1/2 = 0.75229128 x3 = (x2+ 1 ) -1/2 = 0.755434561 x4 = (x3+ 1 ) -1/2 = 0.754757917 Ta lấy nghiệm gần đúng: = 0.754757917 q 1 | x4 – x3 | = 4,7735.10-4 < 10-3 Đánh giá sai số: | - x4 | = q Bài 4: Dùng phương pháp dây cung và tiếp tuyến, tìm nghiệm đúng với độ chính xác 10-2 a) x3 + 3x2 + 5 = 0 b) x4 – 3x + 1 = 0 Lời giải : a) x3 + 3x2 + 5 = 0 Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình: f (x) = x3 + 3x2 + 5 <=> x3 = 5 - 3x2 Đặt y1 = x3
- 5. - 3x2 y -2 0 1 x -1 -2 Từ đồ thị ta có: f (-2 ) = - 9 < 0 Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1 ] f (-1 ) = 1 > 0 Vì f (-2 ) . f (-1 ) < 0 * Áp dụng phương pháp dây cung ta có: Do f (-2 ) = - 9 < 0 => chọn xo = -2 x1 xo f ( x ).( b a ) = – 0 f ( b ) f ( a ) = -1.1 f (x1) = 0.036 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.1 ] f ( x ).( b a x2 x1 ) = – 1 f ( b ) f ( a ) = -1.14 f (x2) = 0.098 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.14 ] f ( x ).( b a x3 x2 ) = – 2 f ( b ) f ( a ) = -1.149 f (x3) = 0.0036> 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.149 ] x4 = -1.152 => f (x4) = 0.015> 0 => Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ; -1.152 ] x5 = -1.1534 => f (x5) = 0.0054 > 0
- 6. ly nghiệm [- 2 ;-1.1534 ] x6 = -1.1539 => f (x6) = -1.1539 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ;-1.1539 ]. Ta chọn nghiệm gần đúng = - 1.53 Đánh giá sai số: | - x6 | | m f (x) | với m là số dương : 0 < m f’(x) x € [-2 ;-1] | - x6 | 1.36 .10 -3 < 10 -2 * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) ta có: f ’(-2) = 19 > 0 f ’’(-2) = -12 < 0 => f ’(-2) . f ’’(-2) < 0 nên ta chọn x0 = -2 Với x0 = -2 ta có: x1 x0 f ( x ) = - ( ) 0 ' 0 f x = -1.4 f x ( ) x2 = x1 - ( ) 1 ' 1 f x = -1.181081081 f x ( ) x3 = x2 - ( ) 2 ' 2 f x = -1.154525889 f x ( ) x4 = x3 - ( ) 3 ' 3 f x = -1.15417557 Ta chọn nghiệm gần đúng = - 1.154 Đánh giá sai số: | - x4 | | m f (x) | với m là số dương : | f’(x) | m > 0 x € [-2 ;-1] | - x4 | 1.99 .10 - 4 < 10 -2 b) x4 – 3x + 1 = 0 Tìm khoảng phân ly nghiệm : f (x) = x4 – 3x + 1 f’(x) = 4x3 - 3 <=> f’(x) = 0 => => x = 3 3 4 = 3 0.75
- 7. X -∞ 3 0.75 +∞ f (x) -∞ 0 +∞ f (x) - 1.044 Ta có : f (0) = 1 > 0 f (1) = -1< 0 Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 1 ] ; [ 1; 2 ] f (2) = 11> 0 * Áp dụng phương pháp dây cung trong khoảng [ 0 ; 1 ] ta có: Do f (1 ) = - 1 < 0 => chọn xo = 1 x1 xo f ( x ).( b a ) = – 0 f ( b ) f ( a ) = 0.5 f (x1) = - 0.4375 <0 => Khoảng phân ly nghiệm [ 0; 0.5 ] f ( x ).( b a x2 x1 ) = – 1 f ( b ) f ( a ) = 0.3478 f (x2) = - 0.0288 <0 => Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 0.3478] f ( x ).( b a x3 x2 ) = – 2 f ( b ) f ( a ) = 0.3380 f (x3) = - 0.00095 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 0.3380] x4 = 0.3376 => f (x4) = 0.0019 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [0.0019; 0.3380] Ta chọn nghiệm gần đúng = 0.3376 Đánh giá sai số: | - x4 | | m f (x) | với m là số dương : 0 < m f’(x) x € | - x4 | 1.9.10 - 4 < 10 -2
- 8. phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) trong khoảng [ 0 ; 1 ] ta có: f ’(1) = 1 > 0 f ’’(1) = 12 > 0 => f ’(1) . f ’’(1) > 0 nên ta chọn x0 = 0 Với x0 = 0 ta có: x1 x0 f ( x ) = - ( ) 0 ' 0 f x = 0.3333 f x ( ) x2 = x1 - ( ) 1 ' 1 f x = 0.33766 f x ( ) x3 = x2 - ( ) 2 ' 2 f x = 0.33766 Ta chọn nghiệm gần đúng = 0.3376 Đánh giá sai số: | - x3| | m f (x) | với m là số dương : | f’(x) | m > 0 x € [ 0 ; 1 ] | - x3| 6 .10 - 5 < 10 -2 * Áp dụng phương pháp dây cung trong khoảng [ 1; 2 ] ta có: Do f (1 ) = - 1 < 0 => chọn xo = 1 x1 xo f ( x ).( b a ) = – 0 f ( b ) f ( a ) = 1.083 f (x1) = - 0.873<0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.083; 2] f ( x x2 x1 ).( b a ) = – 1 f ( b ) f ( a ) = 1.150 f (x2) = - 0.7 <0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.150; 2] f ( x x3 x2 ).( b a ) = – 2 f ( b ) f ( a ) = 1.2 f (x3) = - 0.526< 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2 ; 2] x4 = 1.237 => f (x4) = -0.369 < 0
- 9. ly nghiệm [1.237 ; 2] x5 = 1.2618 => f (x5) = -0.25 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2618 ; 2] x6 = 1.2782 => f (x6) = - 0.165 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2782 ; 2] x7 = 1.2889 => f (x7) = - 0.1069 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2889; 2] x8 = 1.2957 => f (x8) = - 0.068 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2957; 2] x9= 1.3000 => f (x9) = - 0.0439 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.3; 2] x10= 1.3028 => f (x10) = - 0.027 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.3028; 2] Ta chọn nghiệm gần đúng = 1.30 Đánh giá sai số: | - x10 | | m f (x) | với m là số dương : 0 < m f’(x) x € | - x10 | -2.8.10 - 3 < 10 -2 * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) trong khoảng [ 1; 2 ] ta có: f ’(1) = 1 > 0 f ’’(1) = 12 > 0 => f ’(1) . f ’’(1) > 0 nên ta chọn x0 =2 Với x0 = 0 ta có: x1 x0 f ( x ) = - ( ) 0 ' 0 f x = 1.6206896 f x ( ) x2 = x1 - ( ) 1 ' 1 f x = 1.404181 f x ( ) x3 = x2 - ( ) 2 ' 2 f x = 1.320566
- 10. ) x4 = x3 - ( ) 3 ' 3 f x = 1.307772 f x ( ) x5 = x4 - ( ) 4 ' 4 f x = 1.307486 Ta chọn nghiệm gần đúng = 1.30 Đánh giá sai số: | - x5| | m f (x) | với m là số dương : | f’(x) | m > 0 x € [ 1; 2 ] | - x5| -7.486.10 - 3< 10 -2 Ta chọn nghiệm gần đúng = 0.3376 Đánh giá sai số: | - x4 | | m f (x) | với m là số dương : 0 < m f’(x) x € | - x4 | 1.9.10 - 4 < 10 -2 Bài tập 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2x 4x 0 (1) bằng phương pháp tiếp tuyếnvới độ chính xác 105 Bài giải: B1:tìm khoảng phân ly Ta tách phương trình (1)thành 1 y x y x 2 2 4 Dựa vào phương pháp đồ thị ta tìm dươc khoảng phân ly là :0;0,5 vì ( ) (0,5) 0 0 o f f vậy ( ) (0,5) 0 o f f B2: tìm nghiệm của phương trình f , 0; f ,, 0 f , f ,, 0 nên ta chọn 0 x a 0 ( ) 0 0 1 0 , ( ) 0 1 0,3024 3,30685 x x f x x f x 2 0,3024 0,02359 0,3099 3,14521 x 3 0,3099 0,00002 0,30991 3,14076 x 4 0,30991 0,00001 0,30991 3,14075 Vậy ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là : x= 0,30991
- 11. Dùng phương pháp Gauss để giải những hệ phương trình Ax=b. Các phép tính lấy đến 5 số lẻ sau dấu phẩy: a. 1,5 0,1 0,1 0,1 1,5 0,1 0,3 0, 2 0,5 A 0, 4 0,8 0, 2 b x 1 2 x x x 3 0, 4 0,8 0, 2 B Bài giải: Lập bảng gauss : Quá trình ai1 ai2 ai3 ai4 ij a (cột kiểm tra) Thuận 1,5 0,1 -0,3 -0,2 1,5 0,2 0,1 -0,1 -0,5 0,4 0,8 0,2 1 0 0 -0,13333 1,48667 1,6 0,06667 0,09333 -0,48 0,26667 0,82667 0,28 1 1 0,06278 -1,48448 0,55605 -0,33326 1 1 1 0,22449 0,54196 0,32397 Vậy nghiệm của phương trình là : (0,32397 ; 0,54196 ;0,22449 ) b) 2, 6 4,5 2, 0 3, 0 3, 0 4,3 6, 0 3, 5 3, 0 A 19, 07 3, 21 18, 25 b x 1 2 x x x 3 19, 07 3, 21 18, 25 B Bài giải: Lập bảng gauss :
- 12. ai2 ai3 ai4 aij (cột kiểm tra) Thuận 2,6 3 -6 -4,5 3 3,5 -2,0 4,3 3 19,07 3,21 -18,25 1 -1,73077 8,9231 -6,88462 -0,76923 6,60769 -1,61538 7,33462 -18,79386 25,75772 1 0,80657 3,93754 -2,29409 9,96378 1 1 1 2,53045 -4,33508 1,77810 Bài 7: Giải hệ phương trình: 8 x y z x y z x y z 4 7 _ 5 (I) Bằng phương pháp lặp đơn,tính lặp 3 lần,lấy x(a)=g và đánh giá sai số của x3 Giải: Từ phương trình (I) x y z .1/8 .1/8 1/8 y x z .1/ 5 .1/ 5 16/ 5 z x y .1/ 4 .1/ 4 7 / 4 x y z 0,125 0,125 0,125 y x z 0,2 0,2 3,2 z x y 0,25 0,25 1,75 => B= 0 0,125 0,125 0,2 0 0,2 0,25 0,25 0 ; g = 0,125 3,2 1,75 3 Ta xet r = maxi j 1 ij b => 0,25 0,4 0,5 r 1 r 2 r 3 3 r = maxi j 1 ij b =0,5 <1 phương pháp lặp đơn x(m) =b.x(m-1) +g , hội tụ với mọi x0 cho trước ta có bảng sau: X Y Z B 0 0,2 0,25 0,135 0 0,25 0,125 0,2 0 X(0) -0,125 -3,2 -1,75
- 13. -0,74375 -0,89453125 -0,961835937 -3,575 -3,865 -3,94484375 -2,58125 -2,8296875 -2,939882875 Đánh giá sai số x(3) x(3)- x(2) = max (0,067304687;0,07984375;0,110195375) Áp dụng công thức (3.36) SGK ta có x(3) - 2 0,5 1 0,5 .0,110195375 = 0,110195375 Vậy ta có nghiệm của phương trình là: X= -0,961835937 0,110195375 Y= -3,94484337 0,110195375 Z= -2,939882875 0,110195375 Bâi 8 : Giải hệ phương trình x x x x x x x x x 24, 21 2, 42 3,85 30, 24 2,31 31, 49 1,52 40,95 3, 49 4,85 28, 72 42,81 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x 1, 24907 0, 09995 x 0,15902 x x 1,30041 0, 07335 x 0, 04826 x x 1, 49059 0,1215 x 0,1689 x 1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 3 0 0, 09995 0,15902 1, 24907 0, 07335 0 0, 04826 1,30041 0,12151 0,16887 0 1, 49059 x x f x x Ta có: 1 2 3 0, 25897 1 0,12171 1 0, 29038 1 r r r pt hội tụ Lập bảng: 1 x 2 x 3 x B 0 -0,07335 -0,12151 -0,09995 0 -0,16887 -0,15902 -0,04826 0 x 1,24907 1,30041 1,49059 0 x1 0,98201 1,13685 1,11921 x2 0,95747 1,17437 1,17928 x3 0,94416 1,17326 1,17773 x4 0,94452 1,17431 1,17774
- 14. 0,94441 0,94452 0,94444 1,17429 1,17431 1,17429 1,17751 1,17753 1,17751 Nghiệm bằng: (0,94444; 1,17429; 1,17751) Bài 9 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm y=f(x) cho dưới dạng bảng X 0 2 3 5 Y 1 3 2 5 Giải: ở đây ta thấy n=3 nên đa thức nội suy là một đa thức bậc 3 có dạng P3(x)= yo + lo (x) + y1L1(x) + y2 l2(x) + y3 l3(x) p3(x)= x x x +3. ( 2)( 3)( 5) (0 2)(0 3)(0 5) x x x +2. ( 0)( 3)( 5) (2 0)(2 3)(2 5) x x x + 5. ( 0)( 2)( 5) (3 0)(3 2)(3 5) x x x ( 0)( 2)( 3) (5 0)(5 2)(5 3) p3(x) = x 3 10 x 2 31 x 30 + 30 x3 8x2 15x + 6 x3 5x2 6x 30 p3(x) = 9x3 65x2 124x 30 30 Vậy đa thức Lagrange cần tìm la : p3(x) = 9x3 65x2 124x 30 30 Bài 10 : Cho bảng giá trị của hàm số y= f(x) X 321,0 322,0 324,0 325,0 Y 2,50651 2,50893 2,51081 2,51188 Tính gần đúng t (324,5) bằng đa thức nội suy Lagrange ? Giải : Gọi x* =323,5 y(x* ) =p3 (x* ) = y0l0(x* )+ y1l1(x* ) +y2l2(x* ) + y3l3(x* ) Ta có l0(x* ) = (323,5 322,8)(323,5 324,2)(323,5 325,0) = - 0,031901041 (321,0 322,8)(321,0 324,2)(321,0 325,0) = -0,03190
- 15. 321,0)(323,5 324,2)(323,5 325,0) = 0,473484848 (322,8 321,0)(322,8 324,2)(322,8 325,0) = 0,43748 L2(x* )= (323,5 321,0)(323,5 322,8)(323,5 325,0) =0,732421875 (324,2 321,0)(324,2 322,8)(324,2 325,0) =0,73242 L3(x* )= (323,5 321,0)(323,5 322,8)(323,5 324,2) =-0,174005681 (325,0 321,0)(325,0 322,8)(325,0 324,2) = -0,17401 y (323,5)= 2,50651.(- 0,03190)+2,50893.0,47348+2,51081.0,73242+2,51188.(-0,17401) =2,50985 Bài 11: Cho bảng giá trị của hàm số y =f(x) X -1 0 3 6 7 Y 3 -6 39 822 1011 a. Xây dựng đa thức nội suy Niwton tiến xuất phát từ nút x0 =-1 của y = f(x) b. Dùng đa thức nội suy nhận được tính giá trị f(0,25) Giải : Đa thức vừa lặp là đa thức nội suy Niwton bước không đều a. Ta có bảng ký hiệu X Y THC1 THC2 THC3 THC4 -1 0 3 6 3 -6 39 822 -9 15 261 6 41 132 5 13 1
- 16. Đa thức nội suy : p4(x) = 3-9(x+1)+6(x+1)x+5(x+1)x(x-3)+(x+1)x(x-3)(x-6) = 3-9x-9+6x2+6x+5x3-10x2-15x+x4-8x3 +9x2 +18x p4(x) = x4-3x3 +5x2 – 6 b. Tính f(-0,25) = (-0,25)4 - 3(0,25)3 |+5(0,25)2 –b = -5,636719 Bài 12 : Cho bảng giá trị của hàm số y=sinx X 0,1 0,2 0,3 0,4 Y=f(x) 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942 a. Dùng đa thức nội suy tiến xuất phát từ x0 = 0,1 tính gần đúng sin(0,4) và đánh giá sai số của giá trị nhận được b. Dùng đa thức nội suy lùi xuất phát từ x3 =0,4 tính gần đúng sin (0,46) và đánh giá sai số Giải: a. Đa thức nội suy bước đều với h=0,1 ta có bảng sai phân: X Y Y 2Y 3Y 0,1 0,2 0,3 0,4 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942 0,09884 0,09685 0,09390 -0,00199 -0,00295 -0,00096 Áp dụng công thức đa thức nội suy Niwton tiến ta tính: Sai (0,014) = pn(x) [ x=0,1+0,1t] = y0 + t. y0 + 1! t(t 1) 2 y0 + 2! t(t 1)(t 2) 3 y0 3! Theo bài ra ta có : x=0,14 0,1+0,1t =0,1 => t=0,4
- 17. ta có : Sin(0,14) = 0,09983 + 0,4.0,09884 + 0,4(0,4 1) (0,00199) 2 + 0,4(0,4 1)(0,4 2) (-0,00096) = 0,13954336 6 Đánh giá sai số : Ta có : (x) = (x-0,1)(x-0,2)(x-0,3)(x-0,4) (0,14) = (0,14 0,1)(0,14 0,2)(0,14 0,3)(0,14 0,4) = 0,00009984 => sin(0,14) 0,13954336 0,00009984 =4,16.10-6 4! => Nghiệm gần đúng sin(0,14) = 0,13954 10-5 b. Lập bảng sai phân với đa thức nội suy lùi X Y 1Y 2Y 3Y 0,4 0,3 0,2 0,1 0,38942 0,29552 0,19867 0,09983 0,0939 0,09686 0,09884 -0,00295 -0,00199 -0,00096 Dựa vào công thức sai phân lùi ta có Sin(0,46) = p(x) ; [x= 0,4 + 0,1t = mọi người nhập trong tài liệu. Sai số tính theo công thức (4.7) ở trênta có : sin(0, 46) 0,4439446 3,8.105 Ta quy tròn số0,4439446 đến 5 chữ số lẻ thập phân : sin(0,46) 0,44394 5.105 Bài 13 Cho bảng giá trị: X 2 4 6 8 10 12 Y 7,32 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05 Hãy tìm công thực nghiệm có dạng y = ax + b Xi Yi X2i xi.yi N = 6 2 4 7,32 8,24 4 16 14,64 32,96
- 18. 12 9,20 10.9 11,01 12,05 32 64 100 144 55,20 81,52 110,1 144,6 Tổng 42 58,01 364 439,02 Giá trị công thức na+bΣxi =Σyi aΣxi +bΣxi2 = Σxiyi Ta có hệ phương trình : a b 6 42 58,01 a b 42 346 439,02 => a => 0,470714285 6,373333338 b a 0,5 6,4 b Vậy công thức nghiệm có dạng: y=6,4x +0,5 Bài 13: Cho bảng giá trị x 2 4 6 8 10 12 y= f(x) 7,23 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05 Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y = ax + b Ta lập bảng số: n= 6 xi 2 i x yi xi yi 2 4 7,32 14,64 4 16 8,24 32,96 6 36 9,20 55,2 8 64 10,19 81,52 10 100 11,01 110,1 12 144 12,05 144,6 42 364 58,01 439,02 Áp dụng công thức: Thay số ta có hệ phương trình: 6,373333333 6,4 a b 6 42 58,01 0,470714285 0,5 42 364 439,02 a b a b Vậy công thức thực nghiệm cần tìm là y 0,5 6,4x Bài 14: Cho bảng giá trị
- 19. 2,34 3,12 3,81 y= f(x) 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y = a + bx + cx2 Ta lập bảng số: n= 5 i x 2 i x 3 i x 4 xi yi xi yi 2 i x yi 0,78 0,6084 0,474552 0,37015056 2,50 1,95 1,521 1,56 2,4336 3,796416 5,92240896 1,20 1,872 2,92032 2,34 5,4756 12,812904 29,98219536 1,12 2,6208 6,13312 3,12 9,7344 30,371328 94,75854336 2,25 7,02 21,9024 3,81 14,5161 55,306341 210,7171592 4,28 16,3068 62,128908 11,61 32,7681 102,761541 341,7504574 11,35 29,7696 94,605748 Áp dụng công thức: n.a + b. i i i x c. x2 y a. i i i i i x b. x2 c x3 x y a. i i i i i x2 b. x3 c x4 x2 y Ta có hệ phương trình : a b c 5 11,61 32,7681 11,35 a b c 11,61 32,7681 102,761541 29,7696 a b c 32,7681 102,761541 341,7504574 94,605748 5,022553658 5 4,014714129 4 1,002440262 1 a b c Vậy công thức thực nghiệm cần tìm là : y 5 4x x2 . CHƯƠNG 5: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 15: Cho bảng giá trị x 50 55 60 y=f(x) 1,6990 1,7404 1,7782 Tính gần đúng y’(55) và y’(60) của hàm số y = lgx. So sánh với kết quả đúng tính đạo hàm của hàm số y = lgx. Bài giải Ta sử dụng công thức nội suy Niwtơn tiến bước đều: f’(x)= ଵ ቂΔݕ − ଵ ଶ Δଶݕ + ଵ ଷ Δଷݕ − ଵ ସ Δସଶݕ + ⋯ ቃ (1) Để tính gần đúng đạo hàm. Lập bảng sai phân: x y y0 2y0 50 1,6990 55 1,7404 > 0,0414 > - 0,0036
- 20. 0,0378 Thay vào công thức (1) ta được: +) f’(55)= ଵ ହ ቂ0,0414 − ଵ ଶ (−0,0036)ቃ = 0,00864 +) f’(60)= ଵ ହ ቂ0,0378 − ଵ ଶ (−0,0036)ቃ = 0,00792 *) So sánh với kết quả đúng tính đạo hàm của hàm số y = lgx - Tính đạm hàm đúng: Ta có: ݕᇱ = (݈݃ݔ)ᇱ = ଵ ௫.ଵ ݕᇱ(55) = (lg55)’ = ଵ ହହ.ଵ = 0,007896 ݕᇱ(60) = (݈݃60)ᇱ = ଵ .ଵ = 0,007238 - So sánh: +) |ݕᇱ(55) − (݈݃55)′| = |0,00864 − 0,007896| = 0,000744 +) |ݕᇱ(60) − (݈݃60)′| = |0,00792 − 0,007238| = 0,000682 Bài 16: Cho bảng giá trị x 0,11 0,13 0,15 0,17 1,18 y=f(x) 81,818182 69,230769 60,000000 52,941176 50,000000 Hãy tính y’(0,11). Kết quả làm tròn đến 6 chữ số lẻ thập phân. Bài giải: Lập bảng tỉ hiệu: x y y 2 y 3y 4 y 0,11 81,818182 - 629,37065 - 461,53845 - 352,9412 - 294,1176 419,805 2714,93125 1960,786667 -24681,22917 - 15082,89166 137119,1073 0,13 69,230769 0,15 60,000000 0,17 52,941176 0,18 50,000000 Ta có: ( ) 4 P x = 81,818182– 629,37065 (x - 0,11) + 4195,805(x - 0,1)(x – 0,13) – - 4681,2291 (x- 0,11)(x- 0,13)(x- 0,15) + + 137119,1073 (x- 0,11)(x- 0,13)(x- 0,15) (x- 0,17) ( ) 4 P x = 137119,1073x4 - 101467,9292 x3 + + 29809,57226 x2- 4338,14816x+ 313,9906839. ' ( ) 4 P x = 548476,4292 x3 – 304403,7876 x2 + 59619,144452x- 4338,148167 Vậy ta có y/ (0,11)= P’4(0,11)= 548476,4292 (0,11)3 – 304403,7876(0,11)2 + 59619,144452 (0,11)- 4338,148167 = -733,3059747 y/ (0,11)= P’4(0,11)= -733,3059747 Câu 17. Cho bảng giá trị. x 0,12 0,15 0,17 0,2 0,22 y 8,333333 6,666667 5,882353 5,000000 4,545455 Hãy tính y / (0,12) . Kết quả làm tròn tới 6 chữ số thập phân.
- 21. tỉ hiệu: x y y 2 y 3y 4 y 0,12 8,333333 - 55,555533 - 39,215700 - 29,411767 - 22,727250 326,796666 196,078660 133,690340 -1633,975075 - 891,261714 7427,133610 0,15 6,666667 0,17 5,882353 0,2 5,000000 0,22 4,545455 ( ) 4 P x = 8,333333 – 55,555533 ( x -0,12) + 326,796666(x 0,12)(x 0,15) 1633,975075(x - 0,12). (x 0,15) .( x -0,17) + 7427,133610 (x 0,12) (x 0,15) .( x -0,17)( (x 0,2) . ( ) 4 P x = 7427,133610 x4 6387,340585x3 2173,927294x2 365,847435x 30,427706 / ( ) 29708,53444 3 19162,02176 2 4347,854588 365,847435 4 P x x x x Vậy ta có y / (0,12) = / (0,12) 29708,53444.0,123 19162,02176 2 4347,854588 365,847435 4 P x x = -68,689650. Câu 18. Tính gần đúng y/(1) của hàm y = y(x) dựa vào bảng giá trị : x 0,98 1,00 1,02 y y(x) 0,7739332 0,7651977 0,7563321 Giải: Theo bài ra ta có h = 0,02 Áp dụng công thức Taylo, ta có: f x f ( x h ) f ( x ) ( ) 0 0 . 0 / h y f f f / (1) / (1) (1,02) (1,00) 0,7563321 0,7651977 Thay số ta có: 0,44328 0,02 0,02 Vậy y/ (1) 0,44328. Câu 19. Cho tính phân: dx 1,1 0,1 (1 4x)2 a. Tính gần đúng tích phân trên bằng công thức hình thang tổng quát chia đoạn 0,1;1,1 thành 10 đoạn bằng nhau. b. Đánh giá sai số của giá trị gần đúng tìm được. Giải: a. Theo bài ra ta có h b a 1,1 0,1 0,1 . 10 n Lập bảng giá trị : i x y 0 0,1 0,510204081 1 0,2 0,308641975 2 0,3 0,206611570 3 0,4 0,147928994 4 0,5 0,111111111
- 22. 6 0,7 0,069252077 7 0,8 0,056689342 8 0,9 0,047258979 9 1,0 0,040000000 10 1,1 0,034293552 Áp dụng công thức hình thang IT = 0 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 h y y y y y y y y y y y . Thay số ta có: IT = 0,1 0,510204081 +0,034293552 + 2(0,308641975 + 0,206611570 2 + + 0,147928994 +0,111111111+ 0,086505190 + 0,069252077 + 0,056689342 + 0,047258979 + 0,040000000 ) = 0,134624805 Vậy IT = 0,134624805. . 2 I I M h b a T Với M Max f // (x) , với mọi xa,b. b. Đánh giá sai số, ta có: . ; 12 / x 32 8 ( ) 1 ( ) 1 Ta có 2 4 / 2 (1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) x x f x x f x / 4 3 384 96 x x x 32(1 4 ) 16(1 4 ) ( 32 8) 8 5 ( ) 32 8 4 // (1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) x x x x f x x (0,1) 384.0,1 96 5 // Ta nhận thấy, Max f // (x) = 24,98958767 (1 4.0,1) f 24,98958767.0,12.(1,1 0,1) . Sai số T I I 0,020824656 12 x . 1 dx 3,5 2 1 Câu 20. Cho tích phân: x a. Tích gần đúng tích phân bằng công thức Símson tổng quát chia đoạn 2;3,5 thành 12 đoạn bằng nhau. b. Đánh giá sai số giá trị vừa tìm được. Giải: 3,5 2 h b a a. Theo bài ra ta có 0,125 12 n Lập bảng giá trị : i x y 0 2 -3 1 2,125 -2, 777777778 2 2,25 -2,6 3 2,375 -2,454545455 4 2,5 -2, 333333333 5 2,625 -2,230769231 6 2,75 -2,142857143 7 2,875 -2,066666667 8 3,0 -2
- 23. 10 3,25 -1, 888888889 11 3,375 -1,842105263 12 3,5 -1,8 Áp dụng công thức Símson 4( ) 2( ) 3 0 12 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 IS h y y y y y y y y y y y y y 0,125 3 1,8 4.(-2, 777777778 - 2,454545455- 2,230769231- 2,066666667 - 1,941176471 - 3 -1,842105263) 2.( -2,6 -2, 333333333 -2,142857143 -2 -1, 888888889) = = -3.332596758 Vậy I -3.332596758 S . 4 b. Đánh giá sai số: .( ) I I M h b a S 180 Trong đó M Max f //// (x) với a x b Ta có: ( ) 2 f ( x ) 1 x f x x ( ) 64.(1 ) 2 4 //// f x x x ( ) 12 24 20 2 3 2 /// 2 2 f // x x 2 / (1 2 ) (1 2 ) ( ) 4 4 (1 2 ) 1 2 1 x x x x x x x x f x x Ta nhận thấy: Max 0,0001302083333 4 ( ) (2) 64 64.0,125 .(3,5 2) //// //// 180 S f x f I I . CHƯƠNG 6: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 21 1 1 Dùng công thức Simpson tổng quát để tính gần đúng tích phân: dx 0 x 3 1 . 1 0 Chia [0;1] thành 10 đoạn bằng nhau, suy ra h = 0,1 1 Ta tính ra bảng sau : Thứ tự x f(x) = 1 1 x3 0 0 1,00000 1 0,1 0,99950 2 0,2 0,99602 3 0,3 0,98677 4 0,4 0,96946 5 0,5 0,94281 6 0,6 0,90685 7 0,7 0,86290
- 24. 9 0,9 0,76051 10 1,0 0,70711 Áp dụng công thức Simpson : Is = 3 h [ y0+ y10 + 4( y1+ y3+ y5+ y7+ y9 )+ 2( y2+ y4+ y6+ y8 ) Is = 0,1 [1 + 0,70711+ 4(0,99950 + 0,98677 + 0,94281 + 0,86290 + 0,76051)+ 3 2(0,99602 + 0,96946 + 0,90685 + 0,81325 ) Is = 0,90961 Bài 22 Dùng công thức Simpson tổng quát để tính gần đúng tích phân 0,8 0,8 2 1 cos sin dx x x 0,8(0,8) Chia [-0,8; 0,8] thành 16 đoạn bằng nhau, suy ra h = 16 = 0,1 Ta tính ra bảng sau : Thứ tự x f(x) = x x sin 2 1 cos 0 - 0,8 0.934412 1 - 0,7 0.855826 2 - 0,6 0.762860 3 - 0,5 0.656932 4 -0,4 0.539743 5 -0,3 0.413236 6 -0,2 0.279557 7 -0,1 0.141009 8 0 0.000141 9 0,1 0.141009 10 0,2 0.279557 11 0,3 0.413236 12 0,4 0.539743 13 0,5 0.656932 14 0,6 0.762860 15 0,7 0.855826 16 0,8 0.934412 Áp dụng công thức Simpson :
- 25. 4(y1+y3+y5+ y7+ y9+ y11+y13+ y15)+ 2(y2+ y4+ y6+ y8+ y10+ y12+ Is = 3 y14 ) Thay số và tính toán ta được kết quả Is = 0,824459 Bài 23 ln(cos ) Dùng công thức Simpson để tính gần đúng tích phân dx x 0,5 x 0,5 ln(1 cos ) Chia [-0,5;0,5] thành 8 đoạn bằng nhau ta có h =0,125 Ta tính ra bảng sau : Thứ tự x ln(cos ) f(x) = ln(1 cos x ) x 0 - 0,5 - 0,207281 1 - 0,375 - 0,109497 2 - 0,250 - 0,046615 3 - 0,125 - 0,011365 4 0,000 0,000000 5 0,125 - 0,011365 6 0,250 - 0,046615 7 0,375 - 0,109497 8 0,5 - 0,207281 Áp dụng công thức Simpson : Is = 3 h [ y0+ y8 + 4( y1+ y3+ y5+ y7 )+ 2( y2+ y4+ y6 ) Thay số và tính toán ta được kết quả Is = - 0,065330 Bài 24: Cho bài toán Cauchy: y’= y2 - x2 Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler trên [1,2], chọn bước h= 0,1. Bài giải: Theo đầu bài ta có: h= 0,1; U0= y(1)= 1, x0 = 1 Áp dụng công thức Euler: Ui+1= Ui+ hf(xi ; yi) Ta tính được U1= U0+ hf(x0 ; y0) = 1+ 0,1(12-12)= 1 U2= U1+ hf(x1 ; y1) = 1+ 0,1(12-1,12)= 0,979 U3= U2+ hf(x2 ; y2) = 1+ 0,1(0,9792-1,22)= 0,9308441 U4= U3+ hf(x3 ; y3) = 1+ 0,1(0,93084412-1,32)= 0,848491173 U5= U4+ hf(x4 ; y4) = 1+ 0,1(0,8484911732-1,42)= 0,724484901 U6= U5+ hf(x5 ; y5) = 1+ 0,1(0,7244849012-1,52)= 0,551972738 U7= U6+ hf(x6 ; y6) = 1+ 0,1(0,5519727382-1,62)= 0,326440128
- 26. ; y7) = 1+ 0,1(0,3264401282-1,72)= 0,048096444 U9= U8+ hf(x8 ; y8) = 1+ 0,1(0,0480964442-1,82)= - 0,275672228 U10= U9+ hf(; y9) = 1+ 0,1[(- 0,275672228)2-1,92) = - 0,629072711 U11= U10+ hf(x10 ; y10) = 1+ 0,1- 0,629072711)2-22) = - 0,989499463 Vậy nghiệm gần đúng cần tìm là: U11= α =- 0,989499463 Câu 25. Cho bài toán Cauchy. y / y 2x y y(0) = 1, 0 x 1. Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến ( chỉ lặp 1 lần),chọn bước h = 0,2 và so sánh kết quả với nghiệm đúng. Giải: Theo bài ra ta có 0 (0) 1; u y h 0,2. Vì xi x ih 0 , ta có bảng giá trị của x : 0 x 0,0 1 x 0,2 2 x 0,4 3 x 0,6 4 x 0,8 5 x 1,0 Theo phương pháp Euler cải tiến ( Phương pháp hình thang). (0) ( , ) i 1 i i i u u hf x u (1) ( , ) ( , ) 2 1 u ( m 1) u h i f x u f x u ( m ) . (2) 1 i i i i 1 i Từ (1) và (2) ta có ( , ) 0 0 0 1 0,2(1 0 . (0) 1 u u hf x u ) 1,2 1 ( , ) ( , ) 2 u (1) u h f x u f x u (0) 1 0 0 0 1 1 1 0,1 1 2.0 = 1,186667. 1,356585 1,2 2.0,2 1,2 1 0,2 ( , (1) ) 1,186667 0,2 1,186667 2.0,2 u u f x u . 1,186667 1 1 (1) 1 ) 0 (2 ( , ) ( , ) u u h f x u f x u 2 ) 0 (2 2 (1) 1 1 (1) 1 ) 1(2 1,348325 1,186667 0,1 1,186667 2.0 1,356585 2.0,4 1,186667 1,356585 u u f x u 1,499325 . 4 , 0 . 2 348325 , 1 2 , 0 348325 , 1 ) , ( 2 , 0 ) 1(2 2 1,348325 ) 1(2 ) 0 (3 ( , ) ( , ) ) 1(3u u h f x u f x u 2 ) 0 (3 3 ) 1(2 2 ) 1(2 1,493721 1,348325 0,1 1,348325 2.0,4 1,499325 2.0,6 1,348325 1,499325 u u f x u 1,631793 . 6 , 0 . 2 493721 , 1 2 , 0 493721 , 1 ) , ( 2 , 0 ) 1(3 3 1,493721 ) 1(3 ) 0 (4
- 27. ( , ) ( , ) u u h f x u f x u 2 ) 0 (4 4 ) 1(3 3 ) 1(3 ) 1(4 1,627884 1,493721 0,1 1,493721 2.0,6 1,631793 2.0,8 1,493721 1,631793 u u h f x u 1,756887 . 8 , 0 . 2 627884 , 1 2 , 0 627884 , 1 ) , ( . ) 1(4 4 1,627884 ) 1(4 ) 0 (5 ( , ) ( , ) u u h f x u f x u 2 ) 0 (5 5 ) 1(4 4 ) 1(4 ) 1(5 1,754236. 1,627884 0,1 1,627884 2.0,8 1,756887 2.1 1,756887 5 ( 1,627884 Vậy nghiệm gần đúng cần tính là 1) u = 1,754236 Câu 26. Cho bài toán Cauchy y/ x y . y(0)= 1. Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến với độ chính xác đến 4 chữ số lẻ thập phân trùng nhau, giá trị của y(0,1). chọn bước h = 0,05. Giải: Theo bài bước h = 0,05. f(x,y) = x + y Theo công thức Euler cải tiến ta có: ( , ) ( , ) 2 m i f x u f x u u u h ( 1) ( m ) (1) 1 i i i i 1 i 1 u (0) u hf ( x , u ) (2) i 1 i i i Từ (1) và (2) ta có: u (0) u hf ( x , u ) 1 0,05(0 1) 1,05 1 0 0 0 0 1 0,05 1,05 1,0525 u (1) u h f ( x , u ) f ( x , u ) 1 0,05 1 2 2 (0) 0 0 0 1 1 0 1 0,05 1,0525 1,05256 u (2) u h f ( x , u ) f ( x , u (1) ) 1 0,05 1 0 2 0 0 1 1 2 Ta thấy (2) 1 u - (1) 1 u = 1,05256 – 1,0525 = 0,00006 < 10-4 đạt yêu cầu chính xác, lấy gần đúng 1 u = 1,0526. Tính tiếp cho 2 u , ta có: . , 1,0526 0,05(0,05 1,0526) 1,1077. 1 1 1 ) 0 (2 u u h f x u 0,05 1,0526 0,1 1,1077 1,11036 u u h f ( x , u ) f ( x , u ) 1,0526 0,05 2 ) 0 (2 1 1 1 2 2 ) 1(2 0,05 1,0526 0,1 1,11036 1,11042 2 u (2 2 ) u h f ( x , u ) f ( x , u 1) ) 1,0526 0,05 2 1 2 1 1 2 2 Cũng như với u ta có 2 ) (1 (u = 0,00006<10-4. Ta có thể lấy y(0,1) = u(0,1) = u ) 1(2 2 u 1,1104. Câu 27. Cho bài toán Cauchy / 1 2 y y y (0) 0 Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Runge – Kutta cấp 4 trên 0;0,6. Chọn bước h= 0,2. Giải Theo bài ra, ta có 3 x b h 0, 0,6, 0,2 0,6 0 0,2 0 0 n b x h
- 28. 0 x 0 1 x 0,2 2 x 0,4 3 x 0,6 * Tính u1 với 0 0 0 x 0 u Ta có 2 k h f x u . ( , ) 0,2(1 0 ) 0,2 1 0 0 k h f x h u k . ( 0,5 ; 0,5 ) 0,2(1 0,1 ) 0,202 k h f x h u k . ( 0,5. ; 0,5. ) 0,2(1 0,101 ) 0,2020402 k h f x h u k . ( ; ) 0,2(1 2020402 ) 0,208164048 ( 2 2 ) 0 1 6 0,202707408 (0,2 2.0,202 2.0,2020402 0,208164048) 6 1 1 0 1 2 3 4 2 4 0 0 3 2 3 0 0 2 2 2 0 0 1 u u k k k k *Tính 2 u với 0,2 0,202707408 1 x 1 u Ta có: k h f x u . ( , ) 0,2(1 0,202707408 ) 0,208218058 k h f x h u k . ( 0,5 ; 0,5 ) 0,2(1 0,306816437 ) 0,218827265 k h f x h u k . ( 0,5. ; 0,5. ) 0,2(1 0,31212104 ) 0,219483908 k h f x h u k . ( ; ) 0,2(1 0,422191316 ) 0,235649101 ( 2 2 ) 0,202707408 1 6 u u k k k k 2.0,219483908 0,235649101) 0,422788992. (0,208218058 2.0,218827265 6 1 2 1 1 2 3 4 2 4 1 1 3 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 *Tính 3 u với 0,4 0,422788992 2 x 2 u Ta có: k h f x u . ( , ) 0,2(1 0,422788992 ) 0,235750106 k h f x h u k . ( 0,5 ; 0,5 ) 0,2(1 0,540664045 ) 0,258463521 k h f x h u k . ( 0,5. ; 0,5. ) 0,2(1 0,552020752 ) 0,260945382 k h f x h u k . ( ; ) 0,2(1 0,683734374 ) 0,293498538 ( 2 2 ) 0,422788992 1 6 u u k k k k 2.0,260945382 0,293498538) 0,6841334. (0,235750106 2.0,258463521 6 1 3 2 1 2 3 4 2 4 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 *Tính 4 u với 0,6 0,6841334 3 x 3 u
- 29. x u . ( , ) 0,2(1 0,6841334 ) 0,293607701 k h f x h u k . ( 0,5 ; 0,5 ) 0,2(1 0,83093725 ) 0,338091342 k h f x h u k . ( 0,5. ; 0,5. ) 0,2(1 0,853179071 ) 0,345582905 k h f x h u k . ( ; ) 0,2(1 1,029716305 ) 0,412063133 ( 2 2 ) 0,6841334 1 6 u u k k k k 2.0,345582905 0,412063133) 1,029636621 (0,293607701 2.0,338091342 6 1 4 3 1 2 3 4 2 4 3 3 3 2 3 3 3 2 2 2 3 3 1 2 1 3 3 Bài 28: Dùng phương pháp trung điểm giải bài toán sau: ݕᇱ = ݕ − ܿݏݔ ݕ Với 0 ≤ ݔ ≤ 1; y(0) =1, chọn bước h =0,2. Kết quả làm tròn 6 chữ số lẻ thập phân. Bài giải Ta có: U0= y(0) =1 Áp dụng phương pháp trung điểm ta tính được: + ܷഥ1= U0 + ଶ (U0- ௦௫బ బ ) = 1 U1= U0 + h(ܷഥ1- ୡ୭ୱ (௫బା,ହ) ഥ భ )) = 1,000999 + ܷഥ2= U1 + ଶ (U1- ௦௫భ భ ) = 1,003088 U2= U1 + h(ܷഥ2- ୡ୭ୱ (௫భା,ହ) ഥ మ )) = 1,010495 + ܷഥ3= U2 + ଶ (U2- ௦௫మ మ ) = 1,019277 U3= U2 + h(ܷഥ3- ୡ୭ୱ (௫మା,ହ) ഥ య )) = 1,037935 + ܷഥ4= U3 + ଶ (U3- ௦௫య య ) = 1,057977 U4= U3 + h(ܷഥ4- ୡ୭ୱ (௫యା,ହ) ഥ ర )) = 1,091733 + ܷഥ5= U4 + ଶ (U4- ௦௫ర ర ) = 1,126575 U5= U4 + h(ܷഥ5- ୡ୭ୱ (௫రା,ହ) ഥ ఱ )) = 1,177547 + ܷഥ6= U5 + ଶ (U5- ௦௫ఱ ఱ ) = 1,229245 U6= U5 + h(ܷഥ6- ୡ୭ୱ (௫ఱା,ହ) ഥ ల )) = 1,2982670 Bài 29: Dùng phương pháp trung điểm giải bài toán sau: ݕᇱ = ݕ − ݁௫ܿݏݔ ݕ Với 0,3 ≤ ݔ ≤ 0,5; y(0,3) =0,943747, chọn bước h =0,1. Kết quả làm tròn 6 chữ số lẻ thập phân.
- 30. có: U0= y(0) =0,943747 Áp dụng phương pháp trung điểm ta tính được: +) ܷഥଵ = ܷ + ଶ (ܷ − ೣబ.௦௫బ బ ) = 0,926822832 ܷଵ = ܷ + ℎ(ܷഥଵ − (ೣబశబ,ఱ).௦(௫బା,ହ) ഥ భ ) = 0,891524 ଶ (ܷଵ − ೣభ.௦௫భ +) ܷഥଶ = ܷଵ + భ ) = 0,859038 ܷଶ = ܷଵ + ℎ(ܷഥଶ − (ೣభశబ,ఱ).௦(௫భା,ହ) ഥ మ ) = 0,813037 ଶ (ܷଶ − ೣమ.௦௫మ +) ܷഥଷ = ܷଶ + మ ) = 0,764708 ܷଷ = ܷଶ + ℎ(ܷഥଷ − (ೣమశబ,ఱ).ୡ୭ୱ (௫మା,ହ) ഥ య ) = 0,696278 Vậy nghiệm gần đúng cần tìm là: U3= α= 0,696278
|
