VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12. Show
 Nội dung bài viết Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu. Phương pháp. Cho đường thẳng và mặt cầu có tâm I, bán kính R. Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và đường thẳng d có phương trình. Chứng minh d luôn cắt S tại hai điểm phân biệt. Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu S đến đường thẳng d là 0. Mặt cầu S có tâm I(0; 0; 2) và bán kính R = 5. Đường thẳng d đi qua M(2; 2; 3) và có vectơ chỉ phương là u(2; 3; 2). Bước 2: So sánh d1 với d2 với bán kính R của mặt cầu: MN vuông góc với đường kính (bán kính) mặt cầu S. Vì R nên d cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt. Phương pháp đại số. Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, mặt cầu. Thế (1), (2), (3) vào phương trình S và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo t. Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì d không cắt S. Nếu phương trình (*) có một nghiệm thì d tiếp xúc S. Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thì d cắt S tại hai điểm phân biệt M, N. Chú ý: Để tìm tọa độ M, N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d cắt trục Oz tại hai điểm A, B. Tìm độ dài đoạn AB. Gọi M là giao điểm của S với trục Oz. Bài tập 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) và đường thẳng có phương trình. Phương trình mặt cầu tâm A cắt tại hai điểm B và C sao cho BC = 8 là. Gọi S là mặt cầu tâm A(0; 0; 2) và có bán kính R. Đường thẳng đi qua M(2; 2; 3) có vectơ chỉ phương u(2; 3; 2). Gọi H là trung điểm BC. Bán kính mặt cầu S là. Bài tập 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và điểm M(1; 3; 1). Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn C có tâm J. Ta có mặt cầu S có tâm I(1; 1; 2) và bán kính R = 3. Khi đó IM nằm ngoài mặt cầu. Phương trình đường thẳng MI là. Tâm J nằm trên MI nên J(1; 1; 4). Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình là và đường thẳng d có phương trình. 0 là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu S có các tiếp điểm B, C, D sao cho ABCD là tứ diện đều. Giá trị của biểu thức P là. I là tâm mặt cầu thì I(1; 2; 3). Gọi O là giao điểm của mặt phẳng (BCD) và đoạn AI nên AI vuông góc với mặt phẳng (BCD) tại O. Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD. Bài tập 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R lần lượt di động trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ O). Biết mặt phẳng (PQR) luôn tiếp xúc với mặt cầu S cố định. Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua và cắt S tại hai điểm A, B phân biệt. Diện tích lớn nhất của AOB là. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (PQR). Khi đó (PQR) luôn tiếp xúc với mặt cầu S tâm O, bán kính R, điểm M nằm trong mặt cầu S. Gọi I là trung điểm của AB, do OAB cân tại O. Suy ra diện tích của OAB lớn nhất bằng 7 đạt được khi M là trung điểm của AB. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm (I(3; - 2;0) ) và cắt trục Oy tại hai điểm A, B mà (AB = 8 ) làCâu 3660 Nhận biết Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm \(I(3; - 2;0)\) và cắt trục $Oy $ tại hai điểm $A, B$ mà \(AB = 8\) là Đáp án đúng: d Phương pháp giải Gọi $H $ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục $Oy$. Khi đó, $H$ cũng là trung điểm của $AB$. Ta có hệ thức \({R^2} = A{H^2} + H{I^2}\). Từ đó, tìm được bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$. Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và đường thẳng --- Xem chi tiết ...
Cách viết phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz là chủ đề quan trọng trong chương trình toán học 12. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về cách viết phương trình mặt cầu trong không gian cũng như các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầu, cùng tìm hiểu nhé!. Định nghĩa mặt cầu là gì? Lý thuyết phương trình mặt cầuKhái niệm mặt cầu là gì?Mặt cầu được định nghĩa khi với điểm O cố định cùng với một số thực dương R. Khi đó thì tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách O một khoảng R sẽ được gọi là mặt cầu tâm O và bán kính R. Ký hiệu: S(O;R) Các dạng phương trình mặt cầuCách viết phương trình mặt cầu trong không gian OxyzTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu I(a, b, c) bán kính R. Khi đó phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R có dạng là: \((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}\) Hoặc: \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2ax-2cz+d=0\) với \(a^{2}+b^{2}+c^{2}> d\) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầuCho mặt cầu (S): \((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}\) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P):
Điểm H được gọi là tiếp điểm. Mặt phẳng (P) được gọi là tiếp diện. Xem thêm >>>: Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầuCho mặt cầu (S): \((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}\) có tâm I, bán kính R và đường thẳng \(\Delta\) Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến đường thẳng \(\Delta\):
Xem thêm >>> Viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz Các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầuDạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kínhViết phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I (x_{0}, y_{0}, z_{0})\) và bán kính R. Thay tọa độ I và bán kính R vào phương trình, ta có: (S): \((x – x_{0})^{2} + (y – y_{0})^{2} + (z – z_{0})^{2} = R^{2}\) Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; -5; -2) và bán kính R = 5 Cách giải Thay tọa độ của tâm I và bán kính R ta có phương trình mặt cầu (S): \((x – 3)^{2} + (y – (-5))^{2} + (z – (-2))^{2} = 5^{2} \Leftrightarrow (x – 3)^{2} + (y + 5)^{2} + (z + 2)^{2} = 25\) Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB cho trước
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(4; −3; 7) và B(2; 1; 3) Cách giải Gọi I là trung điểm của AB, thì mặt cầu (S) có tâm I và bán kính. \(r = \frac{AB}{2} = IA = IB\) Ta có: Vì I là trung điểm của AB nên I có tọa độ \(I(\frac{4+2}{2};\frac{-3+1}{2};\frac{7+3}{2}) \Rightarrow I(3; -1; 5)\) \(\Rightarrow \vec{IA} = (1; -2; 2)\) \(\Rightarrow R = \left | \vec{IA} \right | = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2} + 2^{2}} = 3\) Thay tọa độ của tâm I và bán kính R ta có phương trình mặt cầu (S): \((x – 3)^{2} + (y – (-1))^{2} + (z – 5)^{2} = 3^{2} \Leftrightarrow (x – 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z – 5)^{2} = 9\) Dạng 3: Viết mặt cầu (S) qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) cho trước.
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A (2;0;1), B (1;0;0), C (1;1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Cách giải Gọi phương trình tổng quát (S): \(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a^{2} + b^{2} + c^{2} > d\) (1) Mặt cầu (S) có tâm \(I (-a;-b;-c)\) Từ đó ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 4 + 1 + 4a + 2c + d = 0 & \\ 1 + 2c + d = 0 & \\ 3 + 2a + 2b + 2c + d = 0 & \\ -a -b -c -2 = 0 & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a + 2c + d = -5 & \\ 2c + d = -1 & \\ 2a + 2b + 2c + d = -3 & \\ a + b +b c = -2 & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = -1 & \\ b = 0 & \\ c = -1 & \\ d = 1 & \end{matrix}\right.\) Vậy mặt cầu (S) có phương trình: \(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1 = 0\) Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về viết phương trình mặt cầu trong không gian cũng như các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu. Cảm ơn các bạn đã đón đọc. Nếu có góp ý và thắc mắc hãy bình luận bên dưới để chúng mình giải đáp nhé <3 Xem chi tiết qua bài giảng bên dưới:
Xem thêm: Please follow and like us:
|
