Với Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.  Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất;bậc hai của một hàm số lượng giác trên khoảng; đoạn ta làm như sau: + Bước 1. Giải phương trình bậc nhất; bậc hai của một hàm số lương giác( chú ý có thể phải sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổ tổng thành tích; tích thành tổng để giải phương trình ) + Bước 2: Xét họ nghiệm trên khoảng (a; b) để tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn điều kiện. Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình lượng giác 2sin2x – 3sinx +1= 0 thõa điều kiện 0 ≤x≤π/2 là: A. B. C. D. Lời giải Chọn C Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình sin2 x- sinx= 0 trên khoảng (0; 2π) là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Ta có sin2 x- sinx= 0 + với họ nghiệm x= kπ. Ta có: 0 < kπ < 2π ⇒ 0 < k < 2 Mà k nguyên nên k= 1 + Với họ nghiệm x= π/2+k2π Ta có; 0 < π/2+ k2π < 2π ⇒ - π/2 < k2π < 3π/2 ⇒ (- 1)/4 < k < 3/4 Mà k nguyên nên k= 0 ⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) Chọn B. Ví dụ 3. Cho phương trình cos(x- 1800) + 2sin(900- x) = 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 3600) A. 0 B.1 C. 2 D .3 Lời giải Ta có : cos(x- 1800) = - cosx và sin(900- x)= cosx Do đó; cos( x- 1800) + 2sin(900– x) ⇒ - cosx +2cosx = 1 ⇒ cosx = 1 ⇒ x= k.3600 Với x∈ ( 900; 3600) ta có: 900 < x < 3600 ⇒ 900 < k.3600 < 3600 ⇒ 1/4 < k < 1 ⇒ Không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn Chọn A. Ví dụ 4. Cho phương trình cosx – sin2x =0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 3600] A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 Lời giải Ta có:cosx – sin2x= 0 ⇒ cosx= sin 2x ⇒ cosx= cos(900-2x) + Ta tìm các nghiệm của phương trình trên đoạn [00; 3600] *Với họ nghiệm: x= 300+k.1200 ta có: 00 ≤ 300+k.1200 ≤ 3600 ⇒ -300 ≤ k.1200 ≤ 3300 (-1)/4 ≤ k ≤ 11/4 Mà k nguyên nên k = 0;1 hoặc 2. Khi đó nghiệm của phương trình là: 300; 1500; 2700 * Với họ nghiệm x= 900-k.3600 ta có: 00 ≤ 900-k.3600 ≤ 3600 ⇒ - 900 ≤ -k.3600 ≤ 2700 ⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 1/4 Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó nghiệm phương trình là x= 900 ⇒ Phương trình đã cho có bốn nghiệm Chọn A. Ví dụ 5. Tìm các nghiệm của phương trình - 2tan2 x+ 4tanx – 2= 0 trên khoảng (900; 2700) A. 1350 B. 1650 C. 2250 D. Tất cả sai Lời giải Ta có: -2tan2x + 4tanx – 2= 0 ⇒ - 2( tanx- 1)2 = 0 ⇒ tan x= 1 ⇒ x= 450+ k.1800 Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 2700) Ta có: 900 < x < 2700 ⇒ 900 < 450+ k.1800 < 2700 ⇒ 450 < k.1800 < 2250 ⇒ 1/4 < k < 5/4 Mà k nguyên nên k = 1. Khi đó: nghiệm của phương trình là: x= 2250 Chọn C. Ví dụ 6. Cho phương trình cos2 x + sinx +1= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 7200] A. 0 B. 3 C. 4 D. 2 Lời giải Ta có: cos0 x+ sinx +1= 0 ⇒ 1-sin0 x + sinx +1 = 0 ⇒ - sin0 x+ sinx + 2= 0 ⇒ sinx= - 1 ⇒ x= 2700+ k.3600 + Ta có: 00 ≤ 2700+k.3600 ≤ 7200 ⇒ -2700 ≤ k.3600 ≤ 4500 ⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 5/4 Mà k nguyên nên k= 0 hoặc k=1. ⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn [00; 7200] Chọn D Ví dụ 7. Cho phương trình sin2 2x +2 cos2 x = 0. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng (00; 1800). A.900 B. 1800 C. 1650 D. 2700 Lời giải. Ta có: sin2 2x + 2cos2 x= 0 ⇒ 1- cos2 2x + 1+ cos2x= 0 ⇒ - cos2 2x + cos2x + 2= 0 Với cos2x= -1 ⇒ 2x=1800+ k.3600 ⇒ x= 900 + k.1800 Ta xét các nghiệm của phương trình trên (0; 1800) ⇒ 00 < 900+ k.1800 < 1800 ⇒ -900 < k.1800 < 900 ⇒ (- 1)/2 < k < 1/2 K nguyên nên k= 0. Khi đó;x= 900 Chọn A. Ví dụ 8. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos4 x- sin4 x= 0 trên khoảng (0;2π) A. 15π/4 B. 13π/4 C. 5π/2 D. Đáp án khác Lời giaỉ Ta có; cos4 x- sin4 x = 0 ⇒ ( cos2 x – sin2 x) .(cos2 x+ sin2 x) = 0 ⇒ cos2x. 1= 0 ⇒ cos2x= 0 ⇒ 2x= π/2+kπ ⇒ x= π/4+ kπ/2 Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng(0; 2π) Ta có: 0 < x < 2π nên 0 < π/4+ kπ/2 < 2π ⇒ π/4 < kπ/2 < 7π/4 ⇒ 1/2 < k < 7/2 Mà k nguyên nên k∈{1;2;3} ⇒ Ba nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0;2 π) là: 3π/4; 5π/4 và 7π/4 ⇒ Tổng các nghiệm là : 15π/4 Chọn A. Câu 1:Cho phương trình A. 3 B.4 C. 5 D. 6 Hiển thị lời giảiĐiều kiện : cosx ≠ 1 ⇒ x ≠ k2π Với điều kiện trên phương trình trên trở thành: +Trường hợp 1. Với sinx=0 ⇒ x =kπ Kết hợp với điều kiện suy ra: x=(2k+1).π Vì 0 ≤ x ≤ 4π nên 0 ≤ ( 2k+1)π ≤ 4π ⇒ 0 ≤ 2k+1 ≤ 4 ⇒ -1/2 ≤ k ≤ 3/2 Mà k nguyên nên k = 0 hoặc 1. ⇒ Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 4π] + Trường hợp 2: Với sinx= - 1 ⇒ x= 3π/2+k2π ( thỏa mãn điều kiện ) . Mà k nguyên nên k= 0 hoặc k= 1. Kết hợp hai trường hợp; suy ra phương trình có tất cả bốn nghiệm trên đoạn [0; 4π] Chọn B. Câu 2:Cho phương trình – 2sin2x – 6cosx+ 6 = 0 . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hiển thị lời giảiTa có: - 2sin2x - 6cosx+ 6= 0 ⇒ ( 2 -2sin2x ) – 6cosx+ 4=0 ⇒ 2cos2 x- 6cosx + 4= 0 Với cosx= 1 ⇒ x = k2π Ta có: x∈( 2π;6π) nên 2π < k2π < 6π ⇒ 1 < k < 3 Mà k nguyên nên k= 1. Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm trên khoảng ( 2π;6π). Chọn A. Câu 3:Cho phương trình: 2cos2 x- √3cosx=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0;2π) ? A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 Hiển thị lời giảiTa có: 2cos2x- √3 cosx=0 ⇒ cosx.( 2cosx- √3)=0 + Xét cosx = 0 ⇒ x=k2π Mà 0 < x < 2π nên 0 < k2π < 2π ⇒ 0 < k < 1 Mà k nguyên nên không có giá trị nào của k thỏa mãn. Với mỗi giá trị của k cho ta một nghiệm của phương trình trên khoảng đang xét. ⇒ Phương trình có tất cả 2 nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) . Chọn C. Câu 4:Cho phương trình: A. 3 B.5 C.6 D.4 Hiển thị lời giảiMà k nguyên nên k∈{2;3;4;5} ⇒ Phương trình có 4 nghiệm trên khoảng đang xét. Chọn D. Câu 5:Cho phương trình : tan4 x - 3tan2 x= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 10π) A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 Hiển thị lời giảiĐiều kiện:cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ Ta có: tan4x - 3tan2 x=0 ⇒ tan2 x. (tan2 x- 3) = 0 + Xét họ nghiệm x= kπ ⇒ 0 < kπ < 10 π ⇒ 0 < k < 10 Mà k nguyên nên k∈{1;2;3;..;9} có 9 giá trị của k thỏa mãn. + Xét họ nghiệm: x= π/3+kπ ⇒ 0 < π/3+ kπ < 10 π ⇒ (- 1)/3 < k < 29/3 Mà k nguyên nên k∈{0;1;2;…;9} có 10 giá trị của k thỏa mãn. + Xét họ nghiệm: x= (-π)/3+kπ ⇒ 0 < -π/3+ kπ < 10 π ⇒ 1/3 < k < 31/3 Mà k nguyên nên k∈{1;2;…;9;10} có 10 giá trị của k thỏa mãn. Kết hợp 3 trường hợp suy ra phương trình có tất cả: 9+10+ 10= 29 nghiệm trên khoảng ( 0;10π) Chọn C. Câu 6:Cho phương trình: sin2 x+ 1- sin2 2x= 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [π/2;2π] A. 5 B.3 C.4 D. 6 Hiển thị lời giảiTa có; sin2 x+ 1- sin22x= 1 ⇒ 2sin2 x + 2. (1- sin22x)- 2 = 0 ⇒ 1- cos2x + 2. cos22x - 2 =0 ⇒ 2cos22x – cos2x - 1 = 0 + Ta có: π/2 ≤ x ≤ 2π nên: π/2 ≤ kπ ≤ 2π ⇒ 1/2 ≤ k ≤ 2 mà k nguyên nên k= 1 hoặc 2. + Tương tự: π/2 ≤ π/3+ kπ ≤ 2π ⇒ 1/6 ≤ k ≤ 5/3 mà k nguyên nên k= 1. + π/2 ≤ (-π)/3+ kπ ≤ 2π ⇒ 5/6 ≤ k ≤ 7/3 mà k nguyên nên k= 1 hoặc 2 . Từ ba trường hợp trên suy ra phương trình có 5 nghiệm thuộc đoạn [π/2;2π] Chọn A. Câu 7:Cho phương trình 3cot(x+ π/3)=3√3. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [2π;8π]? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Hiển thị lời giảiMà k nguyên nên k∈{ 3; 4;..; 8} ⇒ Phương trình có 6 nghiệm thuộc đoạn [2π;8π]. Chọn B. Câu 8:Cho phương trình: A. 3 B.5 C. 4 D.6 Hiển thị lời giảiĐiều kiện: ⇒ tanx + 2 tanx = 3cos22x+ 3sin22x (vì tanx. cotx= 1) ⇒ 3tanx = 3 ( vì cos2 2x + sin22x = 1) ⇒ tanx= 1 ⇒ x= π/4+kπ ( thỏa mãn điều kiện ) . ⇒ phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng (-2π; 2π). Chọn C. |
