Tìm giá trị nhỏ nhất của số phức

Phương pháp giải bài toán tìm min, max, số phức sau đây hi vọng sẽ giúp ích cho bạn. Min Max số phức là một dạng toán khó trong các bài toán thi THPT Quốc gia. Vậy số phức là gì? Bài toán tìm gtln gtnn của số phức? Cách tìm môđun nhỏ nhất của số phức? Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất Casio? Trong nội dung bài viết dưới đây, PUD.EDU.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề  trên, cùng tìm hiểu nhé!.

Biểu thức dạng ( a+bi ) với (a;b in mathbb{R}) và ( i^2=-1 ) được gọi là một số phức với ( a ) là phần thực và ( b ) là phần ảo.

Mô đun của số phức ( z=a+bi ) là số thực không âm (sqrt{a^2+b^2}) và được kí hiệu là ( |z| )

Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:

Để giải quyết các bài toán tìm GTLN, GTNN của số phức (min max số phức), ta cần sử dụng một số Bất đẳng thức quan trọng sau đây :

(x+y geq 2sqrt{xy }) với ( x;y geq 0 )

Dấu ( “=” ) xảy ra khi ( x=y geq 0 )

((a^2+b^2)(m^2+n^2)geq (am+bn)^2)

Dấu ( “=” ) xảy ra khi (frac{a}{m}=frac{b}{n})

(||z_1|-|z_2|| leq |z_1 pm z_2| leq |z_1|+|z_2|)

Với những dạng bài min max số phức này, từ điều kiện đã cho, chúng ta sử dụng các Bất đẳng thức nêu trên (thường sử dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối) để giải quyết

Ví dụ:

Cho số phức ( z ) thỏa mãn : ( |z-2+2i|=1 ). Tìm giá trị lớn nhất của ( |z| )

Cách giải:

Áp dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối, ta có :

(1=|z-2+2i|geq |z|-|2i-2| Leftrightarrow |z| leq 1+|2i-2| = 1+2sqrt{2})

Để giải dạng toán min max số phức của một biểu thức số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, chúng ta giải theo các bước sau :

• Bước 1: Gọi số phức ( z=a+bi ) với (a;b in mathbb{R})
• Bước 2: Thay vào biểu thức đã cho và tìm mối quan hệ giữa ( a;b )
• Bước 3: Biến đổi biểu thức cần tìm GTLN, GTNN theo ( a;b )
• Bước 4: Tìm GTLN, GTNN dựa vào quan hệ ( a;b )

Ví dụ:

Cho hai số phức ( z_1;z_2 ) thỏa mãn ( z_1+z_2|=3 ) và ( |z_1-z_2| = 1 ). Tìm GTLN của biểu thức ( P=|z_1| + |z_2| )

Cách giải:

Đặt ( z_1=a_1+b_1i ; z_2=a_2+b_2i ). Thay vào ta được :

(left{begin{matrix} |(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i|=3 |(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i|=1 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} (a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2=9 (a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2=1 end{matrix}right.)

Khai triển, cộng hai phương trình ta được :

( a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2=5 )

Ta có:

(|z_1|+|z_2| = sqrt{a_1^2+b_1^2}+sqrt{a_2^2+b_2^2})

Áp dụng Bất đẳng thức ( Bunhiacopxki ) ta có :

(P^2 = (1.sqrt{a_1^2+b_1^2}+1.sqrt{a_2^2+b_2^2})^2leq (1+1).(a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2)=10)

(Rightarrow P leq sqrt{10})

Trong các bài toán trắc nghiệm, để tìm min max số phức, ta sử dụng máy tính Casio để giải theo các bước sau :

• Bước 1: Gọi số phức ( z=x+yi ) với (x;y in mathbb{R})
• Bước 2: Thay vào điều kiện ban đầu, rút ( y ) theo ( x ). Tìm khoảng xác định của ( x )
• Bước 3: Thay vào biểu thức cần tính GTLN, GTNN rồi đưa biểu thức về dạng hàm số của ( x )
• Bước 4: Sử dụng tính năng TABLE của máy tính để tìm GTLN, GTNN của hàm số.

Ví dụ:

Cho số phức ( z ) thỏa mãn ( |z| =5 ). Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : ( P=3|z-2|+|z-3i| )

Cách giải

Đặt ( z=x+yi )

Vì (|z|=5 Rightarrow a^2+b^2=25 Rightarrow left{begin{matrix} b=sqrt{25-x^2} ain [-5;5] end{matrix}right.)

Thay vào ta được:

(P=3|z-2|+|z-3i|=3sqrt{(x-2)^2+y^2}+sqrt{x^2+(y-3)^2})

(=3sqrt{(x-2)^2+25-x^2}+sqrt{x^2+(sqrt{25-x^2}-3)^2})

Vậy ta cần tìm GTLN,GTNN của hàm số (f(x)=3sqrt{(x-2)^2+25-x^2}+sqrt{x^2+(sqrt{25-x^2}-3)^2}) với (x in [-5;5])

Ta vào tính năng TABLE của máy tính bằng cách bấm (Mode rightarrow 7)

Ta nhập hàm số trên vào máy tính:

(Start ) ta nhập ( -5 )

( End ) ta nhập ( 5 )

( Step ) ta nhập ( 0,5 )

Ta thấy hàm số đạt GTLN là ( 26.83 = 21+sqrt{34} ) khi ( x=-5 )

Ta thấy hàm số đạt GTNN là ( 14.83 = 9+sqrt{34} ) khi ( x=5 )

***Chú ý: Chúng ta làm tròn kết quả ở máy tính bằng cách thử từng đáp án trong đề thi xem kết quả giống với đáp án nào.

Đây là những bài toán chúng ta chuyển từ số phức sang biểu diễn hình học rồi tìm cực trị của các biểu thức hình học đó.Nhắc lại về một số biểu diễn hình học của số phức:

Trên mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) , mỗi số phức ( z=a+bi ) với (a;b inmathbb{R}) được biểu diễn bởi điểm ( M )  có tọa độ là ( (a;b) )

Như vậy ta có một số tính chất:

• (OM = sqrt{a^2+b^2} =|z|)
• (M_1M_2=sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2}=|z_1-z_2|)

Tùy thuộc bài toán thì chúng ta có thể chuyển về phương trình đường thẳng, phương trình Elip hay đường tròn. Và từ đó, ta có một số công thức tính nhanh sau đây, áp dụng để giải các bài tập trắc nghiệm :

Bài toán: Cho số phức ( z ) thỏa mãn ( |z-z_1|+|z-z_2| = 2a ). Tìm GTLN, GTNN của biểu thức ( P= |z-z_0| ) với ( z_0;z_1;z_2 ) cho trước

Ta có một số kết quả sau:

Đặt ( |z_1-z_2|=2c ; b=sqrt{a^2-c^2} ) thì:

Ví dụ:

Cho số phức ( z ) thỏa mãn ( |z-1+3i| +|z+2-i| =8 ). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 🙁 P=|2z+1+2i| )

Cách giải:

Ta có:

(frac{P}{2}=|z+frac{1}{2}+i|)

Mặt khác (frac{1}{2}+i=frac{(-1+3i)+(2-i)}{2})

Vậy trong bài toán này (z_0=frac{z_1+z_2}{2})

(c=frac{|z_1-z_2|}{2}=frac{5}{2})

(a=4Rightarrow b=sqrt{a^2-c^2}=frac{sqrt{39}}{2})

Áp dụng công thức trên ta được:

(P_{max}=2a=8)

(P_{min}=2b=sqrt{39})

Bài viết trên đây của PUD.EDU.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải bài toán tìm Min Max số phức. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề Min Max số phức. Nếu có bất cứ câu hỏi, thắc mắc hay đóng góp gì liên quan đến chủ đề Min Max số phức, đừng quên để lại nhận xét bên dưới nhé. Nếu thấy hay thì share nha bạn! Chúc bạn luôn học tốt!.

• Xem thêm: Định nghĩa đường trung trực của tam giác, định lý 3 đường trung trực trong tam giác