BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐA – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC
1 lim 0 n n ; 1 lim 0 ( ) n k k n lim 0 ( 1 ) n n q q ; lim n C C
lim (un + vn) = a + b lim (un – vn) = a – b lim (un) = a lim n n u a v b (nếu b 0)
thì a 0 và lim n u a
thì lim un = 0
lim n u a
S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + ... = 1 1 u q q 1
lim n lim ( ) k n k lim ( 1) n q q
lim n u thì 1 lim 0 n u
n n u v = 0
thì lim n n u v = . 0 . 0 n n neáu a v neáu a v
thì lim(un) = 0 0 neáu a neáu a
định: 0 0 , , – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: Để chứng minh lim un 0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho un a n na . Để chứng minh lim un l ta chứng minh lim( un l ) 0 . Để chứng minh lim un ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên M n sao cho u n M n nM . Để chứng minh lim un ta chứng minh lim( un ) . Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
lim u n , thì lim un . B. Nếu lim un , thì lim un .
lim un 0 , thì lim un 0 . D. Nếu lim un a , thì lim un a . Câu 2. Giá trị của 1 lim n 1 bằng:
Câu 3. Giá trị của 1 lim k n ( k *)bằng:
Câu 4. Giá trị của 2 sin lim 2 n n bằng:
Câu 5. Giá trị của lim(2 n 1) bằng:
Câu 6. Giá trị của 2 1 lim n n bằng:
Câu 7. Giá trị của 2 lim n 1 bằng:
Câu 8. Giá trị của 2 cos sin lim 1 n n n bằng:
Câu 9. Giá trị của 1 lim 2 n n bằng:
Câu 10. Giá trị của 3 2 3 lim n n n bằng:
Câu 11. Giá trị của 2 lim 1 n n bằng:
Câu 12. Giá trị của 2 1 lim 2 n A n bằng:
Câu 13. Giá trị của 2 2 3 lim 1 n B n bằng:
Câu 14. Giá trị của 2 1 lim 1 n C n bằng:
A. 1
1 2 .C. 0. D. 1. Câu 2. Kết quả đúng của 2 cos 2 lim 5 1 n n n là:
1 . Câu 3. Giá trị của. 2 1 lim 1 3 n A n bằng:
2 3
Câu 4. Giá trị của. 2 2 4 3 1 lim (3 1) n n B n bằng:
4 9 D. 1 Câu 5. Kết quả đúng của 2 4 2 1 lim 3 2 n n n là A. 3 3 . B. 2 3 . C. 1 2 . D. 1 Câu 6. Giới hạn dãy số un với 4 3 4 5 n n n u n là:
3
Câu 7. Chọn kết quả đúng của 3 2 5 lim 3 5 n n n :
2 5 .C. . D. . Câu 8. Giá trị của 2 2 2 3 1 lim 3 2 n n A n n bằng:
2 3 D. 1 Câu 9. Giá trị của 2 2 2 lim 3 1 n n B n n bằng:
1 1 3 Câu 10. Giá trị của 2 4 9 17 2 1 2 lim 1 n n C n bằng:
Câu 11. Giá trị của 2 3 3 4 4 1 3 2 lim 2 2 n n D n n n bằng:
3 4 1 3 2 1 D. 1 Câu 12. Giá trị của 4 3 4 3 1 lim 2 3 1 n n C n n n bằng:
Câu 13. Giá trị của. 7 3 2 5 ( 2) (2 1) lim ( 2) n n F n bằng:
Câu 14. Giá trị của. 3 2 1 lim (2 1) n C n n bằng:
1 4 D. 1 Câu 15. Giá trị của. 3 2 4 3 3 2 lim 4 1 n n D n n bằng:
Câu 16. Giá trị của. 3 2 1 lim 2 n n E n bằng:
Câu 17. Giá trị của. 4 4 3 3 2 1 2 lim 3 n n n F n n n bằng:
3 3 3 1 D. 1 Câu 18. Cho dãy số n u với 4 2 2 2 1 1 n n u n n n . Chọn kết quả đúng của lim un là:
Câu 19. 4 2 10 lim n n 1 bằng :
Câu 20. Tính giới hạn: 1 4 lim 1 n n n
1 Câu 21. Tính giới hạn: ####### 2 1 3 5 .... 2 1 lim 3 4 n n
1
2
1 1 b a D. 1 Câu 33. Tính giới hạn của dãy số 1 1 1 0 1 1 1 0 . ... lim . ... k k k k p p p p a n a n a n a A b n b n b n b với a bk p 0 . :
Câu 34. 2 3 lim sin 2 5 n n n bằng:
Câu 35. Giá trị của. 2 M lim n 6 n n bằng:
Câu 36. Giá trị của. 2 H lim n n 1 n bằng:
1 2 D. 1 Câu 37. Giá trị của 2 B lim 2 n 1 n bằng:
Bài 40. Giá trị của 2 K lim n n 1 n bằng:
1 2 D. 1 Câu 38. Giá trị đúng của 2 2 lim n 1 3 n 2 là:
Câu 39. Giá trị của 2 A lim n 6 n n bằng:
Câu 40. Giá trị của 3 3 2 B lim n 9 n n bằng:
Câu 41. Giá trị của 2 3 3 2 D lim n 2 n n 2 n bằng:
1 3 D. 1 Câu 42. Giá trị của. 3 2 3 M lim 1 n 8 n 2 n bằng: A. 1 12 B. C. 0 D. 1 Câu 43. Giá trị của. 2 3 3 N lim 4 n 1 8 n n bằng:
Câu 44. Giá trị của. 3 3 2 2 K lim n n 1 3 4 n n 1 5 n bằng:
5 12 D. 1 Câu 45. Giá trị của. 3 3 2 N lim n 3 n 1 n bằng:
Câu 46. Giá trị đúng của lim 1 1 n n n là:
Câu 47. Giá trị của. 3 3 2 H lim n 8 n n 4 n 3 bằng:
2 3 D. 1 Câu 48. Giá trị của 2 A lim n 2 n 2 n bằng:
Câu 49. 5 5 2 lim 200 3 n 2 n bằng :
Câu 50. Giá trị của. 3 3 2 sin 2 1 lim 1 n n A n bằng:
Câu 51. Giá trị của. n 3 ! lim 2 n B n n bằng:
Câu 52. Giá trị của. 2 2 2 1 lim ( 3 2 3 1) n D n n n bằng:
2 3 D. 1 Câu 53. Giá trị của. 2 E lim( n n 1 2 )n bằng:
Câu 54. Giá trị của. F lim n 1 n bằng:
Câu 55. Giá trị của. 2 2 lim( 1 1) k p H n n bằng:
Câu 56. Tính giới hạn của dãy số 1 1 1 ... 2 1 2 3 2 2 3 ( 1) 1 u n n n n n :
Câu 57. Tính giới hạn của dãy số 3 3 3 3 ( 1) 1 2 ... 3 2 n n n u n n :
1 9 D. 1 Câu 68. Cho dãy số ( u n) được xác định bởi: 0 1 2011 1 n n n u u u u . Tìm 3 lim un n .
Câu 69. Cho dãy x 0 xác định như sau: 1 1 ( ) x f x x . Tìm 0; .
Câu 70. Tìm lim un biết 2 . 1 3 5 ... (2 1) 2 1 n n n u n
1 2 D. 1 Câu 71. Tìm lim un biết 3 2 2 1 khi 1 ( ) 1 3 2 khi 1 x x x f x x m x
3 6 2 Câu 72. Tìm lim un biết 2 1 1 khi 0 ( ) 2 3 1 khi 0 x x f x x x m x
Câu 73. Tìm lim un biết 2 2 4 3 khi 2 ( ) 1 khi 2 2 3 2 x x f x x x x mx m trong đó x 1.
1 3 D. 1 Câu 74. Tìm lim un biết 2 1 1 n n k u n k
Câu 75. Tìm lim un biết dau can 2 2... 2 n n u
Câu 76. Gọi g x( ) 0, x 2 là dãy số xác định bởi . Tìm 2 2 lim ( ) lim 2 4 3 3 x x f x x .
4 3 D. 1 Câu 77. Cho dãy số 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 3 0 2 4 2 A x x x x x x x x được xác định như sau x 1 x 2. Đặt 3 2 x . Tìm 3 x 2 x 3 3 2 x 4 0 .
1 2 D. 1 Câu 78. Cho a b, , ( ,a b ) 1; n ab 1, ab2,... å . Kí hiệu n r là số cặp số ( , )u v å å sao cho n au bv . Tìm 1 lim n n r n ab .
1 ab D. ab 1 Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi : 1 1 1 2 1 , 1 2 n n u u n u . Tìm kết quả đúng của lim un .
1 2 Câu 80. Tìm giá trị đúng của 1 1 1 1 2 1 ... ....... 2 4 8 2 n S .
1 Câu 81. Tính giới hạn: 1 1 1 lim .... 1 2 1 n n
3
giới hạn. Câu 82. Tính giới hạn: 1 1 1 lim .... 1 3 2 1 n n
2
Câu 83. Tính giới hạn: 1 1 1 lim .... 1 2 2 n n A. 3
2 Câu 84. Tính giới hạn: 1 1 1 lim ... 1 2 ( 3) n n . A. 11
3 Để chứng minh ta chứng minh với mọi số lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên sao cho. Để chứng minh ta chứng minh. Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Hướng dẫn giải: Chọn C. Theo nội dung định lý. Câu 2. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn A. Với nhỏ tùy ý, ta chọn ta có nên có. Câu 3. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn A. Với nhỏ tùy ý, ta chọn ta có nên có. Câu 4. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn A. Với nhỏ tùy ý, ta chọn ta có nên có . Câu 5. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn A. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn Ta có:. lim un M 0 M n n M u M n n lim un lim( un) lim n u lim un lim n u lim u n lim 0 n u lim un 0 lim n u a lim un a 1 lim n 1 a 0 1 na 1 a 1 1 1 1 a a a n n n n 1 lim 0 1 n 1 lim k n ( k *) a 0 1 na k a 1 1 a k k a a n n n n 1 lim 0 k n 2 sin lim 2 n n a 0 1 na 2 a 2 sin 1 1 2 2 2 a a n a n n n n n 2 sin lim 0 2 n n lim(2 n1) 1 1 2 M M n 2 n 1 2 nM 1 M n nM lim(2 n1) Câu 6. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn B. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn thỏa . Ta có: Vậy. Câu 7. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn C. Với mọi nhỏ tùy ý, ta chọn Suy ra. Câu 8. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có mà Câu 9. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn C. Với mọi số thực nhỏ tùy ý, ta chọn Ta có:. Câu 10. Giá trị của bằng:
2 1 lim n n 1 M n 2 1 M M n M n 2 4 2 M M M n 2 2 1 1 lim M n n M n n n n 2 1 lim n n 2 lim n 1 1 a 0 2 1 1 n a a 2 2 lim 0 1 1 a n n a n n 2 cos sin lim 1 n n n 1 2 2 cos sin 2 n n n n 2 2 1 cos sin lim 0 lim 0 1 n n n n 1 lim 2 n n 1 a 0 2 1 1 1 n a a 1 1 1 lim 0 2 1 2 a n n a n n n n n 3 2 3 lim n n n 1 Câu 14. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn D. Với số thực nhỏ tùy ý, ta chọn Ta có: Vậy. Câu 15. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 16. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 17. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 18. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 19. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi là số tự nhiên thỏa:. Khi đó với mọi Ta có: Mà. Từ đó suy ra:. 2 1 lim 1 n C n 1 a 0 1 na 1 a 2 1 2 1 1 1 1 1 1 a a n n a n n n n n C 1 2 lim 2 n n A n 1 2 1 2 2 sin 3 lim n n n B n 31 2 1 lim 2 7 C n n 1 2 4 1 lim 3 2 n D n n lim 0 ! n a n 1 m m 1 a n m 1
m n m n a a a a a a a a n m m n m m lim 0 1 n m a m lim 0 ! n a n Câu 20. Giá trị của với bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn D. Nếu thì ta có đpcm Giả sử. Khi đó: Suy ra: nên Với thì. Tóm lại ta luôn có: với. DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. Khi tìm ta thường chia cả tử và mẫu cho , trong đó là bậc lớn nhất của tử và mẫu. Khi tìm trong đó ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.
Dùng định lí kẹp: Nếu ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. Câu 1. Cho dãy số với và. Chọn giá trị đúng của trong các số sau: A.. B. .C.. D.. Hướng dẫn giải: Chọn C. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học ta có Nên ta có : lim n a a 0 1 a 1 a 1 1 1 1 n n n a a n a 0 1 0 n a a n lim 1 n a 0 a 1 1 1 1 lim 1 lim 1 n n a a a lim 1 n a a 0 ( ) lim ( ) f n g n k n k lim ( ) ( ) k f n mg n lim f n( ) lim g n( ) 3 3 3 2 3 3 2 a b a b a b ; a b a ab b a b n n u v un 4 n n n u 1 1 2 n n u u lim un 1 4 1 2 0 2 , n n n 1 1 2 1 2 2 .2 2 4 2 n n n n n n n n n n n . Vì. Câu 7. Chọn kết quả đúng của : A.. B. .C.. D.. Hướng dẫn giải: Chọn D. . Vì. Câu 8. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có:. Câu 9. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: Câu 10. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn C. 4 3 3 3 3 / 1 lim lim lim 4 5 4 5 / n n n n u n n n 3 3 3 / lim ;lim 1 1 4 5 / 4 n n n 3 2 5 lim 3 5 n n n 5 2 5 2 3 3 1 2 / 5 / 2 5 lim lim. 3 5 3 / 5 n n n n n n n 2 3 1 2 / 5 / 1 lim ;lim 3 / 5 5 n n n n 2 2 2 3 1 lim 3 2 n n A n n 2 3 2 2 3 1 2 2 lim 1 2 3 n n A n n 2 2 2 lim 3 1 n n B n n 1 1 3 2 2 2 1 1 1 lim lim 3 1 1 1 3 1 3 n n n n B n n n n 2 4 9 17 2 1 2 lim 1 n n C n 1 Ta có: Câu 11. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có:. Câu 12. Giá trị của bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn C. Chia cả tử và mẫu cho ta có được. Câu 13. Giá trị của. bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: Câu 14. Giá trị của. bằng:
Hướng dẫn giải: Chọn C. 8 4 9 9 4 9 2 2 17 17 17 1 2 1 2 (2 ). (1 ) (2 ) .(1 ) lim lim 16 1 1 (1 ) 1 n n n n n n C n n n 2 3 3 4 4 1 3 2 lim 2 2 n n D n n n 3 4 1 3 2 1 1 3 2 3 4 4 3 4 1 2 1 3 1 3 lim 1 2 2 1 2 1 n n n D n n n 4 3 4 3 1 lim 2 3 1 n n C n n n 1 2 n 4 5 8 3 4 3 1 1 lim 0 3 1 1 2 n n n C n n n 7 3 2 5 ( 2) (2 1) lim ( 2) n n F n 1 7 3 5 2 2 1 1 2 lim 8 5 1 n n F n 3 2 1 lim (2 1) n C n n 1 4 |
