A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN1. Định nghĩaTrong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm sao cho được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ . Show
 Phép tịnh tiến theo vectơ được kí hiệu là . Vậy thì . Nhận xét: . 2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiếnTrong mặt phẳng cho điểm và . Gọi Hệ được gọi là biểu thức tọa độ của . 3. Tính chất của phép tịnh tiến- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì - Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho. - Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. - Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. - Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. B. BÀI TẬPBài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN.Phương pháp: Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Ví dụ 1. Cho tam giác , dựng ảnh của tam giác qua phép tịnh tiến theo vec tơ . Lời giải: Để tìm ảnh của điểm ta dựng hình bình hành . Do nên , gọi là điểm đối xứng với qua , khi đó Suy ra . Vậy ảnh của tam giác là tam giác . Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ , cho . Hãy tìm ảnh của các điểm qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Lời giải: Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến . Gọi . Tương tự ta có ảnh của là điểm . Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ , cho và đường thẳng có phương trình . Viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép tịnh tiến.
Lời giải: Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Lấy điểm tùy ý thuộc , ta có Gọi Thay vào (*) ta được phương trình . Vậy ảnh của là đường thẳng . Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến Do nên song song hoặc trùng với , vì vậy phương trình đường thẳng có dạng .(**) Lấy điểm . Khi đó . Do Vậy ảnh của là đường thẳng . Cách 3. Để viết phương trình ta lấy hai điểm phân biệt thuộc , tìm tọa độ các ảnh tương ứng của chúng qua . Khi đó đi qua hai điểm và . Cụ thể: Lấy thuộc , khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là . Do đi qua hai điểm nên có phương trình . Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn có phương trình . Tìm ảnh của qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Lời giải: Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ. Lấy điểm tùy ý thuộc đường tròn , ta có Gọi Thay vào phương trình (*) ta được . Vậy ảnh của là đường tròn. Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến Dễ thấy có tâm và bán kính . Gọi và là tâm và bán kính của . Ta có và nên phương trình của đường tròn là Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH.Phương pháp: Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của . Để tìm tọa độ của ta có thể giả sử , sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn và giải hệ tìm . Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ ,cho đường thẳng . Tìm phép tịnh tiến theo vec tơ có giá song song với biến thành đi qua điểm .
Lời giải: có giá song song với nên Lấy . Gọi thay vào Hay , mà đi qua . Vậy . Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường hai thẳng và . Tìm tọa độ có phương vuông góc với để .
Lời giải: Đặt , lấy điểm tùy ý thuộc , ta có Gọi sử .Ta có , thay vào (*) ta được phương trình . Từ giả thiết suy ra . Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng là suy ra VTCP . Do . Ta có hệ phương trình .Vậy . Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.Phương pháp: Để dựng một điểm ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến. Lưu ý: Ta thường dùng kết quả: Nếu và thì trong đó và kết hợp với thuộc hình (trong giả thiết) suy ra . Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm , bán kính và hai điểm phân biệt nằm ngoài . Hãy dựng dây cung của đường tròn sao cho là hình bình hành. Lời giải: Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung thỏa mãn yêu cầu bài toán Do là hình bình hành nên Nhưng . Vậy vừa thuộc và nên chính là giao điểm của và . Cách dựng: - Dựng đường tròn là ảnh của đường tròn qua . - Dựng giao điểm của và . - Dựng đường thẳng qua và song song với cắt tại . Dây cung là dây cung thỏa yêu cầu bài toán. Chứng minh: Từ cách dựng ta có là hình bình hành. Biện luận: - Nếu thì bài toán vô nghiệm . - Nếu thì có một nghiệm . - Nếu thì có hai nghiệm. Ví dụ 2. Cho tam giác . Dựng đường thẳng song song với , cắt hai cạnh lần lượt tại sao cho . Lời giải: Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng thỏa mãn bài toán. Từ dựng đường thẳng song song với cắt tại , khi đó là hình bình hành nên . Lại có suy ra , từ đó ta có là phân giác trong của góc . Cách dựng: - Dựng phân giác trong của góc . - Dựng đường thẳng đi qua song song với cắt tại . - Dựng ảnh . Đường thẳng chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán. Chứng minh: Vậy . Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình Ví dụ 3. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại . Dựng đường thẳng đi qua cắt các đường tròn tại các điểm thứ hai sao cho cho trước. Lời giải:
Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.Phương pháp: Nếu và đểm di động trên hình thì điểm thuộc hình , trong đólà ảnh của hình qua . Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt cố định trên đường tròn tâm . Điểm di động trên . Chứng minh khi di động trên thì trực tâm của tam giác di động trên một đường tròn. Lời giải: Gọi là trực tâm của tam giác và là trung điểm của . Tia cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại . Vì , nên . Tương tự , do đó là hình bình hành.Suy ra không đổi. , vì vậy khi di động trên dường tròn thì di động trên đường tròn. Ví dụ 2. Cho tam giác có đỉnh cố định, không đổi và không đổi. Tìm tập hợp các điểm . Lời giải: Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , khi đó theo định lí sin ta có không đổi ( do không đổi). Vậy , nên di động trên đường tròn tâm bán kính . Ta có không đổi và không đổi suy ra không đổi. Mặt khác có phương không đổi nên cũng có phương không đổi. Đặt không đổi , thì . Vậy tập hợp điểm là đường tròn ảnh của qua , và tập hợp điểm là đường tròn ảnh của qua . |
