Cách giải bài toán tổ hợp tuyến tính năm 2024

HỆ SINH
- Một hệ vecto S là hệ sinh của một không gian vecto U khi tất cả các vecto thuộc U đều có thể biểu diễn thông qua các vecto của S
- Ví dụ: Cho S = {x1, x2} và Không gian vecto R^2. Chứng minh hệ S là hệ sinh của R^2
  - Hệ S:
    - x1 (1, 2)
    - x2 (3, 1)
  - Trước tiên cần nhớ lại đinh nghĩa về “biểu diến thông qua các vecto” là gì?
    - Cụ thể là vecto C được biểu diến thông qua 2 vecto A và B khi C = k.A + p.B ( phép cộng 2 vecto).
  - Vậy bây giờ ta gọi vecto A thuộc KGVT R^2 và A = (x, y)
    - Nếu S là hệ sinh của KGVT R^2 thì Vecto A sẽ biểu diễn được thông qua 2 vecto x1 và x2 thuộc hệ S.
    - Tức là ta có phép tính A = k.x1 +p.x2 hoặc (x, y) = k.(1, 2) + p(3, 1)
    - Ta cần chứng minh có tồn tại k và p để A = k.x1 + p.x2
    - Xét hệ pt:
      - x = k.1 + p.3
      - y = k.2 + p.1
      - <=>
      - k = (3y – x)/5
      - p = (2x – y)/5
      - Với mọi tọa độ x và y thuộc KGVT R^2 thì ta luôn tìm được 2 giá trị k và p thỏa mãn hệ:
        x = k.1 + p.3
        y = k.2 + p.1
      - Vì vậy luôn tồn tại k và p để A = k.x1 + p.x2. Hay nói cách khác là vecto A luôn có thể biểu diễn được qua 2 vecto x1 và x2
      - Vậy hệ S là hệ sinh là KGVT R^2
CƠ SỞ
- Một hệ S được gọi là cơ sở của một không gian vecto U khi nó đáp ứng đủ 2 điều kiện:
  - 1. Các vecto trong hệ S độc lập tuyến tính
  - 2. S là hệ sinh của không gian vecto U
- Chú ý: Nếu số vecto trong hệ S = số chiều của KGVT U thì ta chỉ cần chứng minh 1 trong 2 điều kiện trên
- Ví dụ: Cho không gian vecto R^3 (dim = 3) và hệ S = {x1, x2, x3}
  - Hệ S:
    - x1 (1, 2, 0)
    - x2 (2, 1, 0)
    - x3 (3, 0, 1)
  - Chứng minh S là cơ sở của KGVT R^3
  - Giải:
    - Ta cần chứng minh 2 điều kiện:
      - 1 là các vecto trong hệ S độc lập tuyến tính
      - S là hệ sinh của không gian vecto R^3
    - Tuy nhiên xét thấy số vecto của hệ S = dim R^3 = 3 vậy nên ta chỉ cần chứng minh 1 trong 2 điều kiện trên là được.
    - Ta sẽ chứng minh các vecto trong hệ S độc lập tuyến tính.
    - Thấy số vecto của hệ S = dim R^3 = 3 vậy ta xét định thức của ma trận A =
      - (1 2 0)
      - (2 1 0)
      - (3 0 1)
    - Det(A) = 1.1.1 + 2.0.3 + 0.2.0 – (3.1.0 + 0.0.1 + 1.2.2) = 2 != 0.
    - Vậy các vecto trong hệ S độc lập tuyến tính
    - \=> Hệ S là cơ sở của KGVT R^3
TỔ HỢP TUYẾN TÍNH
- Vecto C được biểu diến thông qua 2 vecto A và B khi C = k.A + p.B ( phép cộng 2 vecto)
- Vậy vecto C là tổ hợp tuyến tính của vecto A và vecto B
- Ví dụ ứng dụng:
  - Tìm k để vecto y = (3, -1, 11, k) là tổ hợp tuyến tính của hệ vecto S (x1, x2, x3)
  - Hệ S:
    - x1 (2, 1, 3, 8)
    - x2(1, 3, 0, 5)
    - x3(-1, 2, 2, 2)
  - Vậy để vecto y là tổ hợp tuyến tính của hệ S thì ta có phép toán:
    - y = a.x1 + b.x2 + c.x3
    - Cụ thể hơn là
    - (3, -1, 11, k) = a.(2, 1, 3, 8) + b.(1, 3, 0, 5) + c.(-1, 2, 2, 2)
    - Biến đổi thành hệ phương trình (*)
      - 3 = a.2 + b.1 + c.(-1)
      - -1 = a.1 + b.3 + c.2
      - 11 = a.3 + b.0 + c.2
      - k = a.8 + b.5 + c.2
    - Nhiệm vụ của chúng ta là tìm k để hệ trên có nghiệm.
      - Sử dụng phương pháp GAU ta lấy các hệ số thành 2 ma trận rồi so sánh rank của chúng với nhau.
      - Nếu rank bằng nhau thì hệ phương trình (*) có nghiệm
      - Từ hệ (*) ta có ma trận:
        (1 3 2 -1)
        (2 1 -1 3)
        (3 0 2 11)
        (8 5 2 k)
        Sau khi biến đổi thành ma trận hình thang ta được
        (1 3 2 -1)
        (0 -1 -1 1)
        (0 0 1 1)
        (0 0 0 k-16)
        Xét thấy ma trận tạo từ 3 cột đầu có rank = 3. Để ma trận tạo từ cả 4 cột có rank = 3 thì k-16 =0 <=> k = 16.
      - Vậy k =16 thì rank của 2 ma trận tạo từ các hệ số của hệ phương trình (*) bằng nhau.
      - Mà rank bằng nhau thì suy ra hệ phương trình (*) đó có nghiệm. Mà hệ đó có nghiệm thì tồn tại phép toán:
        (3, -1, 11, k) = a.(2, 1, 3, 8) + b.(1, 3, 0, 5) + c.(-1, 2, 2, 2)
        Hoặc là:
        y = a.x1 + b.x2 + c.x3
        Vậy kết luận vecto Y (3, -1, 11, k) với k = 16 là tổ hợp tuyến tính của hệ S.

Điều hướng bài viết

\(\exists \alpha = ({\alpha _1};{\alpha _2};....;{\alpha _m}) \in {R^m}\backslash {\rm{\{ }}O\} :\sum\limits_{i = 1}^m {{\alpha _i}} {v_i} = O\)

Nếu hệ các vectơ \({v_1},....,{v_m}\) không phụ thuộc tuyến tính, ta nói chúng độc lập tuyến tính. Hệ các vectơ \({v_1},....,{v_m} \in R^n\) độc lập tuyến tính nếu:

\(\sum\limits_{i = 1}^m {{\alpha _i}} {v_i} = O \Rightarrow {\alpha _i} = 0,\forall i = \overline {1,m} \)

Nếu một hệ gồm các vectơ phụ thuộc tuyến tính thì trong hệ vectơ đó tồn tại ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

Ví dụ: Các vectơ sau đây độc lập tuyển tính hay phụ thuộc tuyến tính ?

v1= (1;2;3),v2 = (2; 1; 0),v2 = (0;1;-2)

v1 = (2;4),v2 = (-1;-2)

Giải:

\({\alpha _1}{v_2} + {\alpha _2}{v_2} + {\alpha _3}{v_3} = O\)

\(\Leftrightarrow ({\alpha _1};2{\alpha _1};3{\alpha _1}) + (2{\alpha _2};{\alpha _2};0) + (0;{\alpha _3}; - 2{\alpha _3}) = O\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + 2{\alpha _2} = 0\\ 2{\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} = 0\\ 3{\alpha _1} - 2{\alpha _3} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} = 0\\ {\alpha _2} = 0\\ {\alpha _3} = 0 \end{array} \right.\)

Vậy {v1, v2, v3} độc lập tuyến tính

\({\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2} = O \Leftrightarrow (2{\alpha _1};4{\alpha _1}) + ( - {\alpha _2}; - 2{\alpha _2}) = O\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{\alpha _1} - {\alpha _2} = 0\\ 4{\alpha _1} - 2{\alpha _2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} \in R\\ {\alpha _2} = 2{\alpha _1} \end{array} \right.\)

Chọn \({\alpha _1} = 1 \Rightarrow {\alpha _2} = 2\,và\,1.{v_1} + 2.{v_2} = O\)

Vậy {v1, v2} phụ thuộc tuyến tính.