Cho hai biến x, y thỏa mãn phương trình F(x, y) = 0 () Nếu y = y(x) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế y(x) vào () ta được đồng nhất thức y = y(x) là hàm số ẩn xác định bởi (*). VD: Xác định hàm số ẩn y(x) trong phương trình 2 2 2 2

1/ 1

x y

a b

  2 /

y x

x  y

ĐẠO HÀM HÀM ẨN

Từ F(x, y) = 0, lấy đạo hàm hai vế theo x, ta được

   

&

039; &

039; &

039; , ,. 0 x y x F x y  F x y y 

  

&

039; &

039; &

039; , , x x y F x y y F x y   &

039; 0 y Với điều kiện F  ta có: VD: Cho 0 x y xy  e  e  . Tính y’

• Lập hàm: ௫ ௬
• ௫ ᇱ ௫
• ௬ ᇱ ௬ 𝒙 ᇲ 𝒚 ᇲ 𝒙 𝒚

ĐẠO HÀM HÀM ẨN

Cho hàm số ẩn 2 biến z = f(x, y) xác định bởi F(x, y, z) = 0 với F z ’(x, y, z)  0, ta có:

     

 

 

 

&

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; , , , ,. , 0 , , , , , x z x x x z F x y z F x y z z x y F x y z z x y F x y z     

     

 

 

 

&

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; , , , ,. , 0 , , , , , y z y y y z F x y z F x y z z x y F x y z z x y F x y z     

CỰC TRỊ VÀ CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

CỰC TRỊ

--------

Hàm số z = f(x, y) gọi là đạt cực đại tại điểm M

0

(x

0

, y

0

) nếu

với mọi điểm M(x, y) thuộc lân cận của điểm M

0

(x

0

, y

0

), ta

có:

   

0 0

f x , y  f x y,

Hàm số z = f(x, y) gọi là đạt cực tiểu tại điểm M

0

(x

0

, y

0

)

nếu với mọi điểm M(x, y) thuộc lân cận của điểm M

0

(x

0

, y

0

),

ta có:

   

0 0

f x , y  f x y,

ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM CÓ CỰC TRỊ

Giả sử điểm M 0 (x 0 , y 0 ) là điểm dừng của hàm số. Giá trị các đạo hàm riêng cấp 2 tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ), ký hiệu là:

#######      

2 2 2 2 0 0 0 0 2 0 0 , ; , ; , ; z z z A x y B x y C x y x x y y           Xét  = AC – B 2 .

• Nếu  > 0 và A > 0 HS đạt cực tiểu tại M 0 và cực tiểu là f(M 0 );
• Nếu  > 0 và A < 0 HS đạt cực đại tại M 0 và cực đại là f(M 0 );
• Nếu  < 0 thì hàm số không đạt cực trị.
• Nếu  = 0 thì không thể kết luận (trong chương trình hạn chế loại này)

QUY TRÌNH TÌM CỰC TRỊ

Bước 1. Tìm điểm dừng M 0 (x 0 ; y 0 ) bằng cách giải hệ     &

039; 0 0 &

039; 0 0 , 0 , 0 x y f x y f x y       Bước 2. Tính       2 2 &

039;&

039; &

039;&

039; 0 0 0 0 &

039;&

039; 2 0 0 , ; , , x xy y A f x y B f x y C f x y AC B        Bước 3.

• Nếu  > 0 và A > 0 HS đạt cực tiểu tại M 0 và giá trị cực tiểu là f(M 0 );
• Nếu  > 0 và A < 0 HS đạt cực đại tại M 0 và giá trị cực đại là f(M 0 );
• Nếu  < 0 thì hàm số không đạt cực trị.
• Nếu  = 0 thì không thể kết luận (trong chương trình hạn chế loại này)

 thế vào (2) (2)  Có 2 điểm dừng M 3 (0; 1) và 𝟒

• Vậy bài toán có 4 điểm dừng : 𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟒

VD: Tìm cực trị của hàm số z = x 2 + y 2 + 4x – 2y + 8.

• Tìm điểm dừng: 𝒙 ᇱ 𝒚 ᇱ   Có 1 điểm dừng M (-2; 1)
• Tính các đạo hàm cấp 2: 𝒙 𝟐 ᇱᇱ 𝒙𝒚 ᇱᇱ 𝒚 𝟐 ᇱᇱ 𝟐 Tại điểm M(-2; 1) có Hàm số đạt cực tiểu và 𝑪𝑻 3

Tại điểm M 1 (0; 0) có  Hàm số không đạt cực trị.

• Tính các đạo hàm cấp 2: 𝒙 𝟐 ᇱᇱ 𝒙𝒚 ᇱᇱ 𝒚 𝟐 ᇱᇱ 𝟐 Tại điểm M 2 (1; 1) có Hàm số đạt cực tiểu và fCT = -

CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Ta gọi cực trị của hàm số z = f(x, y), trong đó các biến số x và y bị ràng buộc bởi hệ thức g(x, y) = 0 là cực trị có điều kiện. Phương pháp khử Từ phương trình g(x, y) = 0, ta rút x hoặc y theo x rồi thế vào f(x, y) và tìm cực trị hàm 1 biến. VD. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x 2

• y 2
• xy + x + y Với điều kiện x + y + 3 = 0.

CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Phương pháp nhân tử Lagrange Bước 1. Lập hàm Lagrange: L(x, y, ) = f (x, y) +[ g (x, y)] ,  là nhân tử Lagrange. Bước 2. Giải hệ Điểm dừng M 0 (x 0 ; y 0 ) ứng với  0 .

 

&

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; , 0 0 0 x x x y y y L g x y L f g L f g                

Bước 3. Lập ma trận 2 2 1 12 2 1 21 2 2 11 1 22 2 2 1 21 2 2 11 1 22 2 H g L g g L g g L g L g L g g L g L        1 2 1 11 12 2 21 22 0 g g H g L L g L L            1 2 2 2 2 2 11 2 12 21 ; ; ; g g g g x y L L L L L L L L x x y y x y                      trong đó Tính: Được tính khi x = x 0 ; y = y 0 ;  =  0 .

####### f  x y,  xy  2 x

8 x  4 y  120 VD. Tìm cực trị của hàm số với điều kiện

• Lập hàm lagrange: 
• Tìm điểm dừng:  ᇱ 𝒙 ᇱ 𝒚 ᇱ   ᇱ 𝒙 ᇱ  𝒚 ᇱ  Từ (2)  - 8 Từ (3)   Thế vào pt (1) ta có: (1)  ) + 4( - 8) -120 = 0 Hàm số có 1 điểm dừng M(8, 14, -2)

Lập ma trận Hesse: 𝟏 𝒙 ᇱ 𝟐 𝒚 ᇱ 4 𝟐𝟐 𝒚𝟐 ᇱᇱ 𝟏𝟏 𝒙𝟐 ᇱᇱ 𝟏𝟐 𝟐𝟏 𝒙𝒚 ᇱᇱ f  x y,  xy  2 x 8 x  4 y  120 Tại điểm dừng M(8, 14, -2) có > 0: Hàm số đạt cực đại và f CĐ = 128   ᇱ 𝒙 ᇱ  𝒚 ᇱ 